陕西省2021届高三数学一模试题

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至8页。满分150分，考试时刻120分钟。

（1）三角函数的和差化积公式 

（2）正棱台、圆台的侧面积公式

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜面高或母线长。

（3）台体的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面积，h是高。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

1．在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（市）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。

2．将第Ⅰ卷的答案填写在下面表格内。

（1）如图1，I是全集，，，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A． ．

C． ．

（2）过点P（1，2）的直线交圆于两点A、B，若点P是弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是（ ）

A．2．2．x．x-2y+3=0

（3）空间四条直线a、b、c、d，其中a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么a与b，c与d这两对（ ）

A．都平行 ．都不平行 ．至少有一对平行 ．至多有一对平行

（4）设函数，则其反函数的图象为（ ）

（5）等差数列中，，，，则n为（ ）

A．8．9．1．11

（6）（理）在极坐标系中，曲线与直线之间的位置关系为（ ）

A．相离 ．相切 ．相交 ．以上都有可能

（文）已知∈（0，2π），使sinα+cosα<0的角α的取值范畴为（ ）

A． ．

C． ．

（7）有如下四个命题：

①若函数的周期为2π，则k=1；

②函数是偶函数；

③函数在上是增函数；

④函数的最大值是2。

其中，正确命题是（ ）

A．①③　　　B．①④　　　C．②③　　　D．②④

（8）抛物线上一点M到焦点的距离是3，那么M到y轴的距离是（ ）

A．3．4．5．6

（9）如图2，将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，E是BC的中点，异面直线AB与DE所成角的正切值为（ ）

A． ． ． ．

（10）若存在，则实数x的取值范畴是（ ）

A． ．

C． ．

（11）有一圆形铁皮，欲制作等长母线的两个无底圆锥形容器，要求两个容器的侧面正好用完铁皮，且侧面面积之比为1：2，则这两个容器的高之比为（ ）

A．2：1．8：5． ．

（12）某校预备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每班至少一个名额，不同的分配方案共有（ ）

A．7．9．1．12

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（13）离心率为，一条准线为x=-4的椭圆的标准方程是____________。

（14）假如n为偶数，且，则的展开式中的常数项为____________。

（15）如图3，已知正方体是棱长为a的正方体，E、F分别是棱和的中点，则四棱锥的体积为_____________。

（16）已知，，则方程f[g(x)]+3g[f(x)]=-2的解为___________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解承诺写出文字说明，证明过程式演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

设、是两个非零复数，且满足，

（Ⅰ）求的辐角主值；

（Ⅱ）假如、对应的点分别为A、B，求的面积。

（18）（本小题满分12分）

已知n是大于1的自数，函数，

（Ⅰ）试判定函数f(n)的增减性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求满足条件的最大的正整数m。

（19）（本小题满分12分）

已知如图4，四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点。

（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求点E到平面PBC的距离；

（Ⅲ）求二面角A-BE-D的正切值。

（20）（本小题满分12分）

我省某县位于沙漠边缘地带，为了早日实现沙漠变绿洲，到1998年年底全县的绿化率已达30%。从1999年开始，每年将显现如此的局面，原有沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被腐蚀，变为沙漠。

（Ⅰ）设全县面积为单位1，1998年年底绿洲面积为，通过一年绿洲面积为，通过n年绿洲面积为，求证；

（Ⅱ）今年（2002）年底全县的绿洲面积能否超过60%。

（21）（本小题满分12分）

已知函数、，设F(x)=f(x)+g(x)，假如f(x)、g(x)的图象都通过（1，1）点，且。

（Ⅰ）求F(x)的解析式；

（Ⅱ）设正项数列的前n项和为，且，运算、、的值，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明。

（22）（本小题满分14分）

已知如图5，椭圆的方程为，其两焦点为、，双曲线的渐近线方程为，且以、为焦点。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设P为上一点，过P的直线l交的渐近线于、，且，求的面积。

参：

一、选择题

（13） （14）2（15） （16）1

三、解答题（解答题只给出一种解法的评分标准，各题的其它正确解法可参照相应试题所给解法的评分标准赋分）

（17）解：（Ⅰ）∵，

∴。………………………………………………（2分）

∴。…………………………………（4分）

故或。……………………………………………（6分）

（Ⅱ）由，可得…………（8分）

∴

∴。……………………………………（9分）

由（Ⅰ）知…………………………（10分）

∴

（18）解：（Ⅰ）∵，（n>1的自然数）

∴

 ………………（2分）

∴

…………………………（4分）

∴f(n)是关于自然数n(n>1)的增函数。………………（5分）

（Ⅱ）要使，对大于1的自然数n恒成立。

即恒成立。…………………………（7分）

只须f(n)的最小值大于即可 ∴……………………（9分）

即  ∴m<14。…………………………（11分）

故满足条件的最大正整数m=13……………………………（12分）

19．（Ⅰ）证明：连结AC交BD于点O，连结OE，则O是AC的中点。又知E是AP中点

∴………………………………（2分）

∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD。又知  平面BDE，

∴平面EBD⊥平面ABCD。………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知OE//PC，则OE//平面PBC。

∴点E到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离

∴过O作OF⊥BC交BC于F，

∴OF即为所求………………………………（6分）

∵四边形ABCD是菱形，边长为a，∠ABC=120°

∴∠CBD=60°DB=BC=a，∴，

∴。…………………………（8分）

故点E到平面PBC的距离为。

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，OE⊥OA，OA⊥BD

∴OA⊥平面BDE。

过O作OG⊥BE，垂足为G，连结AG，则∠AGO为二面角A-BE-D的

平面角…………10（分）

∵PC=a ∴，

∴Rt△BOE为等腰直角三角形

∴，

又知  ∴Rt△AOG中，。

∴所求二面角A-BE-D的正切值为。……………………（12分）

（20）（Ⅰ）证明：∵第n年年底绿洲面积为，

∴第n年年底的沙漠面积为…………………………（1分）

依照题意，通过n年（即第n+1年）的绿洲面积

……………………………（3分）

即  …………………………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知从98年到2002年底，通过4年改造，绿洲面积…………………………………………………（7分）

∴

…………………………（9分）

即

 …………………………（11分）

∴2002年年底全县的绿洲面积还不能超过60%……………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）∵，的图象都通过（1，1）点，∴a=1，b=1

∴，…………………………（2分）

又 ，∴。

即   ∴或

从而n=1，n=-1（舍去） 故…………………………（4分）

（Ⅱ）由得

当n=1时，，∴…………………………（5分）

当n=2时，

∴ ∴………………………………（6分）

当n=3时，

∴ ∴…………………………（7分）

据此估量 ………………………………………（9分）

以下用数学归纳法证明：

①当n=1时，结论明显成立。

②假设当n=k时，结论成立。即

∴…………（*）……………………（10分）

则当n=k+1时，

∴代入（*）得

∴ 即  当n=k+1时结论也成立

综上可知，对n∈N的一切自然数结论成立 …………………………（12分）

（22）解：（Ⅰ）由知，，，………………（2分）

∴

∵的渐近线为，

故可设其方程为  （λ>0）…………………………（4分）

又∵椭圆与双曲线共焦点 ∴ 

故的方程为 即……………………（6分）

（Ⅱ）设l与交于，与交于

∵，由定比分点坐标公式，得

由P在双曲线上知，………………（8分）

∴ 即…………………（10分）

又，，而

……………………（12分）

∴

 …………………………（14分）