数列中的奇偶项问题

（1）求并证明：

（2）①证明：数列等比数列；②若成等比数列，求正整数k的值.

解：（1）

（2）①因为所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.

②由数列可得，，则，

因为成等比数列，所以，令，得，解得，得.

例2、（14宁波二模）设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．

（）求数列,的通项公式；

（）设， 求数列的前项和．

解：（Ⅰ）由题意，，得．             …………3分                      

  ，，

，两式相减，得

数列为等比数列，．                        …………7分

（Ⅱ） ． 

当为偶数时，

            =．             ……………10分

当为奇数时，

（法一）为偶数，

                                                                ……………13分

点评:根据结论1退而求之.

（法二）

                   ．   ……………13分

                        ……………14分

点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。

点评:

1、数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；

2、数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问题的考查。

3、常用知识点：

(1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。

（2）项数为奇数的等差数列有：

；   ；  = 项数

（3）项数为偶数的等差数列有：

；； 

(4) 等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是。

练习：

1. 已知数列{an}满足an＋1＝若a3＝1，则a1的所有可能取值为________．

解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5；

当a2为偶数时，a3＝a2＝1，a2＝2；

当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7

或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；

当a1为偶数时，a2＝a1＝5，a1＝10

或a2＝a1＝2，a1＝4.

综上，a1的可能取值为4,7,10.

答案：4,7,10

2. 一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2m项的和是________．

解析：当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，

S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)

＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.

参考题目：

1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)

A．10         B．20        C．30        D．40

解析：选A　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.

2、等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，

则这个等比数列的项数为 （C） 

（A）         （B）           （C）         （D）

3、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.

解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.

又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝.

4、已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)

A．2          B．4       C．5          

解析：选B　依题意得＝＝2，即＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此＝4.

5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，设Sn是数列{an}的前n项和，则S2 014＝(　　)

A．22 014－1  B．3×21 007－3

C．3×21 007－1  D．3×21 007－2

解析：选B　由＝＝＝2，且a2＝2，得数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2 014＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 013)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 014)＝＋＝3×21 007－3.

对比： an＋1/an＝2n则用累乘法，

6. 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.

解析：由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.

∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)

＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)

＝50＋＝2 600.

点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。

对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

解析：∵an＋1－an＝2n，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2

＝＋2＝2n－2＋2＝2n.

∴Sn＝＝2n＋1－2.

7、(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明Sn＋≤(n∈N*)．

[解题指导]　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．

[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.

(2)证明：Sn＝1－n，

Sn＋＝1－n＋

＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝.

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.

变式：(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.

①求数列{an}的通项公式；

②是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

解析：①设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.

由题意得

即解得

故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.

②由①有Sn＝＝1－(－2)n.

若存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，

即(－2)n≤－2 012.

当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；

当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，

即2n≥2 012，则n≥11.

综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．

点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n分奇偶讨论。