2022年四川省资阳市中考数学试题及答案解析

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D. 

2.如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是(    )

A. 文

B. 明

C. 城

D. 市

3.下列计算正确的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

4.按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”小明记录某周周一至周五的展检体温单位：结果分别为：，，，，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

5.将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是(    )

6.如图，、、、是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是(    )

7.如图所示，在中，按下列步骤作图：

第一步：在、上分别截取、，使；

第二步：分别以点和点为圆心、适当长大于的一半为半径作圆弧，两弧交于点；

第三步：作射线交于点；

第四步：过点作于点．

下列结论一定成立的是(    )

C.  D. 

8.如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

9.如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

10.如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点有以下四个结论：，，，若顶点坐标为，当时，有最大值为、最小值为，此时的取值范围是其中正确结论的个数是(    )

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰雪运动参与人数达到亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数亿用科学记数法表示为______．

12.小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是______填一种即可

13.投掷一枚六个面分别标有、、、、、的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是______．

14.若是一元二次方程的一个根，则的值是______．

15.如图，内接于，是直径，过点作的切线若，则的度数是______度．

16.女子千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离千米与时间分钟之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前______分钟到达终点．

三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

先化简，再求值．，其中．

18.本小题分

某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

若全校共有学生人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；

甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．

19.本小题分

北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．

求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？

某团队计划用不超过元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？

20.本小题分

如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接、．

求证：≌；

若，，，求的面积．

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．

求一次函数的表达式；

结合图象，写出当时，满足的的取值范围；

将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．

小明学了解直角三角形内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点处测得隧道一端点在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点，此时测得点在他的东北方向上，端点在他的北偏西方向上，点、、、在同一平面内

求点与点的距离；

求隧道的长度．结果保留根号

如图，平行四边形中，，，边上的高，点为边上的动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为，连接、．

求证：∽；

当点为的中点时，求的长；

设，的面积为，求与之间的函数关系式，并求当为何值时，有最大值，最大值是多少？

已知二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于点．

求二次函数的表达式；

如图，将二次函数图象绕轴的正半轴上一点旋转，此时点、的对应点分别为点、．

连结、、、，当四边形为矩形时，求的值；

在的条件下，若点是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

1.【答案】 

【解析】解：．

故的绝对值是．

故选：．

计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．

2.【答案】 

【解析】解：将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．

故选：．

先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．

本题主要考查了将正方体表面展开图还原，确定每个字在还原后的正方体的位置是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意

B.，故B不符合题意

C.，故C符合题意

D. ，故D不符合题意．

故选：．

根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则即可求出答案．

本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公式，本题属于基础题型．

4.【答案】 

【解析】解：将小明周一至周五的体温数据从小到大排列为：，，，，，

所以这组数据的中位数为：，

众数为：，

故选：．

根据中位数和众数的概念即可得出正确选项．

本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的概念是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，

，

，，

，

故选：．

如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解．

本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．

6.【答案】 

【解析】解：，

观察数轴，点符合要求，

故选：．

由，再结合数轴即可求解．

本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，平分，

不一定等于，，因此选项不符合题意；

不一定等于，不一定等于，因此选项不符合题意；

平分，，因此选项符合题意；

不一定等于，不一定等于，因此选项不符合题意．

故选：．

根据题意可知，平分，即可得出正确答案．

本题考查了尺规作图角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，其与的交点即为点，再作交于点，

与关于对称，

，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，

正方形，点为对角线的交点，

，

与关于对称，

，

，

在中，，

故选：．

本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．

本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：连接，直线与交于点，如图所示，

扇形中，，

，

点与圆心重合，

，，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

阴影部分的面积为：，

故选：．

根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．

本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，

，，

，

，故正确；

从图中可以看出，当时，函数值大于，

因此将代入得，，

即，故正确；

，

，

从图中可以看出，当时，函数值小于，

，

，故正确；

二次函数的顶点坐标为，

设二次函数的解析式为，

将代入得，，

解得，

二次函数的解析式为，

当时，；

根据二次函数的对称性，得到，故正确；

综上所述，均正确，故有个正确结论，

故选A．

：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；

：结合图象发现，当时，函数值大于，代入即可判断；

：结合图象发现，当时，函数值小于，代入即可判断；

：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．

本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：将数据亿用科学记数法表示为，

故答案为：．

科学记数法表示为的形式，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此换算即可．

此题考查了用科学记数法表示较大的数，正确理解科学记数法的形式并运用是解题的关键．

12.【答案】或或 

【解析】解：正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是，

，

正四边形可以，

正六边形的每个内角是，

，

正六边形可以，

正十二边形的每个内角是，

，

正十二边形可以，

故答案为：或或．

分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．

本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

13.【答案】 

【解析】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有种，分别是：，，，骰子共有面，

朝上的数字为偶数的概率为：．

故答案为：．

在正方体骰子中，写有偶数的有面，一共有面，根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解即可．

本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且．

14.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，

，

，

，

故答案为：．

将代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．

本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：为直径，

，

，

，

与相切，

，即，

．

故答案为：．

根据直径所对的圆周角是直角，可得，再根据切线的性质可得，即可求解．

本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知，甲分钟的速度为：千米分钟，

在分钟时，甲和乙所处的位置：千米，

乙分钟后的速度为：千米分钟，

乙到达终点的时间为：分钟，

甲比乙提前：分钟，

故答案为：．

根据图象求出分钟后甲的速度，进而求出分钟，甲和乙所处的交点位置，再根据速度公式求出分钟后乙的速度，进而求出达到终点时乙所需的时间，即可求出答案．

本题考查了一次函数的应用，从图中获取所需信息是本题的关键．

17.【答案】解：原式 

，

当时，

原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．

本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．

18.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，

则科普类的学生人数为：人，

补全条形统计图如下：

愿意参加劳动社团的学生人数为：人；

把阅读、美术、劳动社团分别记为、、，

画出树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种，

甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为． 

【解析】用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；

用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；

画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种．再根据概率公式即可求解．

此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

19.【答案】解：设乙种型号的单价是元，则甲种型号的单价是元，

根据题意得：，

解得：，

，

答：甲种型号的单价是元，乙种型号的单价是元；

设购买甲种型号的“冰墩墩”个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，

根据题意得：，

解得：，

最大值是，

答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”个． 

【解析】根据题意，设乙种型号的单价是元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；

根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过元”列出不等式，即可得出答案．

本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．

20.【答案】证明：，，，

，

在和中，

，

≌．

，

，

，

设，

，，

，

，

，

整理得，

解得，不符合题意，舍去，

，，

，

，

的面积为． 

【解析】由得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；

由，根据全等三角形的对应角相等证明，设，由，列方程，解方程求得符合题意的的值为，则，再根据勾股定理求出的长，即可求出的面积．

此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，证明三角形全等以及根据勾股定理列方程是解题的关键．

21.【答案】解：由题意得：，，

，，

，，

由题意得：，

解得：，

一次函数的表达式为：；

由图象可知，当时，

一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应的值为，

当时，满足的的取值范围为；

一次函数的图象平移后为，

函数图象经过第一、三象限，

要使正比例函数与反比例函数没有交点，

则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的，

当时，满足条件，

反比例函数的解析式为． 

【解析】将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；

当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；

将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．

本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

22.【答案】解；由题意可知：，，

在中，

米，

答：点与点的距离为米．

过点作于点，

是东西走向，

，，

在中，

，

在中，

，

米，

答：隧道的长为米． 

【解析】根据方位角图，易知，，解即可求解；

过点作于点分别解，求出和，即可求出隧道的长．

本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

23.【答案】证明：，是边上的高，

，

又，

∽；

解：过点作于点，如图：

在平行四边形中，，

又是边上的高，

，

，

四边形为矩形，

，，

在中，，

又为的中点，

，

，

，

在中，；

解：延长交的延长线于点，如图：

，

，

，

，

，，

又，

∽，

，

，

，

，

，

当时，有最大值为，

答：，当时，有最大值为． 

【解析】利用两个角对应相等的三角形全等即可证明∽；

过点作于点，可得四边形为矩形，从而得到，，再由勾股定理求出，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解；

延长交的延长线于点根据，可得，再证得∽，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．

本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．

24.【答案】解：二次函数的图象的顶点坐标为，

设二次函数的表达式为，

又，

，

解得：，

或；

点在轴正半轴上，

，

，

由旋转可得：，

，

过点作轴于点，

，，

在中，，

当四边形为矩形时，，

，

又，

∽，

，

，

解得；

由题可得点与点关于点成中心对称，

，

点在直线上，

点的横坐标为，

存在以点、、、为顶点的平行四边形，

当以为边时，平行四边形为，点向左平移个单位，与点的横坐标相同，

将点向左平移个单位后，与点的横坐标相同，

代入，

解得：，

，

当以为边时，平行四边形为，点向右平移个单位，与点的横坐标相同，

将向右平移个单位后，与点的横坐标相同，

代入，

解得：，

，

当以为对角线时，点向左平移个单位，与点的横坐标相同，

点向左平移个单位后，与点的横坐标相同，

代入，

得：，

，

综上所述，存在符合条件的点，其坐标为或或． 

【解析】根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；

过点作轴于点，根据，又因为，证明出∽，从而得出，将，，代入即可求出的值；

根据上问可以得到，点的横坐标为，，要让以点、、、为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：当以为边时，存在平行四边形为；当以为边时，存在平行四边形为；当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．