北京四中初二数学第一学期期末几何总复习

编稿：白真 　　审稿：范兴亚 　　　责编：高伟

知识网络

全等三角形

知识结构图

地位和作用

　　全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．

轴对称

知识结构图

地位和作用

　　本章的图形与几何内容是继全等三角形之后的进一步推理论证内容，也是继平移变换后的第二种合同变换(保距变换)，即要用轴对称的观点分析现实生活中的几何图形，又要深入挖掘一些特殊图形的性质，为后续学习如四边形、圆等做好充分的准备，同时培养学生的美学观．

知识要点梳理

知识点一：全等三角形概念

　　1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．

　　2．两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．

　　3．全等三角形对应边相等，对应角相等．

知识点二：三角形全等的判定

　　1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．

　　2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

　　3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．

　　4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．

　　5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．

知识点三：作轴对称图形

　　1．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形．

　　2．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

知识点四：轴对称变换

　　1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．

　　2．新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点．

　　3．连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

　　4．用坐标表示轴对称：

　　 　点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)．

知识点五：等腰三角形

　　等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，这些特殊性质，都和它是轴对称图形有关，因此，把这部分内容安排在轴对称之后，从轴对称的角度，得出“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质等内容．

　　1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．

　　2．等腰三角形的性质：

　　(1) 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)．

　　(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合(三线合一)．

　　3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

知识点六：等边三角形

　　1．等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形．

　　2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．

　　3．等边三角形的判定：

　　(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．

　　(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

知识点七：其它常用的三角形性质

　　1．30°角的直角三角形的性质：

　　 　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

　　2．三角形中边与角之间的不等关系：

　　(1) 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大(大边对大角)．

　　(2) 在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大(大角对大边)．

经典例题精析

类型一：由角平分线想到构造全等

　　不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点(此点作为顶点)组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称(全等)，从而把角、线段转移达到解题目的．

　　1．如图1，已知：△ABC中，AD平分∠BAC，交对边CD于D，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B．

　　　　　　　　　　　　　图 1　　　　　　　　　　　　　　　 图 2

　　解析：在AB取一点E，使AE=AC，连接ED，如图2

　　　　　显然，△ADC≌△ADE，

　　　　　∴ ∠C=∠AED，AE=AC，CD=ED，

　　　　　又∵ AB=AC+CD，

　　　　　∴ ED=EB，

　　　　　∴ ∠EDB=∠B，　 ∴ ∠AED=2∠B　 ∴ ∠C=2∠B．

　　2．如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，求证：BC=BD+AD．

　　　　　　　　　　　　　图 3　　　　　　　　　　　　　　　 图 4

　　解析：在BC上取点E、F，使BE=BD，BF=BA．如图4

　　　　　∵ BD平分∠ABC，∠A=100°，

　　　　　∴ △ABD≌△FBD，FD=AD，∠BFD=100°，

　　　　　∴ ∠DFE=180°-100°=80°

　　　　　∵ AB=AC

　　　　　∴ ∠ABC=∠C

　　　　　∴ 

　　　　　∴ ∠DBE=20°

　　　　　∴ ∠DEF=(180°-20°)÷2=80°

　　　　　∴ ∠DFE=∠DEF

　　　　　∴ DE=DF=AD,

　　　　　∵ ∠C=(180°-100°) ÷2=40°, ∠EDC=∠DEF-∠C=80°-40°=40°,

　　　　　∴ DE=EC,

　　　　　∴ AD=EC,

　　　　　∴ BC=BE+EC=BD+AD．

　　3．如图5，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB，PC。求证：．

　　　　　　　　　　　　　图 5　　　　　　　　　　　　　　　 图 6

　　解析：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，如图6

　　　　　由AD平分∠BAC，得∠BAP=∠CAP，

　　　　　又∵ AE=AB，AP=AP，

　　　　　∴ △APE≌△APB，

　　　　　∴ PE=PB，

　　　　　在△EPC中，PC-PE　　　　　即PC-PB　　　　　∴ PC-PB　　4．如图7，D为等边△ABC内的一点，DB=DA，BE=AB，∠DEB=∠DBC，求∠BED的度数．

　　　　　　　　　　　　图 7　　　　　　　　　　　　　　　 图 8

　　解析：连结DC，如图8

　　　　　由△ABC是等边三角形且BE=AB，可得

　　　　　BE=BC，

　　　　　又∵ ∠DBE=∠DBC，BD=BD，

　　　　　∴ △DBE≌△DBC，

　　　　　∴ ∠BED=∠BCD，

　　　　　∵ DB=DA，DC=DC，BC=AC，

　　　　　∴ △CBD≌△CAD，

　　　　　∴ ，

　　　　　∴ ．

类型二：由轴对称图形想到构造全等

　　5．如图9，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD=PE，求证：AC=AB．

　　　　　　　　　　　　　图 9　　　　　　　　　　　　　　 图 10

　　解析：连结AP，如图10

　　　　　∵ ∠PDA=∠PEA=90°，PD=PE，PA=PA，

　　　　　∴ Rt△PDA≌Rt△PEA，

　　　　　∴ AD=AE，

　　　　　又∵ ∠CAB=∠BAD，

　　　　　∴ Rt△ACE≌Rt△ABD，

　　　　　∴ AC=AB．

　　6．如图11，在△ABC中，AB>AC，E、F是AC、AB上的点，并且，求证：CE=BF．

　　　　　　　　　　　　　图 11　　　　　　　　　　　　　　　 图 12

　　解析：作射线CG，使∠GCB=∠FBC，CG交BE于G，如图12

　　　　　由已知，显然△BCF≌△CBG，

　　　　　∴ BF=CG，且∠FBM=∠GCM，

　　　　　∵ ∠CEG=∠A+∠ABE，∠CGE=∠GBC+∠BCF+∠MCG，

　　　　　∴ ∠CEG=∠CGE，

　　　　　∴ CE=CG，

　　　　　∴ CE=BF．

　　7．如图13，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=AE，∠BAE=30°，求证：BE=CE．

　　　　　　　　　　　　　　图 13　　　　　　　　　　　 图 14

　　解析：作正方形ABCF，连结EF，如图14

　　　　　由作图知，∠FAE=60°，

　　　　　又∵ AE=AB=AF，

　　　　　∴ △AEF为等边三角形，

　　　　　∴ AE=FE，

　　　　　显然，△ABE≌△FCE，

　　　　∴ BE=CE．

　　8．小明家门前一长度为的直围墙AB，小明家现决定修建面积为的三角形形状的花坛，其中以围墙为一边，新修建两边，如果要使建设费用最省，请问如何修建，并说明理由．

　　思路点拨：如图15，作直线CD∥AB且两平行线的距离为，点P为CD上的动点，，要使费用最省，就得使AP+BP的值最小，作点A关于CD的对称点，交CD于E，，当共线时，即点P为与直线CD的交点，由两点间线段最短，得最小，故最小，显然，，所以，从而为AB的中垂线，那么费用最省． 

　　解析：作墙所在线段AB的中垂线，垂足为O，在中垂线上取一点P，使，沿着△ABP的边AP、BP修建即可，如图16． 

　　　　　　　　　　　图 15　　　　　　　　　　　　　　　　 图 16

类型三：特殊三角形的线段关系

　　9．如图17，已知在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD+PE是一个定值．

　　　　　　　　　　　　　　　图 17　　　　　　　　　　　 图 18

　　解析：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，如图18

　　　　　由，，

　　　　　，，

　　　　　得：，

　　　　　即，(定值)．

　　总结升华：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高．

　　【变式1】如图19，如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？

　　【答案】连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，如图19

　 　【变式2】如图20，若△ABC为等边三角形，边长为，在△ABC内部任取一点O，记O到三边的距离依次为、、．求证：为定值．

　　　　　　　　　　　　　 图 20　　　　　　　　　　　　 图 21

　　【答案】如图21，连接PA、PB、PC．

　　　　　　，

　　　　　　故是一个常数．

　　【变式3】若△ABC为等边三角形，边长为，在△ABC外，且∠C内部任取一点O，记O到AB、AC、BC的距离依次为、、．求、、、之间的数量关系．

　　10．如图23，在等边三角形△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE=BD，求证：CE=DE．

　　　　　　　　　　　　　　　 图 23　　　　　 图 24　　　　　 图 25

　　解析：

　　（法一）过E作EF⊥CD于点F，如图24

　　　　　 　∵ △ABC是等边三角形，

　　　　 　　∴ ∠B=60°，

　　　　　 　∴ ∠BEF=30°，

　　　　　 　∴ BE=2BF，则BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF)

　　　　 　　∴ CD=2CF，

　　　　　 　∴ CF=DF，

　　　　　 　在△CEF和△DEF中，CF=DF，∠CFE=∠DFE=90°，EF=EF，

　　　　　 　∴ △CEF≌△DEF，

　　　　　 　∴ CE=DE．

　　（法二）如图25，延长CD到G，使DG=BC，则CG=AE，

　　　　　 　所以△EBG为等边三角形，可证明△ECB≌△EDG．

　　11．如图26，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点P在△ABD内部，求证：

　　　　 　　　　　　　　　　图 26　　　　　　　　 图 27

　　解析：作点P关于AD的对称点，连接并延长交PC于点Q，连接，如图27．

　　　　 　因为AB=AC，AD是BC边上的高，

　　　　 　易得

　　　　 　因为，，

　　　　 　故

　　【变式1】如图28，△ABC的边AB和BC上的高线不短于其对应边的边长，试求该三角形的各个角的度数．

　　　　　　　　　　　　　　图 28　　　　　　　　　 图 29

　　【答案】如图28，设AD、CE分别是BC和AB上的高线，则，．

　　　 　　 但由题设知，，

　　　 　　 所以，

　　　 　　 从而D、B、E重合，如图29．

　　　 　　 所以△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，因此∠B=90°，∠A=∠C=45°．

类型四：特殊三角形与几何变换

　　12．如图30，设O是等边△ABC内的一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角的大小．

　　　　　　　　　　　　　　　图 30　　　　　　　 图 31

　　解析：将△BOC绕B点顺时针旋转60°，使BC与AB重合，此时O点位于点P处．

　　　　　连接OP，如图31．易知△BOC≌△BPA，故OB=BP，OC=PA，∠BPA=∠BOC=125°．

　　　　　∵ ∠PBO=60°，PB=BO，

　　　　　∴ OP=OB．故△OPA是以线段OA、OB、OC为边构成的三角形，

　　　　　∵ ∠BOC=125°，

　　　　　∴ ∠PAO=360°-125°-115°-60°=60°，∠POA=115°-60°=55°，∠OPA=65°．

　　13．

　　(1) 如图32，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．

　　(2) 如图33，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，∠APD=120°，

　　　　证明：．　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　 　图 32 　　　　　　　　　　　图 33 　

　　解析：

　　(1)连接AC，延长CD至F，使得DF=BC，如图34．

　　　 易证△ABC≌△ADF，△ACF为正三角形，故BC+CD=CD＋DF=CF=AC．

　　(2)以AD为边做正三角形△ADE，连接AC、PE、CE，如图35．

　　 　由上可知，PE=PA+PD

　 　　易证△BAD≌△CAE，故CE=BD．在△PCE中，PE+PC>CE

　　 　当C、P、E三点共线时，PE+PC=CE．故，即 　　

　　　　　　　　　　　　　图 34　　　　 　　　　　　　图 35

　　14．如图36，在等腰直角三角形△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n，求证：以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．

　　　　　　　　　　　　　图 36　　　　　　　　　　　 图 37

　　解析：

　　(法一)如图37，将△CBN绕点C顺时针旋转90°，得到△CAD．

　　　　　 连接MD，则AD=BN=，CD=CN，∠ACD=∠BCN，

　　　　 　故∠MCD=∠ACM+∠ACD=∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°=∠MCN，

　　　　　 从而△MDC≌△MNC，