插值法和拟合实验报告(数值计算)

一、实验目的

1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；

2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；

3.利用matlab编程，学会matlab命令；

4.掌握拉格朗日插值法；

5.掌握多项式拟合的特点和方法。

二、实验题目

1.、插值法实验

将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与的图形进行比较：

(1) 做拉格朗日插值；

(2) 做分段线性插值；

(3) 做三次样条插值.

2、拟合实验

给定数据点如下表所示：

三、实验原理

1.、插值法实验

2、拟合实验

四、实验内容

1.、插值法实验

1.1实验步骤：

打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。

1.2实验程序：

x=-5:1:5;

xx=-5:0.05:5;

y1=1./(1+x.^2);

L=malagr(x,y1,xx);

L1=interp1(x,y1,x,'linear'); 

S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);

hold on;

plot(x,y1,'b*');

plot(xx,L,'r');

plot(x,L1,'g');

plot(xx,S,'k');

figure

x=-5:1:5;

xx=-5:0.05:5;

y2=atan(x);

L=malagr(x,y2,xx);

L1=interp1(x,y2,x,'linear'); 

S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);

hold on;

plot(x,y2,'b*');

plot(xx,L,'r');

plot(x,L1,'g');

plot(xx,S,'k');

figure

x=-5:1:5;

xx=-5:0.05:5;

y3=x.^2./(1+x.^4);

L=malagr(x,y3,xx);

L1=interp1(x,y3,x,'linear'); 

S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);

hold on;

plot(x,y3,'b*');

plot(xx,L,'r');

plot(x,L1,'g');

plot(xx,S,'k');

1.3实验设备： matlab软件。

2、拟合实验

2.1．实验步骤：

新建一个名为nihe.m的M文件，编写程序（见2.2实验源程序），运行程序，记录结果。

2.2实验程序：

x=[-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5];

y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55];

a1=mafit(x,y,3)

x1=[-1.5:0.05:1.5];

y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.^2+a1(1)*x1.^3;

hold on

plot(x,y,'b*');

plot(x1,y1,'r');

p1=polyval(a1,x);

s1=norm(y-p1)

figure

a2=mafit(x,y,5)

x2=[-1.5:0.05:1.5];

y2=a2(6)+a2(5)*x2+a2(4)*x2.^2+a2(3)*x2.^3+a2(2)*x2.^4+a2(1)*x2.^5;

hold on

plot(x,y,'b*');

plot(x2,y2,'r');

p2=polyval(a2,x);

s2=norm(y-p2)

2.3实验设备： matlab软件。

五、实验结果

1.、插值法实验

（1）

（2）

（3）

2、拟合实验

（1）

平方误差：s1 =0.0136

输入程序得到：

a1 =

    2.0000   -0.0014   -1.5007    0.0514

s1 =

    0.0136

（2）

平方误差：s2 = 0.0069

输入程序得到：

a2 =

    0.0120    0.0048    1.9650   -0.0130   -1.4820    0.0545

s2 =

    0.0069

>>

六、实验结果分析

1.、插值法实验

结果分析：

（1） 由插值结果曲线图可见，拉格朗日插值在节点附近误差很小，但在两端有振荡现象；分段线性插值具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值在直观上与原函数曲线吻合得最好；

（2）分析可知，均匀插值时（拉格朗日插值），会出现多项式插值的Runge现象，当进行非等距节点插值时（分段线性插值、三次样条插值），其近似效果明显要比均匀插值要好，原因是非均匀插值时，在远离原点处的插值节点比较密集，所以其插值近似效果要比均匀插值时的效果要好。

2、拟合实验

结果分析：

可能是原始数据太少的问题，在 拟合结果曲线图看不出三次和五次有什么差别，但由于三次多项式拟合的平方误差大于五次多项式拟合的平方误差，因此五次多项式拟合比三次多项式拟合效果要好。