2021-2022学年湖南沙沙县初二数学第一学期期末试卷及解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．（3分）如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（　　）

A．AM＝BM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC

3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．等腰三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．直角三角形

4．（3分）如图，已知AM＝CN，∠M＝∠N（　　）

A．∠MBA＝∠NDC B．AM∥CN C．AB＝CD D．MB＝ND

5．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，如果AC＝7cm，那么AE等于（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

6．（3分）计算的正确结果是（　　）

A．x B．2 C． D．2（x﹣1）

7．（3分）已知x2﹣16＝（x﹣a）（x+a），那么a等于（　　）

A．4 B．2 C．16 D．±4

8．（3分）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心（　　）

A． B．

C． D．

9．（3分）有一块长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形纸片，剪去一个长为2a+4，则剩余部分面积是（　　）

A．4ab﹣3a﹣2 B．6ab﹣3a+4b

C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2

10．（3分）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ECM＝15°，AF⊥CM，则AB的长为（　　）

A．5 B．5.5 C．7 D．6

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

11．（3分）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C　   　．

12．（3分）已知三角形三边长分别为2、x、6，且满足2＜x＜6．若x是奇数，则x＝　   　．

13．（3分）分式，，的最简公分母是 　   　．

14．（3分）计算（﹣）2÷•（）﹣1＝　   　．

15．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝6，则DE＝　   　．

16．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点E是射线OA上的一个动点，那么EC的最小值为 　   　．

三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。

17．（6分）（1）求12边形内角和度数；

（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．

18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上

19．（6分）如图，在正方形网格中，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．△ABC是一个格点三角形，分别画出与△ABC成轴对称的格点三角形．

20．（8分）计算：

（1）2x3y4÷（xy）+2x2•（﹣y）3；

（2）a（a﹣2）﹣（a+1）2．

21．（8分）因式分解：

（1）x（a﹣1）+（1﹣a）；

（2）3m2+6mn+3n2．

22．（9分）今年是我们伟大的中国党建党100周年，烈士公园旁服装店用2000元购进一批特色纪念款文化衫，出售后发现供不应求，所购数量是第一批的3倍，但单件的进价贵了2元

（1）求第一批文化衫单件的进价；

（2）若销售这两批文化衫时，每件售价都是30元，全部售出后服装店共盈利多少元？

23．（9分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在BC上，连接AC，AB＝AC

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）若∠BAC＝90°，连接ED，求∠AED的度数．

24．（10分）方法探究：

已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k）2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．

问题解决：

（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝　   　代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；

（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；

（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．

25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l∥AB，连接BD交直线于点P，连接CD．点E是AC上一动点，点E从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路径运动，终点为D．点E、F同时开始运动

（1）当AC＝BC时，试证明A、C、D三点共线；（温馨提示：证明∠ACD是平角）

（2）若AC＝10cm，BC＝7cm，设运动时间为t秒，求满足CE＝2CF时t的值；

（3）若AC＝10cm，BC＝7cm，过点E、F分别作EM、FN垂直直线l于点M、N

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．【解答】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．

故选：D．

2．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，

∴AM＝BM＝CM＝AB，不符合题意；

∠ACH+∠BCH＝90°，

∵CH分别是斜边AB上的高线，

∴CH⊥AB，

∴∠AHC＝∠BHC＝90°，故B选项正确；

∴∠B+∠BCH＝90°，

∴∠ACH＝∠B，故C选项正确；

只有当∠A＝30°时，BC＝，故D选项错误．

故选：D．

3．【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形；

B．平行四边形不是轴对称图形；

C．梯形不一定是轴对称图形；

D．直角三角形不一定不是轴对称图形．

故选：A．

4．【解答】解：在△ABM与△CDN中，已知AM＝CN，

A、添加∠MBA＝∠NDC，能判定△ABM≌△CDN；

B、由AM∥CN，所以添加AM∥CN，能判定△ABM≌△CDN；

C、添加AB＝CD，故C选项符合题意；

D、添加MB＝ND，能判定△ABM≌△CDN．

故选：C．

5．【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，

∴ED＝EC，

∴AE＝AC﹣EC＝AC﹣ED＝7﹣3＝6（cm），

故选：C．

6．【解答】解：

＝

＝

＝2．

故选：B．

7．【解答】解：已知等式变形得：（x+4）（x﹣4）＝（x﹣a）（x+a），

则a＝±8．

故选：D．

8．【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P．

则选项A 符合要求，

故选：A．

9．【解答】解：剩余部分面积：

（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+7）

＝6ab﹣3a+2b﹣2﹣2ab﹣3b

＝4ab﹣3a﹣5；

故选：A．

10．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，

∵BC＝AC，

∴AD＝BD＝AB，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠CAB＝90°，

∴∠ACD＝55°，

∵∠ACE＝∠CAB+∠B＝70°，∠ECM＝15°，

∴∠ACF＝70°﹣15°＝55°，

∴∠ACF＝∠ACD，即CA平分∠DCF，

∵CD⊥AB，AF⊥CM，

∴AD＝AF＝2.5，

∴AB＝2AD＝4，

故选：A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

11．【解答】解：∵∠A＝108°，∠B＝2∠C，

∴108°+2∠C+∠C＝180°，

∴∠C＝34°，

∴∠B＝4∠C＝2×34°＝68°．

故答案为：68°．

12．【解答】解：根据题意得，6﹣2＜x＜6+2，

∴4＜x＜2，

∵x是奇数且满足2＜x＜6，

∴x＝3．

故答案为：5．

13．【解答】解：三个分式的分母分别是2ab，b2，a﹣b，

∴分式，，的最简公分母是：2ab2（a﹣b）．

故答案为：8ab2（a﹣b）．

14．【解答】解：（﹣）2÷•（）﹣1

＝

＝．

故答案为：．

15．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，

∴∠ACB＝∠DBC，AC＝BD，

∴BE＝CE＝4，

∵AC＝BD＝6，

∴DE＝BD﹣BE＝2﹣4＝2，

故答案为：4．

16．【解答】解：过点C作CE⊥OA于E，

根据垂线段最短可知，此时EC最小，

∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，

∴∠COE＝30°，

∴CE＝OC＝，即EC的最小值为3，

故答案为：4．

三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。

17．【解答】解：（1）由题意，得

（12﹣2）×180°＝1800°；

（2）由题意得：

（n﹣2）•180°﹣360°＝720°，

解得：n＝4．

18．【解答】证明：如图，∵AB⊥CB，

∴∠ABC＝90°，∠CBF＝90°

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），

∴BE＝BF．

19．【解答】解：图形如图所示：

20．【解答】解：（1）原式＝2x2y2﹣2x2y8

＝0；

（2）原式＝a2﹣8a﹣（a2+2a+3）

＝a2﹣2a﹣a7﹣2a﹣1

＝﹣3a﹣1．

21．【解答】解：（1）x（a﹣1）+（1﹣a）＝（a﹣7）（x﹣1）；

（2）3m8+6mn+3n2．

＝3（m2+7mn+n2）

＝3（m+n）4．

22．【解答】解：（1）设第一批购进了x件，则第二批购进了3x件，

根据题意得：﹣＝6，

解得：x＝100，

经检验，x＝100是原分式方程的解，

∴第一批文化衫单件的进价2000÷100＝20（元）．

答：第一批文化衫单件的进价是20元；

（2）（100+100×3）×30﹣2000﹣6600＝3400（元）．

答：全部售出后服装店共盈利3400元．

23．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠EAC＝∠DAE﹣∠EAC，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△ACD，

∴AE＝AD，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠AED＝∠ADE＝45°．

24．【解答】解：（1）当x＝±2时，x2﹣5＝0，

故答案为：±2；

（2）由题意可知x6﹣x2﹣3x+6＝（x﹣1）（x2+ax+b），

∴x5﹣x2﹣3x+7＝x3﹣（1﹣a）x6﹣（a﹣b）x﹣b，

∴1﹣a＝1，b＝﹣8，

∴a＝0，b＝﹣3；

（3）当x＝7时，x3+4x4﹣3x﹣18＝8+16﹣7﹣18＝0，

∴多项式有因式（x﹣2），

设另一个因式为（x8+ax+b），

∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x4+ax+b），

∴x3+4x8﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣7b，

∴a﹣2＝4，4b＝18，

∴a＝6，b＝9，

∴x5+4x2﹣2x﹣18＝（x﹣2）（x2+3x+9）＝（x﹣2）（x+2）2．

25．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵点B与点D关于直线l对称，

∴BD⊥直线l，BC＝CD，

∵直线l∥AB，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴∠CBD＝∠CDB＝45°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠ACB+∠BCD＝180°，

∴A、C、D三点共线；

（2）解：∵AC＝10cm，BC＝7cm，

∴当点F沿D→C方向时，0≤t≤2.5，

∴CE＝10﹣t，CF＝7﹣6t，

∵CE＝2CF，

∴10﹣t＝2（3﹣2t），

解得：t＝．

（3）解：∵∠BCP＝∠FCN，∠BCP+∠ECM＝90°，

∴∠MEC＝∠FCN，

∵△CEM≌△CFN，

当CE＝CF时，△CEM≌△CFN，

当点F沿D→C路径运动时，

10﹣t＝7﹣2t，

解得，t＝﹣4，

当点F沿C→B路径运动时，

10﹣t＝2t﹣7，

解得，t＝，

当点F沿B→C路径运动时，

10﹣t＝7﹣（2t﹣3×2），

解得，t＝11，

∵第一个点到达终点时第二个点也停止运动．点E从A点出发，终点为C，

∴0≤t≤10，

∴t＝11时，已停止运动．

综上所述，当t＝，△CEM≌△CFN．