初二数学整式的乘除与因式分解教案

                                                                【赖玉坚著】

一、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

幂的乘方法则可以逆用：即

如：

7、积的乘方法则：（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（=

8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

9、零指数和负指数；

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

如：

12、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加

如：

13、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：    

14、完全平方公式：

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

因式分解

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

1.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。

    例1把分解因式．

例2把分解因式．

2. 公式法：根据平方差和完全平方公式

3.配方法：例1分解因式

4.十字相乘法：

型和型的因式分解

    这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

    例1把下列各式因式分解：

        (1)                     (2) 

        (3)                     (4) 

    例2把下列各式因式分解：

        (1)                     (2) 

整式的乘除与因式分解综合测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1、括号内应填（     ）

A、    B、      C、    D、

2、下列计算正确的是（     ）

A、         B、

C、    D、

3、在

（4）中错误的有（     ）

A、1个           B、2个          C、3个             D、4个

4、下列各式中，能用平方差公式计算的是（     ）

A、                 B、

C、         D、

5、如果：（    ）

A、          B、          C、          D、

6、计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（    ）

A、0            B、1              C、8.8804         D、3.9601

7、如果可运用完全平方公式进行因式分解，则k的值是（    ）

A、8            B、16             C、32              D、

8、(x2+px+8)(x2-3x+q)乘积中不含x2项和x3项,则p,q的值 (          )

A、p=0,q=0         B、p=3,q=1          C、p=–3,–9         D、p=–3,q=1

9、对于任何整数，多项式都能（  　　）

A、被8整除     B、被整除      C、被－1整除    D、被（2-1）整除

10．已知多项式，且A+B+C=0，则C为（    ）

A、  B、 C、  D、

二、填空题（每题3分，共30分）

11、        =（3+     ）2

12、2012=         ,     48×52=         。

13、。

14、。

15、,

   。

1．已知与是同类项，则5m+3n的值是　　　　．

17、如果            。

18、把边长为12.75cm的正方形中，挖去一个边长为7.25cm 的小正方形，则剩下的面积为                  。

19、写一个代数式         ，使其至少含有三项，且合并同类项后的结果为

20、有一串单项式：……，

（1）你能说出它们的规律是        （2）第2006个单项式是           ；

（3）第（n+1）个单项式是               ．

三、解答题（共60分）

21、（本题6分）计算下列各题：

（1）；       （2）

（3）；   （4）

22、（本题6分）化简求值:

（其中）

23、（本题7分）试说明：无论x,y取何值时，代数式

(x3+3x2y-5xy+6y3)+(y3+2xy2+x2y-2x3)-(4x2y-x3-3xy2+7y3)的值是常数.

24、（本题7分）找规律：1×3+1=4=22，  2×4+1=9=32，  3×5+1=16=42，   

4×6+1=25=52    ……

   请将找出的规律用公式表示出来。

25、（本题8分）计算：

26、（本题8分）某工地为了存放水泥，临时建筑一个长方体的活动房，活动房的高度一定，为m米，活动房的四周周长为n米，要想使活动房的体积最大，则如何搭建？最大的体积是多少？ 

27、（本题9分）为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1.5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米.

（1）请用代数式分别表示这家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费；

（2）如果这家某月用水20立方米，那么该月应交多少水费？

28、（本题9分）如图是L形钢条截面，是写出它的面积公式。并计算：时的面积。

参

一、DBCBC  BBBAB

二、11．；12．40401，2496；13；14．；15．；16．13；17．；18．；

19．所写的代数式很多，如：或 等．

20．（1）每个单项式的系数的绝对值与x的指数相等；奇数项系数为负；偶数项系数为正；（2）；（3）当n为为奇数时，第n个单项式为，第（n+1）个单项式为

；当n为为偶数时，第n个单项式为，第（n+1）个单项式为．

 三、21．（1）；（4）

22．原式==0；

23．原式化简值结果不含x，y字母，即原式=0.∴无论x,y取何值，原式的值均为常数0.

24．；25．；26．；

27．（1）标准用水水费为：1.5a  （0＜a≤15）；超标用水水费：3a-22.5  （a＞15）

   （2）37．5        28．S==514.25（mm2）