数学建模动物繁殖

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0～5岁；第二组6～10岁；第三组11～15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各有1000头。

（1）编程，计算5年后、10年后、15年后、20年后各年龄段动物数量，50年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？

（2）根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值，有≈（是莱斯利矩阵的唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的的值。

（3）如果每五年平均向市场供应动物数＝，在20年后农场动物不至灭绝的前提下，计算应取多少为好？

提示：现在给大家作出如下问题分析：

在初始时刻0～5岁、6～10岁、11～15岁的三个年龄段动物数量分别为：

　　　　　　　　　　＝1000，　＝1000，　＝1000

以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量

　　　　　　　　　　＝

表示。以五年为一个时间段，记

　　　　　　　　　　＝

为第个时段动物数分布向量。当＝0，1，2，3时，分别表示现在、五年后、十年

后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由此得第一年龄组在第＋1个时间段的数量如下：

　　　　　　　　　　＝4＋3

同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式

　　　　　　　　　　＝0.5，　＝0.25

建立数学模型如下：

　　　　　　　　　　＝4＋3

　　　　　　　　　　＝0.5         （＝0，1，2，3）

　　　　　　　　　　＝0.25

改写成矩阵形式

　　　　　　　　　　　　　（＝0，1，2，3）

由此得向量和的递推关系式

　　　　　　　　　　＝

其中矩阵

　　　　　　　　　　＝

称为莱斯利矩阵，进一步有

　　　　　　　　　　＝

（3）

　如果每个五年平均向市场供应动物＝，分析动物数分布向量变化规律可知

　　　　　　　　　　＝－

　　　　　　　　　　＝－

　　　　　　　　　　＝－

　　　　　　　　　　＝－

所以有

　　　　　　　　　　＝－（＋＋＋）

考虑20年后动物不灭绝，应有

　　　　　　　　　　＞0

即有

　　　　　　　　　　（＋＋＋）＜

由于是常数向量，简单求解不等式组，可取c=