2019高中联赛试题

1、已知正实数满足，则的值为______________.

【解】，，，

，所以，.

2、若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为___________.

【解】

若，则，舍；

若，则；

若，则，舍；

故.

3、平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是________________.

【解】设是轴单位向量，，，

因为对任意实数成立，所以，

即，所以，.

4、设为椭圆的长轴顶点，为椭圆的两个焦点，，

，为上一点，满足，则的面积为_________.

【解】，，

，带入椭圆方程：，，.

5、在中，随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为______________.

【解】

6、对任意闭区间，用表示函数在上的最大值.若正数满足

，则的值为__________.

【解】

7、正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，且将正方体分成成体积比为的两部分，则____________.

【解】

设，则，解之得，，

.

8、将6个数按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为___________.

【解】所有首位非0的8位数：，2、0相邻的不同8位数：，

1、9相邻的不同8位数：，2、0与1、9均相邻的不同8位数：，

故所求的8位数的个数： 

9、在中，，若是的等比中项，且是和的等差中项，求的值.

【解】，

所以，所以，

，所以，.

10、在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点，求圆半径.

【解】

设切点，圆，

则切线： ，

即，

①，②，

解①，，且，解②，，

所以，，，，

.

11、称一个复数列为“有趣的”，若，且对任意正整数，

均有.求最大的常数，使得对一切有趣的数列及任意正整数，均有.

【证明】对于有趣数列，，是正整数，

，，，

，所以，

，

当时，

，

当时，

且，

所以， 

，

，

另一方面，，则为有趣数列，

，所以，.