2014年高考理科数学试题分类汇编 数列 word版含答案

一．选择题

1. （2014大纲）等比数列中，，则数列的前和等于     （     ）

A．6          B．5          C．4         D．3

【答案】C．

2. (2014重庆)对任意等比数列,下列说法一定正确的是（    ）

成等比数列       成等比数列

成等比数列      成等比数列

【答案】D

【解析】

3. (2014北京)设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（   ）

充分且不必要条件       必要且不充分条件 

充分必要条件          既不充分也不必要条件

D

试题分析：对等比数列，若，则当时数列是递减数列；若数列是递增数列，则

4. （2014福建）等差数列的前项和，若，则(    )

C

5. （2014辽宁）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（   ）

A．    B．   C．    D． 

【答案】C

【解析】

二．填空题

1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列中, ,则的值是  ▲  .

2(2014安徽)数列是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=     .

12．1

3(2014北京)若等差数列满足，，则当________时的前

  项和最大.

4(2014广东)若等比数列的各项均为正数,且,则         .

    5 (2014天津)设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.

【答案】

【解析】

解：    依题意得，所以，解得.

6.  (2014上海)设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q=       。

【答案】  

【解析】

三．解答题

1. (2014新课标I) (本小题满分12分)已知数列{}的前项和为， =1，，，其中为常数.

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减

，由于，所以            …………6分

（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知

假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；

证明时，{}为等差数列：由知

数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列

令则，∴

数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列

令则，∴

∴（），

因此，存在存在，使得{}为等差数列.                     ………12分

2、(2014四川) (本小题满分12分) 

    设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。

（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。

【答案】   （Ⅰ） （Ⅱ） 

【解析】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

3. (2014新课标II)（本小题满分12分）

已知数列满足=1，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

【答案】   (1)  无        （2） 无

（1）

(2)

4、(2014江西)（本小题满分12分）

已知首项都是1的两个数列（），满足.

(1)令，求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【解析】（1）

同时除以，得到……………………………………………………2分

即：……………………………………………………3分

所以，是首项为，公差为2的等差数列…………………………………4分

所以，……………………………………………………5分

(2)，………………………………………6分

………………………9分

两式相减得：

…………………11分

…………………12分

5(2014天津)（本小题满分14分）

已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.

（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；

（Ⅱ）设，，，其中，. 证明：若，则.

【答案】    （1） {0,1,2,3,4,5,67}            （2）    省略

（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.

（Ⅰ）解：当，时，，.

可得，.

（Ⅱ）证明：由，，，，及，可得

     .

    所以，.

6. (2014湖南)已知数列满足,.

(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;

(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式. 

7. (2014湖北)（本小题满分12分）

已知等差数列满足：，且，，成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式.

（Ⅱ）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

 （Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有

， 

化简得，解得或. 

当时，；

当时，，

从而得数列的通项公式为或.  

（Ⅱ）当时，. 显然，

此时不存在正整数n，使得成立.  

当时，. 

令，即，  

解得或（舍去），

此时存在正整数n，使得成立，n的最小值为41.  

综上，当时，不存在满足题意的n；

当时，存在满足题意的n，其最小值为41. 

8. （2014大纲）（本小题满分12分）

等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.

（I）求的通项公式；

（II）设，求数列的前n项和.

解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．

（II），于是99 (2014山东)（本小题满分12分）

已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和.

10 (2014重庆)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

设

（1）若，求及数列的通项公式；

（2）若，问：是否存在实数使得看不清

【答案】（I）        （II）

【解析】

（I）

（II）

11（2014浙江）（本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且

（1）求与；

（2）设。记数列的前项和为.

（i）求；

（ii）求正整数，使得对任意，均有．

（）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；

（）（i）由（）知，，所以；

（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．

12. (2014江苏) (本小题满分16分)

设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.

(1)若数列的前n项和(N),证明:是“H数列”;

(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求的值；

(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得

(N)成立.

【解析】（1）首先，当时，，所以，所

132014上海)（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列满足.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.

【答案】  （1）（2）        （3）

【解析】

（1）

（2）

（3）

14. (2014北京)（本小题13分）

对于数对序列，记，

，其中

表示和两个数中最大的数，

（1）对于数对序列，求的值.

（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.

（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.

解：（I）

         =8

（Ⅱ）

       .

      当m=a时， ==

      因为，且，所以≤

      当m=d时， 

      因为≤，且所以≤。

      所以无论m=a还是m=d，≤都成立。

（Ⅲ）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，

      =10， =26， =42， =50， =52