甘肃省兰州市高三冲刺文科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合,则（    ）

A．        B．            C．    D．

2．设复数满足，则（    ）

A．5                    B．                C．2                D．

3．等差数列的前项和为，且满足，则（    ）

A．6                    B．130                C．200                D．260

4．已知，，则（    ）

A．2                B．                    C．4                D．8

5．“”是“直线和直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件                            B．必要不充分条件

C．充要条件                                    D．既不充分也不必要条件

6．已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．8                B．7                    C．                D．

7．在平面直角坐标系中，已知过点的直线l与圆相切，且与直线垂直，则实数（    ）

A．                B．2                    C．                D．3

8．已知实数x，y满足条件，则的最小值为（    ）

A．                B．4                    C．2                D．3

9．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（    ）

A．2                B．3                    C．4                D．5

10．已知函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则在区间上的最小值为（    ）

A．                B．                    C．                D．

11．M为双曲线C：右支上一点，A、F分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率为（    ）

A．            B．2                    C．4                D．6

12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ）

A．1                B．2                    C．3                D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知命题p：，总有．则￢p为________．

14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

15．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．

16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且三棱柱的体积为，则球O的表面积为________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若，的中线，求面积S的值．

18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：

（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；

（Ⅱ）用分层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在，，已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2 000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4 000元．若在（Ⅱ）的条件下，从空气质量指数在的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为4 000元的概率．

19．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且，，M在线段CD上，且．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体积．

20．已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值．

21．设函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）已知函数有极值m，求证：．

（已知，）

22．在直角坐标系中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的普通方程；

（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

23．已知函数，P为不等式的解集．

（Ⅰ）求P；

（Ⅱ）证明：当时，．