2020-2021学年云南省昆明市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.  

1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{0，1，2}    B．{1，2}    C．{1，2，4}    D．{1，4}

2．若z（1﹣i）＝2i，则在复平面内z对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．已知数列{an}为等比数列，a2＝3，a5＝，则a1＝（　　）

A．2    B．    C．    D．

4．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．2    B．    C．    D．

5．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点、焦点到C的一条渐近线的距离分别为和2，则C的方程为（　　）

A．＝1    B．＝1    

C．＝1    D．＝1

6．蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：cm）（　　）

A．[10，11）    B．[11，12）    C．[12，13）    D．[13，14]

7．已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P满足，Q是直线上的点，给出下列四个结论：

①点P的轨迹是圆；

②|PQ|的最大值为3；

③|PQ|的最小值为1；

④∠OQA＜90°．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．某班研究性学习课题小组为了解高中生上网的情况，随机选取了15名学生，对其每周上网时长（单位：小时）进行调查，经数据统计分析，得到这15名学生的每周上网时长的方差为s12．后来经核实，发现甲、乙两名学生每周上网时长记录的数据有误，甲同学每周上网时长实际为1小时，被误记录为6小时；乙同学每周上网时长实际为9小时，被误记录为4小时．数据更正后重新计算，得到方差为s22，则s22﹣s12＝（　　）

A．0    B．2    C．15    D．30

9．已知a＝0.3e，，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．b＞a＞c    B．a＞b＞c    C．c＞a＞b    D．b＞c＞a

10．某年级迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的4个白球和2个红球．抽奖方案有甲、乙两种，甲方案为：从纸箱中不放回地依次随机摸出3个小球；乙方案为：从纸箱中有放回地随机摸出3个小球．规定只有摸到1个白球和2个红球时中奖．设甲、乙两个方案中奖的概率分别为p1，p2，则（　　）

A．，    B．，    

C．，    D．，

11．函数f（x）＝ex﹣xm（x＞0）有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．{m|m＜0或m＝e}    B．{m|m＜0或m≥e}    C．{m|0＜m≤e}    D．{m|m＞0}

12．已知△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，BD＝3，则△ABC面积的最大值为（　　）

A．    B．3    C．    D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知为非零向量，，若，则的坐标可以是 　              　．

14．在的展开式中，x的系数为　   　．（用数字作答）

15．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，若，则p＝　            　．

16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b的部分图象如图所示，若f（x）在[﹣a，a]上有2个零点，则实数a的取值范围是 　                　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某公司员工年收入的频率分布直方图如图：

（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明．

18．在①an+1﹣an＝2，S3＝9；②an＝（S2﹣2）n﹣1；③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足，求数列{bn}的前10项和．

19．已知△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC边上（异于B，C）．

（1）若线段AD长度为整数，求BD；

（2）若，求cos∠BAD．

20．如图，在直三棱柱ABC﹣ABC1中，点D，E，F，D．分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上．

（1）证明：MF∥平面EC1D1；

（2）若AC⊥BC，AC＝BC＝AA1，求二面角B﹣CF﹣D 的大小．

21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，依次连结E的四个顶点构成的四边形面积为2．

（1）求E的方程；

（2）设E的左，右焦点分别为F1，F2，经过点M（﹣2，0）的直线与E交于A，B两点，且F1A∥F2B，求l的斜率．

22．已知函数f（x）＝aln（ax）+（a＞0）．

（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；

（2）若关于x的不等式ex+≥f（x）恒成立，求a的取值范围．

参

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.  

1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{0，1，2}    B．{1，2}    C．{1，2，4}    D．{1，4}

解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{1，2，4}，

∴A∩B＝{0，1，2}∩{1，2，4}＝{1，2}．

故选：B．

2．若z（1﹣i）＝2i，则在复平面内z对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1），所在象限为第二象限．

故选：B．

3．已知数列{an}为等比数列，a2＝3，a5＝，则a1＝（　　）

A．2    B．    C．    D．

解：设等比数列{an}的公比为q，由a2＝3，a5＝，得q3＝＝×＝，解得q＝，

所以a1＝＝3×＝2．

故选：A．

4．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（　　）

A．2    B．    C．    D．

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥体；

如图所示：

由于△ABE为等边三角形，

所以AF＝，

则．

故选：C．

5．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的顶点、焦点到C的一条渐近线的距离分别为和2，则C的方程为（　　）

A．＝1    B．＝1    

C．＝1    D．＝1

解：设双曲线的一个顶点为A（a，0），一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为bx﹣ay＝0，

则 ，，

整理可得，b＝2，

∵a2+b2＝c2，

∴a＝2．

则双曲线C的方程为：．

故选：A．

6．蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：cm）（　　）

A．[10，11）    B．[11，12）    C．[12，13）    D．[13，14]

解：由题意可知，足球的半径R＝11，球心到截面圆O1的距离为9，

则截面圆O1的半径为r＝，

∴蹴鞠的直径为2r＝，

∵122＝144＜＜132＝169，

∴该蹴鞠的直径所在的区间是[12，13）．

故选：C．

7．已知O为坐标原点，点A（2，0），动点P满足，Q是直线上的点，给出下列四个结论：

①点P的轨迹是圆；

②|PQ|的最大值为3；

③|PQ|的最小值为1；

④∠OQA＜90°．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

解：设P（x，y），

则•＝（x，y）•（2﹣x，﹣y）＝x（2﹣x）﹣y2＝0，

即（x﹣1）2+y2＝1，

所以点P的轨迹是圆，此圆圆心为C（1，0），半径为r＝1，OA是圆的一条直径，

所以点C到直线x﹣y+3＝0的距离为d＝＝2＞1，

所以直线与圆相离，

所以|PQ|无最大值，最小值为2﹣1＝1，

由于已知直线与以OA为直径的圆相离，∠OQA＜90°，

所以①③④正确，

故选：C．

8．某班研究性学习课题小组为了解高中生上网的情况，随机选取了15名学生，对其每周上网时长（单位：小时）进行调查，经数据统计分析，得到这15名学生的每周上网时长的方差为s12．后来经核实，发现甲、乙两名学生每周上网时长记录的数据有误，甲同学每周上网时长实际为1小时，被误记录为6小时；乙同学每周上网时长实际为9小时，被误记录为4小时．数据更正后重新计算，得到方差为s22，则s22﹣s12＝（　　）

A．0    B．2    C．15    D．30

解：由题意可得，数据更正前后的平均值不变，

设平均值为，

＝＝．

故选：B．

9．已知a＝0.3e，，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．b＞a＞c    B．a＞b＞c    C．c＞a＞b    D．b＞c＞a

解：∵，

∴，

∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜ln1＝0，

∴b＞a＞c．

故选：A．

10．某年级迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的4个白球和2个红球．抽奖方案有甲、乙两种，甲方案为：从纸箱中不放回地依次随机摸出3个小球；乙方案为：从纸箱中有放回地随机摸出3个小球．规定只有摸到1个白球和2个红球时中奖．设甲、乙两个方案中奖的概率分别为p1，p2，则（　　）

A．，    B．，    

C．，    D．，

解：甲中奖的情况有三种，取出的三个小球依次为：

红红白，红白红，白红红，

∴甲中奖的概率P1＝++＝．

乙中奖的情况有三种，取出的三个小球依次为：

红红白，红白红，白红红，

∴乙中奖的概率P2＝++＝．

故选：B．

11．函数f（x）＝ex﹣xm（x＞0）有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．{m|m＜0或m＝e}    B．{m|m＜0或m≥e}    C．{m|0＜m≤e}    D．{m|m＞0}

解：设f（x）＝0，得ex＝xm，因为x＞0，两边取对数得x＝mlnx，又显然m≠0，故，

设，，所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．

又g（e）＝，当x＞1时，g（x）＞0，所以或，即m＜0或m＝e．

故选：A．

12．已知△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，BD＝3，则△ABC面积的最大值为（　　）

A．    B．3    C．    D．6

解：设AB＝AC＝2m，BC＝2n，由于∠ADB＝﹣∠CDB在△ABD和△BCD中应用余弦定理可得：

，整理可得：m2＝9−2n2，

结合勾股定理可得△ABC的面积：

＝，

当且仅当n2＝2 时等号成立．

则△ABC面积的最大值为6．

故选：D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知为非零向量，，若，则的坐标可以是 　（2，﹣1）（答案不唯一）　．

解：根据题意，设＝（x，y），

若，则＝x+2y＝0，则有x＝﹣2y，

若y＝1，则＝（﹣2，1），

故的坐标可以是 （﹣2，1）．

故答案为：（2，﹣1）（答案不唯一）

14．在的展开式中，x的系数为　80　．（用数字作答）

解：展开式的通项公式为，

由5﹣2k＝1得k＝2，所以，

即x的系数为80．

故答案为：80．

15．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，若，则p＝　2　．

解：设A（，t），

因为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，，

可得，

解得p＝2，

故答案为：2．

16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b的部分图象如图所示，若f（x）在[﹣a，a]上有2个零点，则实数a的取值范围是 　[，）　．

解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b的部分图象知，

T＝2（﹣）＝π，

所以ω＝＝2，

所以f（x）＝sin（2x+φ）+b，

由五点作图法知，2×+φ＝，

解得φ＝，

所以函数f（x）的解析式为：f（x）＝sin（2x+）+b．

由，解得b＝0.5，

所以f（x）＝sin（2x+）+0.5；

令f（x）＝0，得sin（2x+）＝﹣0.5，

解得2x+＝2kπ﹣，或2x+＝2kπ+，k∈Z；

所以x＝kπ﹣，或x＝kπ+，k∈Z，

所以函数f（x）的零点为…，﹣，﹣，，，…，

若f（x）在[﹣a，a]上有2个零点，则≤a＜，

即a的取值范围是[，）．

故答案为：[，）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某公司员工年收入的频率分布直方图如图：

（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明．

解：（1）由频率分布直方图可知该公司员工年收入的众数为×（7.5+12.5）＝10（万元）；

由于（0.04+0.1）×5＝0.7＞0.5，所以员工年收入的中位数在[7.5，12.5）内，

设中位数为a，由0.04×5+0.1×（a﹣7.5）＝0.5，解得a＝10.5，

所以估计该公司员工年收入的中位数约为10.5万元；

由题意知，员工年收入的平均数为：

＝（0.04×5+0.1×10+0.02×15+0.01×20+0.01×25+0.008×30+0.008×35+0.004×40）×5＝13.15，

所以估计该公司员工年收入的平均数约为13.15万元．

（2）招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况，

由（1）知，有一半员工年收入不超过10.5万元，多数员工年收入是10万元，少数员工年收入很高，

在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大的多，所以用中位数或众数更能客观反映该公司员工年收入的实际情况．

18．在①an+1﹣an＝2，S3＝9；②an＝（S2﹣2）n﹣1；③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}满足，求数列{bn}的前10项和．

解：选条件①时，an+1﹣an＝2，S3＝9；

所以an+1﹣an＝2（常数），故数列{an}为等差数列，

由于，

解得a1＝1，

故an＝2n﹣1．

选条件②时，an＝（S2﹣2）n﹣1；

所以当n＝1时，a1＝（S2﹣2）﹣1，

当n＝2时，a2＝（S2﹣2）•2﹣1，

解得：a1＝1，a2＝3，

故an＝（S﹣2）n﹣1＝2n﹣1．

选条件③时，，

所以，当n＝1时，解得a1＝1，

当n≥2时，，

所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1（首项符合通项），

故an＝2n﹣1．

（2）由于an＝2n﹣1，所以，

则b1+b2＝1，，，，，

所以数列{bn}的前10项和为（b1+b2）+...+（b9+b10）＝1+22+24+26+28＝341．

19．已知△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC边上（异于B，C）．

（1）若线段AD长度为整数，求BD；

（2）若，求cos∠BAD．

解：（1）由题意，点A到BC边的距离为 ，所以＜AD＜8，

又线段AD的长度为整数，所以AD＝7，

在△ABD中，由余弦定理：AD2＝AB2+BD2−2AB×BD×cosB，

即49＝+BD2﹣8BD，解得BD＝5或3．

（2）解法一：

在△ABD中，由正弦定理可得：，

在△ACD中，由正弦定理可得：，

所以，即，

因为BD+CD＝8，所以BD＝6，

在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2+BD2−2AB×BD×cos60°＝+36−48＝52，

所以，所以．

解法二：设∠BAD＝α，则∠CAD＝60°−α，

由题意可知：，

所以，

因为sin2α+cos2α＝1，所以，

又α是锐角，所以．

20．如图，在直三棱柱ABC﹣ABC1中，点D，E，F，D．分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上．

（1）证明：MF∥平面EC1D1；

（2）若AC⊥BC，AC＝BC＝AA1，求二面角B﹣CF﹣D 的大小．

【解答】（1）证明：连接AB1，DD1，因为D，E，F，D1分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，

所以DF∥AB1，ED1∥AB1，则DF∥ED1，

又DF⊄平面EC1D1，ED1⊂平面EC1D1，

故DF∥平面EC1D1，

因为DD1∥AA1，CC1∥AA1，则DD1∥CC1，

又因为DD1＝AA1，CC1＝AA1，所以DD1＝CC1，

故四边形CDD1C1为平行四边形，则CD∥C1D1，

又CD⊄平面EC1D1，C1D1⊂平面EC1D1，

则CD∥平面EC1D1，

因为DF∩CD＝D，DF，CD⊂平面CDF，

所以平面CDF∥平面EC1D1，

又MF⊂平面CDF，

所以MF∥平面EC1D1；

（2）解：在直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，又AC，BC⊂平面ABC，

所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，

由题意AC⊥BC，

以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设AC＝2a，a＞0，由AC＝BC，，D为AB的中点，

则，

所以，

设平面CDF的法向量为，

则，即，

令y＝﹣1，则x＝1，z＝，

所以，

平面BCF即平面yCz，所以平面BCF的一个法向量为，

则，

因为二面角B﹣CF﹣D为锐二面角，

所以二面角B﹣CF﹣D的大小为60°．

21．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，依次连结E的四个顶点构成的四边形面积为2．

（1）求E的方程；

（2）设E的左，右焦点分别为F1，F2，经过点M（﹣2，0）的直线与E交于A，B两点，且F1A∥F2B，求l的斜率．

解：（1）由题意可得，解得a＝，b＝1，c＝1，

故椭圆E的方程为；

（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，

则可设直线l的方程为：x＝ty﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由（1）可知F1（﹣1，0），F2（1，0），因为F1A∥F2B，

所以（x1+1）y2＝（x2﹣1）y1，y1≠0，y2≠0，又由x1＝ty1﹣2，x2＝ty2﹣2，化简可得y2＝3y1，

所以y1+y2＝4y1，y，得（y1+y2），

联立，消去x可得：（t2+2）y2﹣4ty+2＝0，由△＞0可得t2＞2，

则y，则，解得t＝2或﹣2，

故l的斜率为或﹣．

22．已知函数f（x）＝aln（ax）+（a＞0）．

（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；

（2）若关于x的不等式ex+≥f（x）恒成立，求a的取值范围．

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），

当a＝1时，f（x）＝，f'（x）＝＝，

令f'（x）＞0，x＞，f（x）的递增区间为（，+∞），

令f'（x）＜0，0＜x＜，f（x）的减区间为（0，），

综上所述，f（x）的递增区间为（，+∞），f（x）的减区间为（0，）．

（2）不等式ex+≥f（x）恒成立，即ex﹣aln（ax）≥0 恒成立，

令g（x）＝ex﹣aln（ax），则g'（x）＝，

令h（x）＝，则h'（x）＝＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，

∵ea＞1，

∴，＝，

又∵h（a）＝ea﹣1＞0，

∴，使h（x0）＝0，

∴g'（x0）＝0，即，

当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，

∴g（x）min＝g（x0）＝﹣aln（ax0）＝，

即 恒成立，

又∵，

∴2lna≤2，

∴a≤e，当且仅当x0＝1，a＝e时，等号成立，

∴a的取值范围为（0，e]．