辽宁省沈阳市沈北新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷(含解析)

卷

一、选择题（每题2分，共20分）

1．（2分）如图图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

2．（2分）x与5的和不大于﹣1，用不等式表示为（　　）

A．x+5≥﹣1B．x+5＜﹣1C．x+5＞﹣1D．x+5≤﹣1 3．（2分）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　）

A．直角三角形两个锐角互余

B．勾股定理的逆定理

C．三角形内角和等于180°

D．勾股定理

4．（2分）分式的值为0，则x的值是（　　）

A．0B．﹣1C．1D．0或1

5．（2分）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，则∠D的度数（　　）

A．65°B．45°C．30°D．20°

6．（2分）九年级（8）班小周和小鞠两人练习跳绳，小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳120个用的时间和小鞠跳180个用的时间相等．设小周跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（　　）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

7．（2分）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．65°B．45°C．40°D．35°

8．（2分）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的（　　）

A．角平分线B．中线

C．高线D．边的垂直平分线

9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（　　）

A．x≥﹣1B．x＜﹣1C．x≤﹣1D．x＞﹣1

10．（2分）如图，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是BE，DE的中点，螺钉E在滑道AC内上下滑动时，橡皮筋PQ的长度（　　）

A．螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大

B．螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大

C．上下滑动时，PQ的长度时而增大时而减小

D．上下滑动时，PQ的长度始终不变

二、填空题。（每题3分，共18分）

11．（3分）计算：＝　　．

12．（3分）多项式2x2﹣4x中各项的公因式是　　．

13．（3分）不等式﹣x+4＞1的最大整数解是　　．

14．（3分）在平面直角坐标系中，已知P（﹣3，5）和点Q（3，m﹣1）关于原点对称，则m＝　　．

15．（3分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是　　．

16．（3分）在平面直角坐标系中，▱ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（5，0），B（8，4），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过　　秒，该直线平分▱ABCO的面积．

三、解答题。（共9小题）

17．（8分）分解因式：

（1）3a2﹣12；

（2）﹣2x2+12x﹣18．

18．（8分）求不等式组的解集，并在数轴上表示出来．

19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝1．

20．（8分）某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000元，那么最多采购篮球多少个？

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）连接AC、BD相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6，则△AOD的周长等于　　．

22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过平移，使点C移到点C'的位置．

（1）画出△A′B′C′；

（2）连接AA'、BB'，这两条线段的关系是　　；

（3）△B'CC'的面积为　　．

23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN．求证．

24．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．

（1）求点D的坐标；

（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；

（3）在（2）的条件下，若y轴上有一点Q，使△CDQ的面积是6，请直接写出Q点坐标．

25．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．

（1）求证：AB＝CM；

（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．

（3）若，则DN＝　　．

2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期末数学试

卷（参）

一、选择题（每题2分，共20分）

1．（2分）如图图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：A、该图形是是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；

B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；

C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．

故选：A．

2．（2分）x与5的和不大于﹣1，用不等式表示为（　　）

A．x+5≥﹣1B．x+5＜﹣1C．x+5＞﹣1D．x+5≤﹣1

【解答】解：根据题意得，x+5≤﹣1，

故选：D．

3．（2分）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　）

A．直角三角形两个锐角互余

B．勾股定理的逆定理C．三角形内角和等于180°

D．勾股定理

【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，

∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）

故选：B．

4．（2分）分式的值为0，则x的值是（　　）

A．0B．﹣1C．1D．0或1

【解答】解：∵分式的值为0，

∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，

解得：x＝0，

故选：A．

5．（2分）一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，则∠D的度数（　　）

A．65°B．45°C．30°D．20°

【解答】解：∵∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，四边形内角和为360度，∴∠D＝360°﹣120°﹣60°﹣150°＝30°，

故选：C．

6．（2分）九年级（8）班小周和小鞠两人练习跳绳，小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳120个用的时间和小鞠跳180个用的时间相等．设小周跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（　　）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

【解答】解：∵小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳绳速度为x个每分钟，∴小鞠跳绳速度为（x+60）个每分钟．

根据题意得：＝．

故选：C．

7．（2分）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．65°B．45°C．40°D．35°

【解答】解：如图，延长AC交直线m于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠3＝60°﹣∠1＝60°﹣25°＝35°，

∵l∥m，

∴∠2＝∠3＝35°．

故选：D．

8．（2分）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的（　　）

A．角平分线B．中线

C．高线D．边的垂直平分线

【解答】解：由题意知，当线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的一条中线．

故选：B．

9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（　　）

A．x≥﹣1B．x＜﹣1C．x≤﹣1D．x＞﹣1

【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＞4，

所以不等式kx+b＞4的解集为x＜﹣1，

故选：B．

10．（2分）如图，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是BE，DE的中点，螺钉E在滑道AC内上下滑动时，橡皮筋PQ的长度（　　）

A．螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大

B．螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大

C．上下滑动时，PQ的长度时而增大时而减小

D．上下滑动时，PQ的长度始终不变

【解答】解：连接BD，

∵P，Q分别是BE，DE的中点，

∴PQ是△BDE的中位线，

∴PQ＝BD（定值），

∴橡皮筋PQ的长度不变．故选：D．

二、填空题。（每题3分，共18分）

11．（3分）计算：＝　　．

【解答】解：•＝，

故答案为：．

12．（3分）多项式2x2﹣4x中各项的公因式是　2x　．

【解答】解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2），

故答案为：2x．

13．（3分）不等式﹣x+4＞1的最大整数解是　2　．

【解答】解：﹣x+4＞1，

﹣x＞﹣3，

x＜3，

∴最大整数解是2，

故答案为：2．

14．（3分）在平面直角坐标系中，已知P（﹣3，5）和点Q（3，m﹣1）关于原点对称，则m＝　﹣4　．

【解答】解：∵P、Q两点关于原点对称，

∴横、纵坐标均互为相反数，

∴m﹣1＝﹣5，

解得m＝﹣4．

故答案为：﹣4．

15．（3分）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是　30°　．

【解答】解：∵图中六边形为正六边形，

∴∠ABO＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，

∴∠OBC＝180°﹣120°＝60°，

∵正方形中，OC⊥CD，

∴∠OCB＝90°，

∴∠BOC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，

故答案为：30°．

16．（3分）在平面直角坐标系中，▱ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（5，0），B（8，4），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过　7　秒，该直线平分▱ABCO的面积．

【解答】解：如图，连接AC、BO，交于点D，

当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；

∵四边形AOCB是平行四边形，

∴BD＝OD，

∵B（8，4），

∴D（4，2），

设DE的解析式为y＝kx+b，

∵直线DE平行于y＝2x+1，

∴k＝2，

则：4×2+b＝2．

解得b＝﹣6．

∴DE的解析式为y＝2x﹣6，

∴直线y＝2x+1要向下平移7个单位，

∴时间为7秒，

故答案为：7．

三、解答题。（共9小题）

17．（8分）分解因式：

（1）3a2﹣12；

（2）﹣2x2+12x﹣18．

【解答】解：（1）3a2﹣12＝3（a2﹣4）＝3（a+2）（a﹣2）；

（2）﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x2﹣6x+9）＝﹣2（x﹣3）2．

18．（8分）求不等式组的解集，并在数轴上表示出来．

【解答】解：，

解不等式①得：x＜3，

解不等式②得：x≥﹣1，

∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，

∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝1．

【解答】解：原式＝﹣•

＝﹣1

＝

＝，

当a＝2，b＝1时，

原式＝＝1．

20．（8分）某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000元，那么最多采购篮球多少个？

【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，

根据题意得：，

解得：．

答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；

（2）设采购篮球m个，则采购足球（60﹣m）个，

根据题意得：，

解得：18≤m≤20，

∴m的最大值为20．

答：最多采购篮球20个．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）连接AC、BD相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6，则△AOD的周长等于　15　．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ADC＝180°，

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠BCD+∠ADC＝180°，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∵BC＝7，BD＝10，AC＝6，

∴，

∴△AOD的周长为AD+OD+OA＝7+5+3＝15，

故答案为：15．

22．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过平移，使点C移到点C'的位置．

（1）画出△A′B′C′；

（2）连接AA'、BB'，这两条线段的关系是　AA'∥BB'且AA'＝BB'　；

（3）△B'CC'的面积为　5　．

【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所求；

（2）AA'∥BB'且AA'＝BB'．

故答案为：AA'∥BB'且AA'＝BB'：

（3）S△B′CC′＝3×4﹣×3×1﹣×2×4﹣×3×1＝5．

故答案为：5．

23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN．求证．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC，

∵EF∥AB，

∴EF∥CD，

∴四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，

∴EM＝AM，DN＝EN，∴MN是△AED的中位线，

∴．

24．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．

（1）求点D的坐标；

（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；

（3）在（2）的条件下，若y轴上有一点Q，使△CDQ的面积是6，请直接写出Q点坐标．

【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），

∴，

解得，

∴y＝x+5，

当x＝0 时，y＝5，

∴点D的坐标为（0，5）；

（2）∵若直线y＝﹣2x﹣4 与直线AB相交于点C，

∴，

解得，

故点C（﹣3，2），

∵y＝﹣2x﹣4、y＝x+5 两直线分别交y轴于点E和点D，

∴D（0，5），E（0，﹣4），

∴直线CE与直线AB及y轴围成图形的面积为：×|﹣3|×（5+|﹣4|）＝×3×9＝，（3）在（2）的条件下可知，△CDQ的面积为6时，×|﹣3|×a＝6，即a＝4，

∴点Q坐标为（0，9）或（0，1）．

25．（12分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．

（1）求证：AB＝CM；

（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．

（3）若，则DN＝　4　．

【解答】（1）证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，

∴∠AEB＝∠CEM＝∠CFB＝90°，

∴∠BAE＝∠MCE＝90°﹣∠B，

∵∠AEC＝90°，∠ACB＝45°，

∴∠EAC＝∠ECA＝45°，

∴AE＝CE，

在△ABE和△CME中，

，

∴△ABE≌△CME（ASA），

∴AB＝CM．

（2）△ACG是等腰直角三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，

∴∠MCD＝∠CFB＝90°，

∵△ABE≌△CME，

∴AB＝CM，∠B＝∠CME，

∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，

∵∠AMC+∠CME＝180°，∠GDC+∠ADC＝180°，

∴∠AMC＝∠GDC，

∵AM＝CN，GD＝CN，

∴AM＝GD，

在△ACM和△GCD中，

，

∴△ACM≌△GCD（SAS），

∴AC＝GC，∠ACM＝∠GCD，

∴∠ACG＝∠ACD+∠GCD＝∠ACD+∠ACM＝∠MCD＝90°，∴△ACG是等腰直角三角形．

（3）解：∵AD＝3，AM＝GD＝，

∴AG＝AD+GD＝3+＝4，

∵AC＝GC，∠ACG＝90°，

∴AC2+GC2＝2GC2＝AG2＝（4）2，

∴GC＝4，

∵DG＝NC，DG∥NC，

∴四边形CGDN是平行四边形，

∴DN＝GC＝4，

故答案为：4．