初中数学证明题练习5套(含答案)

（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．（初二）

证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE

∵EG⊥CO，EF⊥AB

∴∠EGO=90°，∠EFO=90°

∴∠EGO+∠EFO=180°

∴E、G、O、F四点共圆

∴∠GEO=∠HFG

∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG

∴=

∵GH⊥AB，CD⊥AB

∴GH∥CD

∴

∴

∵EO=CO

∴CD=GF

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。

   求证：△PBC是正三角形．（初二）

证明：作正三角形ADM，连接MP

∵∠MAD=60°，∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°，∠PAD=15°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°

∴∠BAP=∠MAP

∵MA=BA，AP=AP

∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA，MP=BP

同理∠CPD=∠MPD，MP=CP

∵∠PAD＝∠PDA＝15°

∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°-75°×4=60°

∵MP=BP，MP=CP   ∴BP=CP  ∴△BPC是正三角形

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN，CG=DG

∴GN∥AD，GN=AD

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM，AG=CG

∴GM∥BC，GM=BC

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

　（1）求证：AH＝2OM；

　（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

∵=

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

  ∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD

又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD  ∴AH=2OM

（2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC

∴∠BOM=∠BOC=60°∴∠OBM=30°

∴BO=2OM

由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

求证：AP＝AQ． 

证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF  ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG，PQ⊥AG

∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE

∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF

在△AEP和△AFQ中

  ∠AFQ=∠AEP

  AF=AE

  ∠QAF=∠PAE

∴△AEP≌△AFQ

∴AP=AQ

∴∠AEF=∠PAF

∵∠PAF+∠QAF=180°

∴∠FCQ=∠QAF

∴F、C、A、Q四点共圆

∴∠AFQ=∠ACQ

又∠AEP=∠ACQ

∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG

∵C、D、B、E四点共圆

∴∠B=∠D，∠E=∠C

∴△ABE∽△ADC

∴

∴△ABG∽△ADF

∴∠AGB=∠AFD

∴∠AGE=∠AFC

∵AM=AN，

∴OA⊥MN

又OG⊥BE，

∴∠OAQ+∠OGQ=180°

∴O、A、Q、E四点共圆

∴∠AOQ=∠AGE

同理∠AOP=∠AFC

∴∠AOQ=∠AOP

又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA

∴△OAQ≌△OAP

∴AP=AQ

4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC

求证：BC=2OP（初二）

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N

∵OF=OD，DN∥OP∥FL

∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP

∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB

∴△BFL≌△ABM

∴FL=BM

同理△AMC≌△CND

∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN

∴BC=FL+DN=2OP

（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG=OD=BD=AC=AE

∴∠EAG=30°

∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75°

又∠AFD=90°-15°=75°

∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC

∴CE=CF

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC，又EG⊥AC

∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°

在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF

 °-∠FAC-∠GCE

=180°-135°-30°=15°

∴∠F=∠CEA

∴AE=AF

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG = OD =BD=AC=CE

∴∠GCE=30°

∵AC=EC

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二）

证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H

∵CD⊥CG   ∴HCGF是矩形

∵∠HCF=∠GCF  ∴FH=FG

∴HCGF是正方形

设AB=x，BP=y，CG=z

z：y=（x-y+z）：x

化简得（x-y）·y=（x-y）·z

∵x-y≠0

∴y=z

即BP=FG

∴△ABP≌△PGF

∴CG=GF

∵AP⊥FP

∴∠APB+∠FPG=90°

∵∠APB+∠BAP=90°

∴∠FPG=∠BAP

又∠FGP=∠PBA

∴△FGP∽△PBA

∴FG：PB=PG：AB

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．

求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） 

证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，

连接OH、MH、EC

∵EH=FH

∴EM=KM

∵EK∥BD

∴

∴OB=OD

又AO=CO

∴四边形ABCD的对角线互相平分

∴ABCD是平行四边形

∴AB=DC，BC=AD

∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°

又PC⊥OC，∴∠POC=90°

∴P、C、H、O四点共圆

∴∠HCO=∠HPO

又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK

∴∠HCM=∠HEM

∴H、C、E、M四点共圆

∴∠ECM=∠EHM

又∠ECM=∠EFA

∴∠EHM=∠EFA

∴HM∥AC

∵EH=FH

(四)

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求∠APB的度数．（初二）

解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ

则△BPQ是正三角形

∴∠BQP=60°，PQ=PB=3

在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5

∴△PQC是直角三角形

∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°

∴∠APB=∠BQC=150°

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，

两平行线相交于点E，连接BE

∵PE∥AD，AE∥PD

∴ADPE是平行四边形

∴PE=AD，

又ABCD是平行四边形

∴AD=BC

∴PE=BC

又∠ADP=∠ABP

∴∠AEP=∠ABP

∴A、E、B、P四点共圆

∴∠BEP=∠PAB

∴∠PAB=∠PCB

又PE∥AD，AD∥BC

∴PE∥BC

∴BCPE是平行四边形

∴∠BEP=∠PCB

∵ADPE是平行四边形

∴∠ADP=∠AEP

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD

∵=∴∠CAD=∠CBD

∴△BEC∽△ADC

∴

∴AD·BC=BE·AC……………………①

∵∠BCE=∠ACD

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE

即∠BCA=∠ECD

①+②得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC

 （DE+BE）·AC

 ·AC

∵=,∴∠BAC=∠BDC

△BAC∽△EDC

∴

∴AB·CD=DE·AC……………………②

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE

∴S△ADE=AE·DG，S△FDC=FC·DH

又S△ADE= S△FDC=S□ABCD

∴AE·DG=FC·DH

又AE=CF

∴DG=DH

∴点D在∠APC的角平分线上

∴∠DPA＝∠DPC

（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：≤L＜2．

证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，

∵BP=BE，∠PBE=60°

∴△PBE是正三角形。

∴PE=PB 又EF=PC

∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF

当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）

在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=

∴L=PA+PB+PC≤

（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G

则△ADG是正三角形

∴∠ADP=∠AGP，AG=DG

∵∠APD＞∠AGP

∴∠APD＞∠ADP

∴AD＞PA…………………………①

又BD+PD＞PB……………………②

  CG+PG＞PC……………………③

①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC

∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L

∵AB=AC=1∴L＜2

由（1）（2）可知：≤L＜2．

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE，

则△BPE是正三角形

∴PE=PB

∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF

∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）

此时AF= PA+PE+EF

过点F作FG⊥AB的延长线于G

则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°

∴GF=，BG=

∴AF===

∴PA＋PB＋PC的最小值是

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ

则△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ=PB=×2a=2a

又QC=AP=a

∴QP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2

∴△PQC是直角三角形

∴∠BQC=135°

∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC

    =PB2+PA2-2PB·PAcos135°

      =4a2+a2-2×2a×a×(-)

解得BC=

∴正方形的边长为

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．

解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG

∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60°

∴△BCG是正三角形 ∴BG=BC

∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA

又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF  ∴AE=AF

∴∠AFE=∠AEF=（180°-∠A）=80°

又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°

∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°

∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°

∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°

∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG

∠BGD=∠BDG=（180°-∠ABE）=80°

∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°

又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°

∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD

∴∠BED=∠FED=∠FEG=×60°=30°

5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。

解：∵∠ACD=∠BCD  ∴=∴AD=BD

∵AB为⊙O的直径   ∴∠ADB=90°

∴△ABD是等腰直角三角形

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8  ∴AB=10

∴AD=AB·cos∠DAB=10×=5

又AE⊥CD，∠ACD=45°

∴△ACE是等腰直角三角形  ∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×=3

在△ADE中，DE2=AD2-AE2  ∴DE2=  ∴DE=

∴CD=CE+DE=3+=

∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P ∴△PDA∽△PCD ∴

∴PC=PD，PA=PD  ∵PC=PA+AC∴PD=PD+6    解得PD=