2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷 解析版

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]

1．如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　）

A． B． C． D．

2．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（　　）

A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，2）

3．人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是（　　）

A．0.77×10﹣6 B．7.7×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣5

4．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．540°

5．王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是（　　）

A．y＝3x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝﹣

6．已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边形AFCD一定是（　　）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：3m2n﹣2nm2＝　   　．

8．方程＝1的解是　   　．

9．方程组的解是　   　．

10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　   　．

11．甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x，那么可列方程是　   　．

12．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，那么BD的长是　   　．

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是　   　（用向量、表示）．

14．小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是　   　．

15．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是　   　米．

16．古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，那么xn﹣1+xn的值是　   　（用含n的式子表示）．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转后，点D落在边BC上，点B落在点B′处，联结BB′，那么△ABB′的面积是　   　．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是　   　．

三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）

19．（10分）解不等式组：．

20．（10分）先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．

21．（10分）如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．

（1）求CD的长；

（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．

22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？

思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．

方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：

①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；

②把这批橘子每箱从1～1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．

解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；

（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．

被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：

（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．

23．（12分）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平行四边形．

（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；

（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC，求证：AB＝3BC．

24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．

（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；

（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．

25．（14分）如图，已知∠BAC，且cos∠BAC＝，AB＝10，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ＝BP＝x，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．

（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；

（2）如果⊙P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；

（3）如果点E在∠MPB的边上，求AQ的长．

2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]

1．如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零进行分析即可．

【解答】解：A、当m＜0时，无意义，故此选项不符合题意；

B、当m＜﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；

C、当m＝﹣1时，无意义，故此选项不符合题意；

D、m是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；

故选：D．

2．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（　　）

A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，2）

【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．

【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣（x﹣3）2﹣2，

∴顶点坐标为（3，﹣2），

故选：A．

3．人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是（　　）

A．0.77×10﹣6 B．7.7×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣5

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是7.7×10﹣6．

故选：C．

4．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．540°

【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解．

【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）•180°＝180°，

若边数不变，则内角和＝（4﹣2）•180°＝360°，

若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）•180°＝540°，

所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°．

故选：B．

5．王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是（　　）

A．y＝3x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝﹣

【分析】根据函数图象性质逐个检验即可得到答案．

【解答】解：A、y＝3x图象过一、三象限，但y值随x值的增大而增大，故A不符合题意；

B、y＝x2图象不经过三象限，对称轴为y轴，在第一象限内，y随x增大而增大，故B不符合题意；

C、图象过一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小，故C符合题意；

D、y＝﹣图象经过二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；

故选：C．

6．已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF＝DE，那么四边形AFCD一定是（　　）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC＝DF即可．

【解答】解：∵E是AC中点，

∴AE＝EC，

∵DE＝EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AD＝DB，AE＝EC，

∴DE＝BC，

∴DF＝BC，

∵CA＝CB，

∴AC＝DF，

∴四边形ADCF是矩形；

故选：B．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：3m2n﹣2nm2＝　m2n　．

【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．

【解答】解：3m2n﹣2nm2＝m2n．

故答案为：m2n．

8．方程＝1的解是　x1＝，x2＝　．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x+1﹣x＝x2+x，

解得：x＝，

检验：把x＝代入得：左边＝右边，

则分式方程的解为x1＝，x2＝．

故答案为：x1＝，x2＝．

9．方程组的解是　　．

【分析】把方程组中的②变形后代入①，得到一元一次方程，求解并代入方程组求出另一个未知数的值．

【解答】解：，

由②，得x＝y﹣1③，

把③代入①，得（y﹣1）2﹣y2＝3，

整理，得﹣2y＝2，

解，得y＝﹣1．

把y＝﹣1代入③，得x＝﹣2．

所以原方程组的解为．

故答案为：．

10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　k＞﹣　．

【分析】利用判别式的意义得到△＝32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：根据题意得△＝32﹣4（﹣k）＞0，

解得k＞﹣．

故答案为k＞﹣．

11．甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x，那么可列方程是　60（1+x）2＝100　．

【分析】根据甲公司1月份及3月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：60（1+x）2＝100．

故答案为：60（1+x）2＝100．

12．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，那么BD的长是　4　．

【分析】由菱形的性质可得BO＝BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，求得BO即可．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°，BO＝BD，BD⊥AC．

在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，

∴BO＝AB•cos∠ABO＝4×＝2．

∴BD＝2BO＝4．

故答案为：4．

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是　﹣　（用向量、表示）．

【分析】过点D作DE⊥BC于E．想办法求出，，可得结论．

【解答】解：过点D作DE⊥BC于E．

∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

∵∠A＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∵DE⊥BC，DEB＝90°

∴四边形ABED是矩形，

∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4，

∵CD＝5，∠CED＝90°，

∴CE＝＝＝3，

∴＝BC＝，

∵AB∥DE，AB＝DE，

∴＝，

＝+＝﹣，

故答案为：﹣．

14．小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是　　．

【分析】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A、B，

画树状图如图：

共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，

∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是，

故答案为：．

15．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是　5.4　米．

【分析】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO～△BDO，得出比例式可求得结论．

【解答】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．

∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°．

∴△ACO～△BDO．

∴．

即．

∴BD＝5.4（米）．

故答案为：5.4．

16．古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，那么xn﹣1+xn的值是　n2　（用含n的式子表示）．

【分析】此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以得到第n个数的规律．

【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、…，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，…，

这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，…，

∴，（n≥1）．

所以．

故答案是：n2．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转后，点D落在边BC上，点B落在点B′处，联结BB′，那么△ABB′的面积是　　．

【分析】由旋转不变形可得：AD′＝AD＝10，D′E＝CD＝6，AB＝AB′＝6，∠DAD′＝∠BAB′．过D′作D′E⊥AD于点E，过点B作BF⊥AB′于点F，由于，利用sin∠DAD′，得出sin∠BAB′＝，BF可求，△ABB′的面积可得．

【解答】解：如图，过D′作D′E⊥AD于点E，过点B作BF⊥AB′于点F，

由题意得：AD′＝AD＝10，D′E＝CD＝6，AB＝AB′＝6，∠DAD′＝∠BAB′．

∵sin∠DAD′＝，

∴sin∠BAB′＝．

∴＝＝．

故答案为：．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是　y＝﹣2x　．

【分析】OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式．

【解答】解：∵点E（6，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝6×（﹣2）＝﹣12，

∴反比例函数为y＝﹣，

如图，OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，

∵点E（6，﹣2），

∴D（﹣2，﹣6），

∵∠AOE＝45°，

∴∠AOD＝45°，

∵OD＝OE，

∴OA⊥DE，DF＝EF，

∴F（2，﹣4），

设直线DE的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，

∴直线DE的解析式为y＝x﹣5，

∴设直线OA的解析式为y＝mx，

把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，

∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，

故答案为y＝﹣2x．

三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）

19．（10分）解不等式组：．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式3（x+5）＞3﹣（x﹣2），得：x＞﹣2.5，

解不等式≤﹣1，得：x≥20，

∴不等式组的解集为x≥20．

20．（10分）先化简再求值：（）•，其中a＝2+，b＝2﹣．

【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（）•

＝[]•

＝（）•

＝•

＝，

当a＝2+，b＝2﹣时，原式＝＝＝＝．

21．（10分）如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．

（1）求CD的长；

（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．

【分析】（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；

（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，OF可得，OE﹣OF＝EF．

【解答】解：（1）∵AB为直径，点C、D三等分弧AB，

∴

∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．

∵OC＝OD，

∴△OCD为等边三角形．

∴CD＝OD＝AB＝5．

（2）∵点E是劣弧DC的中点，

∴．

∵，

∴．

∴OF⊥CD．

∵OC＝OD，

∴∠DOF＝∠DOC＝30°．

在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．

∴OF＝OD•cos∠FOD＝5×＝．

∵OE＝OD＝5，

∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．

22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？

思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．

方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：

①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；

②把这批橘子每箱从1～1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．

解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；

（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．

被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：

（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．

【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本必须具有代表性即可求解；

（2）计算出抽取的20箱橘子的平均损耗率即可；

（3）设该公司确定这批橘子的销售价格为x元/千克，根据利润＝售价﹣进价列出方程即可．

【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；

（2）（8.57+8.15）÷（10×20）×100%＝8.36%．

即估计这批橘子的损耗率为8.36%；

（3）10000×（1﹣8.36%）x﹣2×10000＝5000，

解得，x≈2.73．

答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．

23．（12分）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平行四边形．

（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；

（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC，求证：AB＝3BC．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出DE∥BC，由平行线的性质得出DF⊥AB，由直角三角形的性质得出AD＝BD，则可得出结论；

（2）延长ED交AB于点F，由三角形中位线定理得出DF＝BC，得出EF＝DF+DE＝BC，由角平分线的定义证得BF＝EF，则可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形CBDE是平行四边形，

∴DE∥BC，

∵∠ABC＝90°，

∴∠AFD＝90°，

∴DF⊥AB，

又∵D为AC的中点，

∴AD＝BD，

∴AF＝BF，

即EF垂直平分AB；

（2）证明：延长ED交AB于点F，

由（1）知，EF垂直平分AB，

∴DF＝BC，

∵四边形CBDE是平行四边形，

∴BC＝DE，

∴EF＝DF+DE＝BC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠FBE＝45°，

∴∠FBE＝∠FEB＝45°，

∴BF＝EF，

∴BF＝BC，

∴AB＝2BF＝3BC．

24．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．

（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；

（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．

【分析】（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；

（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解；

（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．

【解答】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4，

故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），

由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，

连接BC，如下图，

∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，

∵BC＝BC，

∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），

故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，

设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，

故点C的坐标为（0，），

则抛物线的表达式为y＝x2+；

（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，

由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠AHC，则tan∠ACH＝，

故直线CD的表达式为y＝x+②，

联立①②并解得，故点D的坐标为（，），

如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，

故DE＝yD＝，

则yF＝yC+DE＝+＝，

故点F的坐标为（0，）；

（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），

由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，

联立①③并解得，点D的坐标为（，），

而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），

∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，

即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，

即9m2﹣36m＝0，

解得m＝4（舍去）或0，

故m＝0．

25．（14分）如图，已知∠BAC，且cos∠BAC＝，AB＝10，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ＝BP＝x，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．

（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；

（2）如果⊙P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；

（3）如果点E在∠MPB的边上，求AQ的长．

【分析】（1）当点E在AC上时，则∠AQP＝90°，利用解直角三角形的方法解求解；

（2）⊙P经过D、M两点，则PQ＝PD＝PB＝AQ＝x，则AP＝2AH＝2xcosA＝x，进而求解；

（3）①当点E在PC边上时，证明∠QPA＝75°，在Rt△PHQ中，设PH＝t，则GQ＝GP＝2t，GH＝t，则QH＝2t+t＝xsinA＝x，解得t＝，则AP＝AH+PH+PB＝x++x＝10，即可求解；②当点E在AB边上时，则PH＝QH＝AQsinA＝x，AH＝xcosA＝x，则PH＞AH，进而求解．

【解答】解：∵cosA＝，则sinA＝．

（1）当点E在AC上时，则∠AQP＝90°，

∵AQ＝PB＝x，则AP＝AB﹣PB＝10﹣x，

则cosA＝＝＝，

解得x＝；

（2）如图1，

过点Q作QH⊥AP于点H，

∵⊙P经过D、M两点，则PQ＝PD＝PB＝AQ＝x，

∴点H是AP的中点，

则AP＝2AH＝2xcosA＝x，

则AB＝AP+PB＝x+x＝10，

解得x＝，

即正三角形PBM的边长为；

（3）①当点E在PC边上时，如图2，

过点Q作QH⊥AB于点H，作PQ的中垂线交QH于点G，交PQ于点N，

则∠QPA＝180°﹣∠MPB﹣∠QPE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

则∠HQP＝90°﹣75°＝15°，则∠HGP＝15°×2＝30°，

在Rt△PHQ中，设PH＝t，则GQ＝GP＝2t，GH＝t，

∴QH＝2t+t＝xsinA＝x，解得t＝，

则AP＝AH+PH+PB＝x++x＝10，

解得x＝；

②当点E在AB边上时，如图3，

过点Q作QH⊥AB于点H，

则PH＝QH＝AQsinA＝x，AH＝xcosA＝x，

∴PH＞AH，

即点P在BA的延长线上，与题意不符；

综上，AQ＝．