江苏省无锡市普通高中2017届高三(上)期中数学试卷(解析版)

　一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）

1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是　　命题（填“真”或“假”）

2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为　　．

3．函数y=+的定义域为　　．

4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=　　．

5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为　　

6．若复数[x-1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y=　　

7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为　　．

8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为　　．

9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为　　．

10．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα=　　．

11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 的范围为　　．

12．设数列{an} 的前n项和为Sn，已知4Sn=2an-n2+7n（n∈N*），则a11=　　．

13．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则+ 的最小值为　　．

14．已知正实数x，y满足+2y-2=lnx+lny，则xy=　　．

　二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且•=0， •=3．

（1）求•；（2）求λ+μ 的值．

16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证：

（1）BD1∥平面EAC；

（2）平面EAC⊥平面AB1C．

17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=acosB．

（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A的值．

18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m•nx+s．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．

19．已知数列{an} 为等比数列，等差数列{bn} 的前n 项和为Sn （n∈N* ），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．（1）求数列{an}，{bn} 的通项公式；

（2）设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （n∈N* ），求Tn；  

（3）设cn=，问是否存在正整数m，使得cm•cm+1•cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

20．已知函数f（x）=，定义域为[0，2π]，g（x） 为f（x） 的导函数．

（1）求方程g（x）=0 的解集；（2）求函数g（x） 的最大值与最小值；

（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．

2016-2017学年江苏省无锡市普通高中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）

1．命题“若lna＞lnb，则a＞b”是　真　命题（填“真”或“假”）

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】由自然对数的定义及性质可以判定a＞b＞0的关系，从而判定命题的真假．

【解答】解：∵lna＞lnb，由自然对数的定义及性质可则a＞b＞0，所以命题是 真命题．

故答案：真

2．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，现要用分层抽样在方法从中抽取60件，则乙类产品抽取的件数为　10　．

【考点】分层抽样方法．

【分析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．

【解答】解：∵甲、乙、丙、丁4类产品共计1200件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：5，

∴用分层抽样的方法从中抽取60，则乙类产品抽取的件数为60×=10

故答案为：10

　3．函数y=+的定义域为　[1，2]　．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解不等式即可得到所求定义域．

【解答】解：函数y=+有意义，

只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，

解得1≤x≤2，即定义域为[1，2]．故答案为：[1，2]．

4．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=　{﹣1，，1}　．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．

【解答】解：由A∩B={}得，2a=⇒a=﹣1，b=，∴A={1， }，B={﹣1， }，

∴A∪B={1，﹣1， }故答案为：{﹣1，，1}．

5．执行如图所示的流程图，则输出的M应为　2　

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．

【解答】解：由题意，执行程序框图，可得

i=1，满足条件，则M==﹣1，i=2，满足条件，则M==，

i=3，满足条件，则M==2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2

　6．若复数[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），则x+y=　0　

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得方程组，求解即可得答案．

【解答】解：由[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，

得2x﹣y﹣3+（x+2y+1）i=0，

即，解得．则x+y=0．故答案为：0．

　7．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为　　．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．

【解答】解：易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．故答案为．

　8．已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为　120°　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．

【解答】解：设与的夹角为θ，

∵||=2，||=1，|﹣2|=2，

∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||•||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，

即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案为：120°．

　9．已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为　﹣1　．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入M=4m求得实数a的值

【解答】解：解：由 x，y 满足作出可行域如图，

联立，解得：A（a，a），联立，解得：B（1，1），

化目标函数为直线方程斜截式y=﹣3x+z，

由图可知，当直线过A（a，a）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为m=4a，

当直线过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为M=4，

由M+m=0，得a+4=0，即a=﹣1．故答案为：﹣1

　10．已知f（x）=cos（﹣），若f（α）=，则sinα=　﹣　．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值可求cos+sin=，两边平方后利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα的值．

【解答】解：∵f（x）=cos（﹣），若f（α）=，

∴cos（﹣）=（cos+sin）=，解得：cos+sin=，

∴两边平方可得：1+sinα=，解得：sinα=﹣．

故答案为：﹣．

11．若函数y=，在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a 范围为　[0，2+ln2]　．

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a 的范围．

【解答】解：当x≤0时，y=x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，

x＞0时，y=x﹣a+lnx是增函数，在区间（﹣2，2）上有两个零点，

可知分段函数，两个区间各有一个零点，

可得，解得a∈[0，2+ln2]．故答案为：[0，2+ln2]．

12．设数列{an} 的前n项和为Sn，已知4Sn=2an﹣n2+7n（n∈N*），则a11=　﹣2　．

【考点】数列递推式．

【分析】由4Sn=2an﹣n2+7n（n∈N*）⇒4Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）2+7（n﹣1），n≥2，两式相减可得an+an﹣1=4﹣n（n≥2），进一步整理可得数列{an} 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，从而可得答案．

【解答】解：∵4Sn=2an﹣n2+7n（n∈N*），①

∴4Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）2+7（n﹣1）（n≥2，n∈N*），②

①﹣②得：4an=2an﹣2an﹣1﹣2n+8，∴an+an﹣1=4﹣n（n≥2），③

an+1+an=4﹣（n+1），④  ④﹣③得：an+1﹣an﹣1=﹣1．又4a1=2a1﹣12+7，∴a1=3．

∴数列{an} 的奇数项是以3为首项，﹣1为公差的等差数列，

∴a11=3+（6﹣1）×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．

13．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则+ 的最小值为　　．

【考点】基本不等式．

【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：正实数a，b，即a＞0，b＞0；

∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，

那么：（+ ）（）=

≥=当且仅当2（a+1）=（b+2）时，即取等号．

∴+ 的最小值为：，故答案为：．

14．已知正实数x，y满足+2y﹣2=lnx+lny，则xy=　　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】令f（x）=﹣lnx﹣2，令g（y）=lny﹣2y，问题转化为求f（x）的最小值和g（y）的最大值，从而求出对应的x，y的值，从而求出xy的值即可．

【解答】解：令f（x）=﹣lnx﹣2，

则f′（x）=，

令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，

∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，

∴f（x）≥f（2）=﹣ln2﹣1，令g（y）=lny﹣2y，

则g′（y）=，令g′（y）＞0，解得：y＜，

令g′（y）＜0，解得：y＞，

∴g（y）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

∴g（y）≤g（）=﹣ln2﹣1，∴x=2，y=时，﹣lnx﹣2=lny﹣2y，

∴xy==，故答案为：．

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．已知三点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点， =λ+μ，且•=0， •=3．（1）求•；（2）求λ+μ 的值．

【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．

【分析】（1）求出的坐标，代入向量的坐标运算公式计算数量积；

（2）用λ，μ表示出的坐标，根据向量的数量积公式列方程组求出λ+μ．

【解答】解：（1）=（2，1），=（1，2），

∴=2×1+1×2=4．

（2）=λ+μ=（2λ+μ，λ+2μ），

∵，∴，即，

两式相加得：9λ+9μ=3，∴λ+μ=．

16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证：

（1）BD1∥平面EAC；

（2）平面EAC⊥平面AB1C．

【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质．

【分析】（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD1．根据中位线可知BD1∥OE，又OE⊂平面EAC，BD1⊄平面EAC，根据线面平行的判定定理可知BD1∥平面EAC；

（2）根据BB1⊥AC，BD⊥AC，BB1∩BD=B，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D则BD1⊥AC，同理BD1⊥AB1，从而BD1⊥平面AB1C．根据（1）可得BD1∥OE，从而EO⊥平面AB1C，又EO⊂平面EAC，根据面面垂直的判定定理可知平面EAC⊥平面AB1C．

【解答】证明：（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD1．

因为E为DD1的中点，所以BD1∥OE．又OE⊂平面EAC，BD1⊄平面EAC，

所以BD1∥平面EAC；

（2）∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D 内

∴AC⊥平面BB1D1D  又BD1⊂平面BB1D1D∴BD1⊥AC．

同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C． 由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．

又EO⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C．

17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=acosB．

（1）求角B 的值；（2）若cosAsinC=，求角A的值．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由已知及正弦定理可得asinB=acosB，可求tanB=，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．

（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A+）=﹣，结合A的范围，可得2A+∈（，），从而可求A的值．

【解答】（本题满分为14分）

解：（1）∵由正弦定理可得：bsinA=asinB，

又∵bsinA=acosB，∴asinB=acosB，∴tanB=，

∵B∈（0，π），∴B=…6分

（2）∵cosAsinC=，∴cosAsin（﹣A）=，

∴cosA（cosA+sinA）=×+sin2A=，∴sin（2A+）=﹣，

∵A∈（0，），可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=…14分

18．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系．模拟函数1：y=ax++c ；模拟函数2：y=m•nx+s．（1）已知4月份的产量为13.7 万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量．

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）用待定系数法，求出函数的解析式，即可得出结论；

（2）确定用模拟函数2好，再进行预测即可．

【解答】解：（1）模拟函数1：y=ax++c，，∴a=，b=﹣3，c=，

∴y=，∴x=4，y=13.75；

模拟函数2：y=m•nx+s，，∴m=﹣8，n=，s=14，

∴y=14﹣23﹣x，∴x=4，y=13.5，∴用模拟函数1好；

（2）模拟函数1：y=，是单调递增函数，x=12时，生产量远多于他的最高限量；

模拟函数2，单调递增，但生产量y＜14，不会超过15万件，

所以用模拟函数2好，x=6，y=13.875，即预测6月份的产量为13.875万件．

19．已知数列{an} 为等比数列，等差数列{bn} 的前n 项和为Sn （n∈N* ），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．（1）求数列{an}，{bn} 的通项公式；

（2）设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （n∈N* ），求Tn；  

（3）设cn=，问是否存在正整数m，使得cm•cm+1•cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）根据等差数列的前n项公式和S9﹣S7=41，即可求出an．再利用a1=b2，a3=b3，可知公比，进而可得{bn} 的通项公式；

（2）通过错位相减法即可求出前n项和，

（3）分类讨论，计算即得结论．

【解答】解：（1）等差数列{bn} 的前n 项和为Sn （n∈N* ），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，

即  解得b7=16，公差为3

∴b1=﹣2，bn=3n﹣5，∵a1=b2=1，a3=b3=4，数列{an} 为等比数列，∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+（3n﹣5）2n﹣1，①

∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+（3n﹣5）2n，②

①﹣①得Tn=﹣2+3（2+22+…+2n﹣1）-（3n-5）2n=3×（2n﹣2）-（3n﹣5）2n=（8-3n）2n-8，

∴Tn=（3n﹣8）2n+8，n∈N*

（3）∵设cn=，

当m=1时，c1•c2•c3+8=1×1×4+8=12，3（c1+c2+c3）=18，不相等，

当m=2时，c2•c3•c4+8=1×4×7+8=36，3（c2+c3+c4）=36，成立，

当m≥3且为奇数时，cm，cm+2为偶数，cm+1为奇数，

∴cm•cm+1•cm+2+8为偶数，3（cm+cm+1+cm+2）为奇数，不成立，

当m≥4且为偶数时，若cm•cm+1•cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2），

则（3m﹣5）•2m•（3m+1）+8=3（3m﹣5+2m+3m+1），

即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）

∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，

∴（*）不成立，综上所述m=2．

20．已知函数f（x）=，定义域为[0，2π]，g（x） 为f（x） 的导函数．

（1）求方程g（x）=0 的解集；（2）求函数g（x） 的最大值与最小值；

（3）若函数F（x）=f（x）﹣ax 在定义域上恰有2个极值点，求实数a 的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）f′（x）=﹣+，由方程g（x）=0 得=0，由此能求出方程g（x）=0 的解集．

（2）+﹣=﹣2×，令g′（x）=0，解得x=或x=，由此利用导数性质能求出g（x）的最值．

（3）函数F（x）=f（x）﹣ax在定义域上恰有2个极值点，等价于y=a的图象恰恰有两个交点，由此利用分类讨论思想能求出实数a 的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=，定义域为[0，2π]，

∴f′（x）=﹣+，∵g（x） 为f（x） 的导函数，

∴由方程g（x）=0 得=0，解得，或x=，

∴方程g（x）=0 的解集为{， }．

（2）∵+﹣=﹣2×，

令g′（x）=0，解得x=或x=，

（3）∵﹣a=g（x）﹣a，

∴函数F（x）=f（x）﹣ax在定义域上恰有2个极值点，

等价于g（x）﹣a=0在定义域外上恰有两个零点且零点处异号，

即y=a的图象恰恰有两个交点，由（2）知F′（0）=g（0）﹣a=1﹣a，

F′（2π）=g（2π）﹣a=e﹣2π﹣a，

，

F′（2π）=g（2π）﹣a=e﹣2π﹣a，

若，则F′（2π）＜0，

∴F′（x）=0只有一个零点，不成立．∴．

若，即a=在x=处同号，不成立；

若F′（2π）≤0，则F′（x）=0有3个零点，不成立．

∴只有F′（2π）＞0，

∴满足条件为：，

解得＜a＜e﹣2π或a=．

∴实数a 的取值范围是{a|＜a＜e﹣2π或a=}．