高考数学综合能力题30讲第03讲 指数函数与对数函数

指数函数与对数函数

100080       北京中国人民大学附中              梁丽平

题型预测

指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体．其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心．

范例选讲

例1．已知，其中．

（1）试求的定义域和值域；求出的反函数；

（2）求出的反函数；

（3）判断函数的奇偶性和单调性；

（4）若实数满足，求的取值范围.

    讲解 （1）    由于，所以，函数的定义域为R.

为求的值域，观察函数的解析式．注意到其实是一个单调函数（）和一个非单调函数（）之和，因此，的单调性并不能通过简单判断很快得到．

解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：

一、从单调性的定义出发．即任取，且，比较的大小关系，这种方法留给同学自己完成．

二、通过刚才的观察，很快可以看出：在上单调递增，此时，的取值范围为；

当时， ，因此，若令，则

由，则可知：此时的取值范围为．

又时，．所以，函数的值域为．

所以，函数的值域为R．

（2）设，则=，利用与互为倒数，可得=，所以，．

所以， =， R．

    （3）任取R，则==，所以，函数为奇函数．

    任取，且，则由及指数函数的性质可知：

，，

所以，，即．

所以，在定义域内单调递增．

（4）由得：，即：

    结合的单调性可知：上式等价于：，解之得：．

    点评 ①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．

例2．已知函数，对定义域内的任意都有成立．

    （1）求实数的值；

    （2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值．

讲解：（1）由及可得：

解之得：．

当时，函数无意义，所以，只有．

（2）时， ，其定义域为.

所以， 或．

①若，则．

为研究时的值域，可考虑在上的单调性．下证在上单调递减．

任取，且，则

又，所以，，即．

所以，当，在上单调递减

由题：时，的取值范围恰为，所以，必有，解之得：（因为，所以舍去）

②若，则．又由于，所以，．

此时，同上可证在上单调递增（证明过程略）．

所以，在上的取值范围应为，而为常数，故的取值范围不可能恰为．

所以，在这种情况下，无解．

综上，符合题意的实数的值为， 

点评  本题（2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．

高考真题

1.（19年全国高考）已知a＞0且a≠1，试求使方程

loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.

2.（1990年全国高考）设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.

①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；

②如果a∈(0，1)，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.

3.（1991年三南高考）已知函数f(x)＝

⑴证明：f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数；

⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞

.

[答案与提示：1. 当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解；2.  a的取值范围为，（2）可用数学归纳法证明；3. 略．]