2018北京市海淀区数学八年级(下)期末试卷及答案

2017-2018学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx

A. （1，1）        B. （2，1）

C. （1，2）        D. （2，2）

2.  （3分）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°，点D为AB的中点，若AB=4，则CD的长为（　　）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

3.  （3分）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）

A. 6，7，8        B. 2，3，4

C. 3，4，6        D. 6，8，10

4.  （3分）下列各式中，运算正确的是（　　）

A.         B. 

C.         D. 

5.  （3分）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加1.5m/s，则小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数图象是（　　）

A. 

B. 

C. 

D. 

6.  （3分）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（　　）

A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 90°

7.  （3分）小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为（　　）

A. 600米    B. 800米    C. 900米    D. 1000米

8.  （3分）为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图所示．这10名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数是（　　）

A. 6    B. 6.5    C. 7.5    D. 8

9.  （3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　）

A. （0，-5）        B. （0，-6）

C. （0，-7）        D. （0，-8）

10. （3分）教练记录了甲、乙两名运动员在一次1500米长跑比赛中的成绩，他们的速度v（单位：米/秒）与路程s（单位：米）的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A. 最后50米乙的速度比甲快

B. 前500米乙一直跑在甲的前面

C. 第500米至第1450米阶段甲的用时比乙短

D. 第500米至第1450米阶段甲一直跑在乙的前面

12. （3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若A点的坐标为（1，），则OA的长为______．

13. （3分）若A（2，y1），B（3，y2）是一次函数y=-3x+1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是y1______y2．（填“＞”，“=”或“＜”）

14. （3分）甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是______．（填“甲”或“乙”）

15. （3分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少?设绳索长为x尺，可列方程为______．

16. （3分）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y=x2（x-3）和y=x-3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x-3）=x-3的解的个数为______；若m，n分别为方程x2（x-3）=1和x-3=1的解，则m，n的大小关系是______．

18. （4分）已知x=2-，y=2+，求：x+xy+y的值．

19. （4分）如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，求证：．

20. （5分）直线l，过点A（-6，0），且与直线l：y=2x相交于点B（m，4）．

（1）求直线l的解析式；

（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与l，l的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．

21. （5分）如图，▱ABCD中，以B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点F，作∠ ABC的角平分线，交AD于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABFE是菱形；

（2）若AB=4，∠ ABC=60°，求四边形ABFE的面积．

22. （8分）近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量介于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地的优点而受到人们的喜爱．随着信息技术的发展，很多手机App可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健身做好记录．

小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈妈颁发4月份“运动达人”奖章，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

爸爸 12 10 11  15 14 13 14 11 14 12

妈妈 11 14 15  2  11 11 14 15 14 14

（2）你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁，并说明理由．

23. （6分）描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法，下面是通过描点画图感知函数y=图象的变化规律的过程：

（1）下表是y与x的几组对应值．其中，m的值为______． 

（3）已知A，B是函数y=图象上的任意两点（A在B的左侧），将A，B同时向右平移1个单位得到点A，B，再将A，B同时向上平移h（h＞0）个单位后得到A，B，若A刚好落在函数y=的图象上，则B与函数y=图象的位置关系是______

A．B是图象上的点

B．B在图象的上方

C．B在图象的下方

24. （8分）在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．

提出问题：当点P运动时，∠ APE的度数，DE与CP的数量关系是否发生改变?

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

① 当点P与点B重合时，如图1-1所示，∠ APE=______°，用等式表示线段DE与CP之间的数量关系：______；

② 当BP=BC时，如图1-2所示，① 中的结论是否发生变化?直接写出你的结论：______；（填“变化”或“不变化”）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图2-1，2-2，通过观察、测量，发现：（1）中① 的结论在一般情况下______（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：若（1）中① 的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由．

25. （8分）在平面直角坐标系xOy中，A（O，2），B（4，2），C（4，0）．P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA，则称P为矩形ABCO的矩宽点．

例如：下图中的为矩形ABCO的一个矩宽点．

（1）在点D（，），E（2，1），F（，）中，矩形ABCO的矩宽点是______；

（2）若G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，求m的值；

（3）若一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象上存在矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是______．

参及解析

一、 选择题

1.  【答案】C

 【解析】解：将x=1代入y=2x得，y=2， 

将x=2代入y=2x得，y=4，故C正确； 

故选：C．

将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析式成立者即为正确答案．

2.  【答案】A

 【解析】解：∵ 在△ABC中，∠ ACB=90°，点D为AB的中点，AB=4，

∴ CD=AB==2，

故选：A．

根据直角三角形斜边上中线的性质得出CD=AB，代入求出即可．

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，能根据直角三角形斜边上中线的性质得出CD=AB是解此题的关键．

3.  【答案】D

 【解析】解：A、∵ 62+72≠82，∴ 不能构成直角三角形，故本选项错误； 

B、∵ 22+32≠42，∴ 不能构成直角三角形，故本选项错误； 

C、∵ 32+42≠62，∴ 不能构成直角三角形，故本选项错误； 

D、∵ 62+82=102，∴ 能构成直角三角形，故本选项正确． 

故选：D．

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

4.  【答案】A

 【解析】解：A、=2，正确；

B、3-=2，故此选项错误；

C、2+，无法计算，故此选项错误；

D、=2，故此选项错误．

故选：A．

直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握二次根式加减运算法则是解题关键．

5.  【答案】A

 【解析】解：根据题意，小球速度每秒增加1.5m/s，则第一秒时，速度应该大于1 

故选：A．

分析速度每秒增加速度即可．

本题为动点为题的函数图象探究题，考查了一次函数比例系数k的实际意义，解答时根据图象筛选即可．

6.  【答案】B

 【解析】解：α为45°就可以得到一个正方形． 

根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，可以说一定是个菱形， 

菱形里只要有一个角是90°就是正方形． 

展开四边形后的角为：2α=90°，即α=45°． 

故选：B．

根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．

本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．

7.  【答案】C

 【解析】解：小张骑车的速度=1500÷（6-1）=300米/分钟． 

文具店与小张家的距离=1500-300×2=900米． 

故选：C．

先求得小张骑车的速度，然后再求得小张两小时形式的距离，最后，再用总路程-行驶的路程从而可求得文具店与小张家的距离．

本题主要考查的是一次函数的应用，依据函数图象求得小张骑车的速度是解题的关键．

8.  【答案】B

 【解析】解：∵ 共有10个数据，

∴ 中位数是第5、6个数据的平均数，

由条形图知第5、6个数据为6.5、6.5，

所以中位数为=6.5，

故选：B．

根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据中位数的概念进行求解．

本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，注意掌握中位数的计算方法．

9.  【答案】A

 【解析】解：∵ A（12，13），

∴ OD=12，AD=13，

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ CD=AD=13，

在Rt△ODC中，OC===5，

∴ C（0，-5）．

故选：A．

在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题；

本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10. 【答案】D

 【解析】解：A、最后50米乙的速度比甲快，正确； 

B、前500米乙一直跑在甲的前面，正确； 

C、第500米至第1450米阶段甲的用时比乙短，正确； 

D、第500米至第1450米阶段甲一直跑在乙的后面，错误； 

故选：D．

根据函数图象得出信息解答即可．

考查根据函数图象的识别能力．要能根据图象的数据分析得出所对应的函数的有关信息是解题关键．

二、 填空题

11. 【答案】5

 【解析】解：∵ D、E分别是AB、AC的中点．

∴ DE是△ABC的中位线，

∴ BC=2DE，

∵ BC=10，

∴ DE=5．

故答案为：5．

根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出DE的长．

本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

12. 【答案】2

 【解析】解：由点的坐标、勾股定理得，OA==2，

故答案为：2．

根据勾股定理计算即可．

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c．

13. 【答案】＞

 【解析】解：∵ 一次函数y=-3x+1中，k=-3＜0， 

∴ y随着x的增大而减小． 

∵ A（2，y1），B（3，y2）是一次函数y=-3x+1的图象上的两个点，2＜3， 

∴ y1＞y2． 

故答案为：＞

先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据2＜3即可得出结论．

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

14. 【答案】乙

 【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小； 

则乙地的日平均气温的方差小， 

故S2甲＞S2乙． 

故答案为：乙．

根据气温统计图可知：乙的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小．

本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

15. 【答案】（x-3）2+=x2

 【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+=x2， 

故答案为：（x-3）2+=x2

设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．

本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16. 【答案】3   m＜n  

 【解析】解：函数y=x2（x-3）的图象与函数y=x-3的图象有3个交点，则方程x2（x-3）=x-3的解有3个；

方程x2（x-3）=1的解为函数图象与直线y=1的交点的横坐标，x-3=1的解为一次函数y=x-3与直线y=1的交点的横坐标，

如图，由图象得m＜n．

故答案为3，m＜n．

利用图象，通过函数y=x2（x-3）的图象与函数y=x-3的图象的交点个数判断方程x2（x-3）=x-3的解的个数；利用函数y=x2（x-3）和y=x-3的图象与直线y=1的交点位置可判断m、n的大小关系．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．会利用图象的交点的坐标表示方程或方程组的解．

三、 解答题

17. 【答案】解：原式=-

=2-1

=1．

 【解析】

利用二次根式的乘法法则运算．

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18. 【答案】解：∵ x=2-，y=2+，

∴ x+xy+y

=x+2xy+y-xy

=（x+y）-xy

=（2-+2+）-（2-）（2+）

=16-4+3

=15．

 【解析】

将x+xy+y变形为x+2xy+y-xy，得到原式=（x+y）-xy，再把x=2-，y=2+代入计算即可求解．

考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答问题的关键．

19. 【答案】解：四边形是平行四边形， 

，， 

， 

，， 

， 

， 

， 

．

 【解析】只要证明，即可解决问题；

本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

20. 【答案】解：（1）∵ 点B在直线l上，

∴ 4=2m，

∴ m=2，点B（2，4）

设直线l的表达式为y=kx+b，

由题意，

解得，

∴ 直线l的表达式为y=x+3．

（2）由图象可知n＜2．

 【解析】

（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． 

（2）由图象可知，直线l1在直线l2上方即可，由此即可写出n的范围．

本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．

21. 【答案】证明：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，

∴ ∠ EBF=∠ AEB，

∵ BE平分∠ ABC，

∴ ∠ EBF=∠ ABE，

∴ ∠ AEB=∠ ABE，

∴ AB=AE，

∵ AB=BF，

∴ AE=BF，

∴ 四边形ABFE是平行四边形，

∴ 四边形ABFE是菱形；

（2）过A作AG⊥BC，

∴ ∠ AGB=90°，

∵ AB=4，∠ ABC=60°，

∴ BG=2，AG=2，

∵ BF=AB=4，

∴ 四边形ABFE的面积=BF•AG=8．

 【解析】

（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出AE=BF，由此利用平行四边形的判定即可证明； 

（2）过A作AG⊥BC，利用三角函数和菱形的面积公式解答即可．

本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是解直角三角形，属于中考常考题型．

22. 【答案】解：由题意，可得a=（11+14+15+2+11+11+14+15+14+14）÷10=12.1， 

10个数据中，14出现了3次，次数最多，所以b=14； 

（2）我认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸． 

因为爸爸和妈妈的众数相同，但是爸爸的平均数高于妈妈，且最小值10高于妈妈的最小值2，所以小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸．

 【解析】

（1）根据平均数、众数的定义分别求出a，b的值； 

（2）根据平均数与中位数的意义说明即可．

本题考查了中位数、众数和平均数的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

23. 【答案】   B  

 【解析】解：（1）将x=-代入y=，则m=；

故答案为；

（2）如图：

（3）设A（x，y），B（x，y），

∴ y=，y=，

将A，B同时向右平移1个单位得到点A，B，再将A，B同时向上平移h（h＞0）个单位后得到A，B，

∴ A（x+1，y+h），B（x+1，y+h），

A刚好落在函数y=的图象上，

∴ y+h=，

∴ h+2yh-1=0，

∴ h=-y+，

∴ y+h=，

∵ x2＞x1，

则-＞0

∴ y+h＞，

∴ B在图象上方，

故答案为B．

（1）将x=-代入y=，则m=；

（3）设A（x，y），B（x，y），y=，y=移动后y+h=，y+h=，将y+h与做差比较大小即可；

本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，做差法比较大小是解题的关键．

24. 【答案】45   PC=DE   不变化   成立  

 【解析】解：（1）① 当点P与点B重合时，如图1-1所示，

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠ APE=45°，EA=EB=ED，

∴ PC=DE．

② 当BP=BC时，如图1-2所示，① 中的结论不发生变化；

故答案为45，PC=DE，不变化，成立；

（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；

（3）如图2-1中或2-2中，作EF⊥AD于F，延长FE交BC于G，连接AC、EC．

∵ 点E在线段AP的垂直平分线上，

∴ EA=EP，

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ BD是AC的垂直平分线，

∴ EA=EC，

∴ ∠ EAC=∠ ECA，

∵ BA=BC，

∴ ∠ BAC=∠ BCA，

∴ ∠ EAB=∠ ECB，

∵ EA=EP，EA=EC，

∴ EP=EC，

∴ ∠ EPC=∠ ECP，

∵ ∠ EPC+∠ EPB=180°，

∴ ∠ BAE+∠ EPB=180°，

∴ ∠ ABP+∠ AEP=180°，

∵ ∠ ABP=90°，

∴ ∠ AEP=90°，

∴ ∠ APE=∠ PAE=45°，

∵ EF⊥AD，

∴ ∠ DFG=90°，

∵ ∠ BCD=∠ ADC=90°，

∴ 四边形FGCD是矩形，

∴ CG=FD，∠ FGC=90°，

∵ ∠ BDA=45°，

∴ FD=DE，

∵ EP=EC，

∴ CP=2CG=2DF=DE．

（1）① ② 根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；

（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；

（3）如图2-1中或2-2中，作EF⊥AD于F，延长FE交BC于G，连接AC、EC．只要证明△PAE是等腰直角三角形即可解决问题；

本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．

25. 【答案】D和F   -3＜k≤-1或1≤k＜3  

 【解析】解：（1）∵ +=1，

∴ 点D是矩宽点，

∵ （4-）+（2-）=1，

∴ 点F是矩宽点．

故答案为D和F．

（2）∵ G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，

∴ m+=OA或（4-m）+=OA，

解得m=或．

（3）如图1中由题意可知，矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中M（0，1），R（1，2），Q（3，2），E（4，1），D（3，0），K（1，0）．

∵ 一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过定点F（2，-1），

观察图象可知当直线与线段MR，EQ有交点时，直线一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象上存在矩宽点，

当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点M时，k=-1，

当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点R时，k=-3，

当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点Q时，k=3，

当一次函数y=k（x-2）-1（k≠0）的图象经过点E时，k=1，

综上所述，满足条件的k的值为-3＜k≤-1或1≤k＜3．

故答案为-3＜k≤-1或1≤k＜3．

（1）根据矩宽点的定义即可判断；

（2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题；

（3）如图1中由题意可知，矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中M（0，1），R（1，2），Q（3，2），E（4，1），D（3，0），K（1，0）．分别求出直线经过M、R、Q、E时的k的值即可解决问题；

本题考查一次函数综合题、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．