山东省淄博市2017年中考数学真题试题(含解析)

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1．的相反数是（　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

【答案】C．

【解析】

考点：相反数．

2．C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，请将100万用科学记数法表示为（　　）

A．1×106　　　　　　B．100×104　　　　　　C．1×107　　　　　　D．0.1×108

【答案】A．

【解析】

试题分析：将100万用科学记数法表示为：1×106．故选A．

考点：科学记数法—表示较大的数． 

3．下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　）

A．　　　B．　　　　C．　　　　D．

【答案】D．

【解析】

试题分析：A．圆柱的主视图为矩形，∴A不符合题意；

B．正方体的主视图为正方形，∴B不符合题意；

C．球体的主视图为圆形，∴C不符合题意；

D．圆锥的主视图为三角形，∴D符合题意．

故选D．

考点：简单几何体的三视图．

4．下列运算正确的是（　　）

A． 　　　　　　　　　　B．

C．（a≠0）             D．

【答案】C．

【解析】

故选C．

考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

5．若分式的值为零，则x的值是（　　）

A．1　　　　　　B．﹣1　　　　　　C．±1　　　　　　D．2

【答案】A．

【解析】

试题分析：∵分式的值为零，∴|x|﹣1=0，x+1≠0，解得：x=1．故选A．

考点：分式的值为零的条件．

6．若a+b=3，，则ab等于（　　）

A．2　　　　　　B．1　　　　　　C．﹣2　　　　　　D．﹣1

【答案】B．

【解析】

试题分析：∵a+b=3，∴，∴，∵，∴7+2ab=9，∴ab=1．故选B．

考点：完全平方公式；整体代入．

7．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　）

A．　　　　B．

C． 　　　　D．

【答案】D．

【解析】

考点：二次函数图象与几何变换．

8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1　　　　　　B．k＞﹣1且k≠0　　　　　　C．k＜﹣1　　　　　　D．k＜﹣1或k=0

【答案】B．

【解析】

试题分析：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．

考点：根的判别式．

9．如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2+π　　　　　　B．2+2π　　　　　　C．4+π　　　　　　D．2+4π

【答案】A．

【解析】

试题分析：如图，连接CD，OD，∵BC=4，∴OB=2，∵∠B=45°，∴∠COD=90°，∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=×2×2+=2+π，故选A．

考点：扇形面积的计算；等腰直角三角形．

10．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　）

A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．

【答案】B．

【解析】

考点：列表法与树状图法；绝对值．

11．小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　）

A．　　　　　　B．

C．　　　　　　D．

【答案】D．

【解析】

考点：函数的图象．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）

A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．

【答案】C．

【解析】

试题分析：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∠DAE=∠HAE，AE=AE，∠ADE=∠AHE，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选C．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；综合题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

13．分解因式：=      ．

【答案】2x（x+2）（x﹣2）．

【解析】

试题分析：==2x（x+2）（x﹣2）．故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用． 

14．已知α，β是方程的两个实数根，则的值为      ．

【答案】0．

【解析】

试题分析：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，所以原式=a（α+β）﹣3α=3α﹣3α=0．故答案为：0．

考点：根与系数的关系．

15．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：

则计算器显示的结果是      ．

【答案】﹣959．

【解析】

试题分析：根据题意得：=﹣959，故答案为：﹣959．

考点：计算器—基础知识．

16．在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=      ．

【答案】．

【解析】

考点：等边三角形的性质．

17．设△ABC的面积为1．

如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．

如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；

如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；

…

按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S=      ．

【答案】．

【解析】

BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn，其面积Sn==，故答案为：．

考点：规律型：图形的变化类；三角形的面积；规律型；综合题．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

18．解不等式：．

【答案】x≤4．

【解析】

试题分析：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集． 

试题解析：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，移项合并得：5x≤20，解得：x≤4．

考点：解一元一次不等式．

19．已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．

【答案】证明见解析．

【解析】

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

20．某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

【答案】70km/h．

【解析】

试题分析：求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．

试题解析：设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：

，解得：x=70．

经检验：x=70是原方程的解．

答：汽车原来的平均速度70km/h．

考点：分式方程的应用．

21．为了“天更蓝，水更绿”某市加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：

说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…

根据上述信息，解答下列问题：

（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数      ，中位数      ；

（2）请补全空气质量天数条形统计图：

（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；

（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？

【答案】（1）90，90；（2）作图见解析；（3）作图见解析；（4）219．

【解析】

（4）先求出30天中空气污染指数在100以下的比值，再由这个比值乘以365天就可以求出结论．

试题解析：（1）在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；

故答案为：90，90．

（2）由题意，得轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．

（3）由题意，得优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°．

（4）该市居民一年（以365天计）中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．

22．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．

①求OF的长；

②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

【答案】（1）；（2）①1；②证明见解析．

【解析】

试题解析：

（1）∵反比例函数（k＞0）的图象经过点D（3，1），∴k=3×1=3，∴反比例函数表达式为；

（2）①∵D为BC的中点，∴BC=2，∵△ABC与△EFG成中心对称，∴△ABC≌△EFG，∴GF=BC=2，GE=AC=1，∵点E在反比例函数的图象上，∴E（1，3），即OG=3，∴OF=OG﹣GF=1；

②如图，连接AF、BE，∵AC=1，OC=3，∴OA=GF=2，在△AOF和△FGE中，∵AO=FG，∠AOF=∠FGE，OF=GE，∴△AOF≌△FGE（SAS），∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，∴EF∥AB，且EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AF=EF，∴四边形ABEF为菱形，∵AF⊥EF，∴四边形ABEF为正方形．

考点：反比例函数综合题；综合题．

23．如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．

（1）求证：△BFN∽△BCP；

（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）①作图见解析；②3．

【解析】

②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP（AAS），根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．

试题解析：（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，∴MN垂直平分线段BP，∴∠BFN=90°．

∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°．

∵∠FBN=∠CBP，∴△BFN∽△BCP．

（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图所示．

在△ABM和△DMP中，∵∠MBA=∠PMD，∠A=∠PMD=90°，BM=MP，∴△ABM≌△DMP（AAS），∴DM=AB=4，DP=AM．

设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，BM= =．

∵BM=MP=2OE，∴=2×（4﹣a），解得：a=，∴DP=2a=3．

考点：圆的综合题；动点型；翻折变换（折叠问题）；压轴题．

24．如图1，经过原点O的抛物线（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）C（1，﹣1）；（3）存在，P的坐标为（，）或（﹣，）．

【解析】

（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标． 

试题解析：

（1）∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为；

（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；

），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=，OC=，∵△POC∽△MOB，∴ ==2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，如图3

∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴===2，∵M（，），∴MG=，OG=，∴PH=MG=，OH=OG=，∴P（，）；

当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH=MG=，OH=OG=，∴P（﹣，）；

综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．

考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；压轴题．