武汉中考二次函数综合题训练及答案

1、如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

(1)求a的值及直线AC的函数关系式；

(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 

解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分

∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）

设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b

6=-2k+b解得 k=-2

b=2

∴直线AC为y=-2x+2

（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分

∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92

=-2a+122+92

∴当a=-12时，PM的最大值为92

②M1（0，6）

M2（-14，678） 

2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．

(1) (3分) 求直线l的函数解析式；

(2) (3分) 求点D的坐标；

(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(1) 配方,得y=(x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．    1分

取x=0代入y=x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)．    2分

设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有

解得∴直线l的解析式为y=x–3．    3分

(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．

由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．

据面积关系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．

作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，

∴ AF=·AC=，DF=·O′A=，    5分

又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–= –，∴ 点D的坐标为(，–)．    6分

(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，

∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．

故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．

    7分

过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．

容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，

据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．

令x2–2x＋1=x–，解得 x1=2，x2=，代入y=x–，得y1= –1，y2=，

因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC= S△DPB．    9分

(仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分)

3、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．

（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．

如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．

∴ ∠EGO = 45，从而 ∠AGE = 135．

由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135，∴ ∠AGE =∠EBF．

∵ ∠AEF = 90，∴ ∠FEB +∠AEO = 90．

在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90，

∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．

（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．

由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．

∴ FH = OE，EH = OA．

∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．

由BF是外角平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a．

又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，

∴ EH = m－a + a = m．

又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．

因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．

由 ∠AEF = 90，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，

∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，

且，即，

整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．

把h =（t + 1）a 代入得 ，

即 m－a =（t + 1）（n－a）．

而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．

化简得 ta = n，解得．

∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．

∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．

4、已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．

（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得

    解得 

∴抛物线的解折式为．    （2分）

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为

则E（，）．

又∵点E在直线上，

∴．   

解得（舍去），．

∴E的坐标为（4，3）．    （4分）

（Ⅰ）当A为直角顶点时

过A作交轴于点，设．

    易知D点坐标为（，0）．

由得

即，∴．

∴．    （5分）

（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（，0）．    （6分）

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作轴于，设．

由，得．

．

由得．

解得，．

∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）．    （8分）

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）

（Ⅲ）抛物线的对称轴为．    （9分）

∵B、C关于对称，

∴．

要使最大，即是使最大．

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．    （10分）

易知直线AB的解折式为．

∴由   得   ∴M（，－）．    （11分）

5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。

(1)求此抛物线的函数表达式；

    (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

    (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

6、已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），

过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为

m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自

变量m的取值范围． S是否存在最大值？若存在，求出最

大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵OA、OC的长是x2－5x+4=0的根，OA∴OA=1，OC=4

∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴

∴A（－1，0）  C（0，－4）

∵抛物线的对称轴为

∴由对称性可得B点坐标为（3，0）

∴A、B、C三点坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）

（2）∵点C（0，－4）在抛物线图象上   ∴

将A（－1，0），B（3，0）代入得解之得

∴ 所求抛物线解析式为：

（3）根据题意，则

在Rt△OBC中，BC==5

∵，∴△ADE∽△ABC

∴

∴

过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=

∴

∴EF=DE==4－m 

∴S△CDE=S△ADC－S△ADE

=（4－m）×4（4－m）（ 4－m）

=m2+2m（0∵S=（m－2）2+2， a=<0

∴当m=2时，S有最大值2.

∴点D的坐标为（1，0）. 

7、如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设正比例函数的解析式为，

因为的图象过点，所以

，解得．

这个正比例函数的解析式为．    （1分）

设反比例函数的解析式为．

因为的图象过点，所以

，解得．

这个反比例函数的解析式为．    （2分）

（2）因为点在的图象上，所以

，则点．    （3分）

设一次函数解析式为．

因为的图象是由平移得到的，

所以，即．

又因为的图象过点，所以

，解得，

一次函数的解析式为．    （4分）

（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．

设二次函数的解析式为．

因为的图象过点、、和，

所以    （5分）          解得

这个二次函数的解析式为．    （6分）

（4）交轴于点，点的坐标是，

如图所示， 

．

假设存在点，使．

四边形的顶点只能在轴上方， ，

．

，．    （7分）

在二次函数的图象上，

．

解得或．

当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，

点的坐标为．    （8分）

8、如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．

解：（1）已知抛物线经过，

   解得

所求抛物线的解析式为．    2分

（2）， 

可得旋转后点的坐标为    3分

当时，由得，

可知抛物线过点

将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．

平移后的抛物线解析式为：．    5分

（3）点在上，可设点坐标为

将配方得，其对称轴为．    6分

①当时，如图①，

此时

点的坐标为．    8分

②当时，如图②

同理可得

此时

点的坐标为．

综上，点的坐标为或．-----------------10分

9、如图（16），在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，为坐标原点．若的长分别是方程的两根，且

（1）求抛物线对应的二次函数解析式；

（2）过点作交抛物线于点，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点任作直线交线段于点求到直线的距离分别为，试求的最大值．

解：（1）解方程得

，而

则点的坐标为，点的坐标为

    1分

过点作轴于则为的中点．

的坐标为

又因为

的坐标为    2分

令抛物线对应的二次函数解析式为

抛物线过点

则得

故抛物线对应的二次函数解析式为（或写成）    4分

（2）    5分

又

令点的坐标为则有    6分

点在抛物线上，    7分

化简得解得（舍去）．

故点的坐标为    8分

（3）由（2）知而

    9分

过作

    10分

    11分

即此时的最大值为    13分

10、如图12，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，

与y轴相交于点C，且．

    (1)求c的值；

    (2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；    

    (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11、（2008四川省广安市）如图10，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）．

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

12、（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知，得，，

，

．

．    （1分）

设过点的抛物线的解析式为．

将点的坐标代入，得．

将和点的坐标分别代入，得

    （2分）

解这个方程组，得

故抛物线的解析式为．    （3分）

（2）成立．    （4分）

点在该抛物线上，且它的横坐标为，

点的纵坐标为．    （5分）

设的解析式为，

将点的坐标分别代入，得

   解得

的解析式为．    （6分）

，．    （7分）

过点作于点，

则．

，

．

又，

．

．

．    （8分）

．

（3）点在上，，，则设．

，，．

①若，则，

解得． ，此时点与点重合．

．    （9分）

②若，则，

解得，，此时轴．

与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，

点的纵坐标为．

．    （10分）

③若，则，

解得，

，此时，是等腰直角三角形．

过点作轴于点，则，设，．

．解得（舍去）．

．    （12分）

综上所述，存在三个满足条件的点，

即或或．