数理统计课后习题答案

习题一、基本概念

1．解：

设为总体的样本

1）

                              

2）

3）

所以    

4）

2.解：

 由题意得：

i	0	1	2	3	4
个数	6	7	3	2	2
fxi	0.3	0.35	0.15	0.1	0.1

因为，所以

3．解：

它近似服从均值为172，方差为5.的正态分布，即

4．解：

因k较大

5．解：

6．解：

7.解： 

查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24

8．解：

由已知条件得： 

由互相，知也互相，所以

9.解:

1) 

2) 

3) 

4) 

10.解：

1) 

2) 

 

11.解：

12.解：

1) 

2)

 

3) 

13.解：

 

14．解：

1）

且与相互

2）

15.解：

   设，即

   

16．解：

17.证明：

1）

2）

3）

18. 解：

19.解

20.解：

21. 解：

1)因为，从而

，所以

2）因为， 

所以

3)因为， 

所以， 

故 

22.解：

由Th1.4.1 (2)  

查表: 

23.解：

由推论1.4.3(2)

 

24.解：

 1)

2)

25. 解：

1)

2) 

26.解：

1) 

2) 

3)

 

27．解：

28.解：

习题二、参数估计

1．解：

矩估计

所以， 

2．解：

1）

无解，依定义： 

2）矩法： 

   极大似然估计： 

3． 

1）解：

矩法估计： 

最大似然估计：

2)解： 

矩估计： 

最大似然估计：

3）解：

  矩估计： 

  联立方程：  

 极大似然估计：依照定义， 

4) 解：

  矩估计：

，不存在

，无解；故，依照定义， 

5)解：

  矩法：

    

即

极大似然估计：

无解，依定义有： 

7)解：

矩法：

极大似然估计：

8)解：

矩法：

极大似然估计：

4解：

记则；

5.解：

6解：

因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为： 

根据样本数据得到：。

由此看到，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0

7.解：

由3.2)知

所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大。

8 1）解：

2）解：

， 

9解：

由极大似然估计原理得到

10解：

   应该满足：

结果取决于样本观测值

11.解：

无偏，方差最小

所以： 

12、1）解：

2）

13．解：

14证明：

15．1）解：

是的无偏估计

2）解：

可以看出最小。

16．解：

比较有效

17.解：

18.解：

是有效估计量， 

19.解：

注意： 

      T是有效估计量， 

20．1）解：

2）T是有效估计量， 

是相合估计量。

21.解：

T是有效估计量

22.1）解：

2）

所以

是有效估计量

3） 

所以，T也是相合估计量。

23.解：

24. 解：

所以（1）（2）

25.解：

所以

26．解：

27.解：

28.解：

服从正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为  ；由题意，从总体X中抽取的四个样本为：

其中，，代入公式，得到置信区间为

2），，得到置信区间为

29.解：

所以

30.解： 

所以

31．解：

32．解：

   所以

33．解：

设，先验分布密度，

当时，样本的概率密度分布为

关于参数的后验分部为

的后验分部为，关于的Bayes估计量

34．解：

设，先验分布密度

当时，样本的概率密度分布为

关于参数的后验分部为

的后验分部为，关于的Bayes估计量

    35．解：

设，

先验分布密度 

当时，样本的概率密度分布为：

关于参数的后验分部为,这是因为

的后验分部为 

关于的Bayes估计量

36．解：

（1）

        

解出， 

（2）设

先验分布密度当时，样本的概率密度分布为

关于参数的后验分部为 

  

的后验分部为，关于的Bayes估计量

（3）比较估计量,有： 

      当时， 

所以，T2优于T1

习题三、假设检验

1.解：

（1） 

拒绝，总体的均值有显著性变化

（2）

拒绝，总体的方差有显著性变化

2.解：

拒绝，元件不合格

3.解：

接受，机器工作正常

4．解：

拒绝，当前的鸡蛋售价明显高于往年

5.解：

拒绝，明显变大

6.解：

接受，合格

接受，合格

7.解：

8.解：

9.解：

10.解：

11.解：

12解：

13. 解：

14解：

15解：

接受，认为甲比乙强度要高

16解：

接受，认为乙的精度高

17解:：

接受，认为无显著差别

18.解： 

19.解：

20.解：

21.解：

22.解：

23.解：

24.解：

25．解：

26.解：

27.解：

28.解：

29.解：

30．解

由题意知，  

代入式子    

选用式子

计算求得，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品，则接受这批产品，否则拒绝这批产品。

31.解：

（1）解方程组

    得

（2）若未知，用估计，从而得出公式

习题四、回归分析

1解：利用最小二乘法得到正规方程：

其中

代入样本数据得到： 

用R分析可以直接得到

Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

       1        2        3        4        5        6 

-2.28571  1.82857  0.94286  0.05714  1.17143 -1.71429 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 24.628571   2.554415   9.2 0.0007 ***

x            0.058857   0.004435  13.270 0.000186 ***

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.855 on 4 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.9778,     Adjusted R-squared: 0.9722 

F-statistic: 176.1 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.00018

所以：样本线性回归方程为： 

2证明：

1）  由于，所以

，。

， 

， 

， 

命题得证。

2）同理得证。

3解：利用最小二乘法得到正规方程：

其中

代入样本数据得到： 

用R分析得：

Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

      Min        1Q    Median        3Q       Max 

-0.049553 -0.0251  0.002805  0.023843  0.051012 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  0.3144   0.027074  11.615 2.45e-05 ***

x           -0.047172   0.009839  -4.795  0.00302 ** 

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.03746 on 6 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.793,      Adjusted R-squared: 0.7585 

F-statistic: 22.99 on 1 and 6 DF,  p-value: 0.003017 

所以：样本线性回归方程为： 

拒绝域形式为： 

，所以是显著。

4解：

1）利用最小二乘法得到正规方程：

其中

用R分析得

Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

      Min        1Q    Median        3Q       Max 

-0.074323 -0.025719 -0.002468  0.025209  0.083125 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 3.03318 0.03871 78.35 <2e-16 ***

x -2.06979 0.05288 -39.14 <2e-16 ***

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.04454 on 15 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.9903,     Adjusted R-squared: 0.97 

F-statistic: 1532 on 1 and 15 DF, p-value: < 2.2e-16

所以：样本线性回归方程为：， 

2）第二题已证：的置信区间为，所以代入值计算得到：，的置信区间为，代入数值计算得到：。

（3）。

（4）

5)解方程：

5证明：

若要，那么。

6解：

1）最小化残差平方和： 

2）证明：

3）， 

   同理，易得

7解：1）令，根据最小二乘法得到，正规方程：

，最后得到

所以：样本线性回归方程为：， 

2）令

，得到

所以：样本线性回归方程为：， 

3）令

，得到

所以：样本线性回归方程为：， 

综上，相关最大

8解：

     

9解：

由多元线性模型得： 

代入数值得到： 

用R分析得

Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2, data = weight)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max 

-2.7400 -1.1550 -0.13  0.8862  3.9542 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -15.93836    3.854  -4.133  0.00166 ** 

x1            0.52227    0.08532   6.121 7.51e-05 ***

x2            0.47383    0.12243   3.870  0.00261 ** 

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.81 on 11 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.9905,     Adjusted R-squared: 0.9887 

F-statistic: 570.5 on 2 and 11 DF,  p-value: 7.757e-12

同样得到： 

10解：

用R分析得

Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand)

Residuals:

    Min      1Q  Median      3Q     Max 

-8.4750 -5.3674 -0.4031  4.1193  9.9523 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 111.69182   23.53081   4.747  0.00209 **

x1            0.01430    0.01113   1.284  0.24000   

x2           -7.18824    2.55533  -2.813  0.02603 * 

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 7.213 on 7 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.44,     Adjusted R-squared: 0.83 

F-statistic: 29.65 on 2 and 7 DF,  p-value: 0.0003823 

得到回归方程： 

11解：

       

2）

12解：1)令，

用R分析得：

Call:

lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand)

Residuals:

       1        2        3        4        5        6        7        8 

 1.18333 -1.55238 -0.80714  0.61905  0.92619  0.01429 -0.21667 -0.16667 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  3.41667    0.90471   3.777  0.01294 * 

x1           2.72619    0.60377   4.515  0.00631 **

x2          -0.39048    0.08293  -4.708  0.00530 **

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.075 on 5 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.816,      Adjusted R-squared: 0.7424 

F-statistic: 11.08 on 2 and 5 DF,  p-value: 0.01453

求得回归方程为： 

2) 拒绝域形式为： 

，所以是显著。

3)将代入回归方程，得到

13 解

，得到

习题五、方差分析与试验设计

1.解：

①用R单因素方差分析表如下：

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

A            4  227680   56920  3.9496  0.02199 *

Residuals     15  216175   14412                  

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

方差来源	自由度	平方和	均方	F值	P值
因素A 误差	4 15	227680 216175	56920 14412	3.9496	0.02199 *

因为p=0.02199<0.05,所以认为不同日期生产的质量有显著差异。

②用SPSS分析得：

ANOVA
质量
	Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
Between Groups	227680.000	4	56920.000	3.950	.022
Within Groups	216175.000	15	14411.667
Total	443855.000	19

因为p=0.022<0.05,所以认为不同日期生产的质量有显著差异。

２.解：

 ①用R单因素方差分析表如下：

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

A           3    0.0083467  0.0027822  2.42   0.10

Residuals    14   0.0160533   0.0011467       

方差来源	自由度	平方和	均方	F值	P值
因素A 误差	3 14	0.0083467 0.0160533	0.0027822 0.0011467	2.42	0.10

因为p=0.10>0.05,所以认为不同日期生产的质量无显著差异。

②用SPSS分析得：

ANOVA
得率
	Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
Between Groups	.008	3	.003	2.426	.109
Within Groups	.016	14	.001
Total	.024	17

因为p=0.109>0.05,所以认为不同催化剂下平均得率无显著差异。

3. 解：

用SPSS双因素方差分析表如下：

Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable:冲击值
Source	Type I Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
Model	1127.938a	6	187.990	213.962	.000
X	1067.157	4	266.7	303.9	.000
Y	60.782	2	30.391	34.590	.001
Error	5.272	6	.879
Total	1133.210	12
a. R Squared = .995 (Adjusted R Squared = .991)

因为0.000<0.05,0.001<0.05，所以认为含铜量和试验温度会对钢的冲击值产生显著差异。

4.解：

用R方差分析如下：         

    

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

M           3  2.750    0.917     0.5323  0.65282

B           2  27.167   13.583     7.8871  0.0023298 **

M:B         6  73.500   12.250     7.1129  0.0001922 ***

Residuals    24  41.333   1.722

---

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1

方差来源	自由度	平方和	均方	F值	P值
因素M 因素B 相互效应A*B 误差	3 2 6 24	2.750 27.167 73.5 41.333	0.917 13.583 12.250 1.722	0.5323 7.8871 7.1129	0.65 0.00233 0.00192

因为

所以操作工之间的差异显著；机器之间的差异不显著；它们的交互作用显著。

5.解：

根据题意选择正交表来安排试验，随机生成正交试验表如下：

	A	B	C	D	硬度合格率（%）
	1	2	3	4
1	1	2	1	2	100
2	2	1	2	1	45
3	1	1	2	2	85
4	2	2	1	1	70

由此可见第三号试验条件为：上升温度800℃、保温时间6h、出炉温度500℃。

	A	B	C	D	硬度合格率（%）
	1	2	3	4
1	1	2	1	2	100
2	2	1	2	1	45
3	1	1	2	2	85
4	2	2	1	1	70
	185	130	170	115	K=300 P=22500 Q=24150 =3250
	115	170	130	185
	23725	22900	22900	23725
	1225	400	400	1225

方差分析表：

方差来源	平方和	自由度	均方差	F值
A	1225	1	1225	1
B	400	1	400	0.33
C	400	1	400	0.33
误差	1225	1	1225
总和	3250	4

所以认为三个因素对结果影响都显著。

由方差分析表看出：本例较好的水平搭配是： 

即最佳搭配为：上升温度820℃、保温时间6h、出炉温度400℃.

6.解：

根据题意选择正交表来安排试验

随机生成正交试验表如下： 

	A 1	B 2	C 3	实验结果  产量（kg/m2%）
1	1	1	1	62.925
2	1	2	2	57.075
3	1	3	3	51.6
4	2	1	2	55.05
5	2	2	3	58.05
6	2	3	1	56.55
7	3	1	3	63.225
8	3	2	1	50.7
9	3	3	2	54.45

第8号实验的条件：品种（A3）珍珠矮11号，插值密度（B2）3.75棵/100m2 ，施肥量（C1）0.75kg/100m2纯氨；

对正交实验进行方差分析，直接用R软件求解

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

A            2  1.759    0.879    0.0223   0.9782

B            2  65.861   32.931   0.8361   0.5446

C            2  6.660    3.330    0.0845   0.9220

Residuals     2  78.776   39.388    

，所以认为三个因素对结果影响都不显著。

由方差分析表看出：本例较好的水平搭配是：   

7*.解

根据题意选择均匀设计表来安排试验

第7号实验的条件为：原配料比2.6，吡啶量16ml，反应时间0.5h