最新高三高考抽象函数总结

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

抽象函数常见题型讲解：

一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

例一.若函数的定义域为，求函数的定义域。

提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。

变式训练1：已知函数的定义域是［1，2］，求的定义域。

变式训练2：已知函数的定义域是，求函数的定义域。

二、求值问题

例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①，；②，求f(3)，f(9)的值。

注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

变式训练3：已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为     

变式训练4:设函数为奇函数，则_____

变式训练5：已知都是定义在上的函数，对任意满足 ，且，则=_________  

三、值域问题:

例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

变式6：若函数的值域为，求函数的值域。

变式7：函数f(x)的定义域为，对 任意正实数都有且 ，则——————

变式8：已知函数对任意实数都有，且当时，

，求在上的值域。

四、解析式问题

例四、设函数满足……，求。

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

变式9：已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.

五、单调性问题

单调性的证明两种常用变换：

（差变换）；（商变换）

例五、设是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。

变式10：已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式的解.

变式11：设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数，有，求证：在R上为增函数。

变式12:定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

变式13：已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。

变式14：已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。

变式15：函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.

(1)求的值;

(2)求证: 在R上是单调减函数;

六、奇偶性问题

例六、 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。

变式16：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。

变式17：已知定义在R上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又。

 (1)求证：为奇函数；(2)求证：为R上的减函数；

变式18：设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1－x2)＝；

求证：f(x)是奇函数；

变式19：已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有．当时，． 

（1）求证：函数是奇函数；   

（2）求证：函数在上是减函数；（3）解不等式．

变式20：函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，

有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.

（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

变式21：已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.

（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；

（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；

变式22：设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

变式23：设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.

（1）求证f（0）=1；

（2）求证：y=f（x）为偶函数.

变式24：已知函数当时，恒有.

(1)求证: 是奇函数;

(2)若.

七、周期性：

周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。

例七、设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。

变式25：设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

变式26：已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：已知f（1）=1997，求f（2001）的值。

变式27：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为____ ___． 

变式28：若是定义在上的函数，对任意的实数，都有        和且，则的值是——————

八、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关于直线 对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自身对称）。

结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称（相互对称）。

例八、设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ )

A、直线对称     B直线对称  C直线对称  D直线对称

变式29：已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。

变式30：已知函数y=f(x)为奇函数，方程f(x)=0有5个根，问这五个根之和为_______

九．利用模型函数，类比联想

例九、如果f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=2，则

的值为_________。

变式31：已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，则g(2005)=_____.

      五类抽象函数解法

(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）

             2. 赋值法（令或1，求出或、令或等等）

（2）几种抽象函数模型：

1.正比例函数：——————————；

2.幂函数：——————————————，；

注：反比例函数：一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。

3.指数函数：———————————，

4.对数函数：————————，

5.三角函数：————————————

6.余弦函数：———————

1 线性函数型抽象函数

例十、已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。

分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

变式32：已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。

变式33：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)<0,f(1)=a判定〔-3，3〕上f(x)是否存在最值，若有请求出最值，若无说明理由.

变式34：⑴已知函数f(x)定义域R，对任意的x、yR，有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时，

f(x)>1,⑴求证：f(x存在反函数.   ⑵.若不等式f(a2+a-5)<2的解为 -32 指数函数型抽象函数

例十一、已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成立。 求：

（1）

(2)  对任意值,判断值的正负。

变式35：是否存在函数满足下列三个条件：

①②③同时成立？ 

若存在，求出的解析式，若不存在，说明理由。

变式36：已知函数f(x)定义域R，满足①.x<0时，>1 ②. f(0)0  ③.任意的x、yR有f(x+y)=f(x)f(y)

⑴.x>0时,0< f(x)<1. ⑵.判定f(x)的单调性.  ③.解不等式f(x-6)f(x2-2x)1.

变式37：已知函数f(x)定义域R，满足①存在x1x2使得f(x2)  f(x1)②任意的x、yR有f(x+y)=f(x)f(y) ③. x>0时，<1且f(2)==.求证⑴. 任意的xR, >0.⑵.f(x)存在反函数   ⑶.f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2)  ⑷.若f(m)=3,求m的值

3 对数函数型抽象函数

例十二、设定义在上的单调增函数，满足，。 求：

（1）

(2) 若求的取值范围。

分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。

变式38：已知函数f(x)定义域R+，对任意的R有f()=f(x),且x>1时f(x)<0, f()=1

⑴.求证：x>0,y>0时，f(xy)=f(x)+f(y)

⑵.求证f(x)有反函数.

⑶.解不等式f(x)+f(5-x)-2.

4 三角函数型抽象函数

例十三、已知函数的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：①当是其定义域中的数时，有②（，是定义域中的一个数）③当时，试问：

（1） 的奇偶性如何？说明理由。

（2） 在上，的单调性如何？说明理由。

变式：39：已知函数f(x)定义域R，满足对任意的x、yR有f(x+y)+f(x-y)=2 f(x)f(y), f(0) 0, f()=0⑴求证：f(x)是偶函数.⑵. 求证：f(x)是周期函数.

5 幂函数型抽象函数

例十四、已知函数对任意实数，均有，且当时，.

(1)判断的奇偶性；

(2)判断在的单调性，并给出证明；

(3)若，且，求的取值范围。

变式40：已知函数f(x)对任意的x>0, y>0都有＝，且x>1时，<1,=⑴.求证：>0. ⑵. =   ⑶. 是否存在反函数，说明理由. ⑷.若>9的解集为（m,n）求m+n.

参

例一、解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。

所以函数的定义域为

变式1：解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

变式2：解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得

所以函数的定义域是

例二、解：取，得

因为，所以

又取得

变式3：1

变式4： 2.5 

变式5： -1  

例三、解：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意

设存在，使得，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

所以 

变式6：解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为。

变式7：  

变式8：解：设且，则，

    由条件当时，

    又为增函数，

    令，则

    又令   得 ， 故为奇函数，

    ，

    上的值域为

例四、解析：以代，得，……

以代，得，……

+-得：

所以  

变式9：用替代在利用函数奇偶性联立方程组解出和

例五、解析：，

，，又，

，即。

变式10：解：设且则

 ， 即，

        故为增函数，

    又

 因此不等式的解集为。

变式11：解：设

 则有

，

即，，即为增函数

变式12：解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴又x=0时，f(0)=1>0

∴对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

 ∴

 ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，

f(x)在R上递增

∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0变式13：证明：对一切有。且，

令，得，现设，则，，

    而，

    设且，则

         ， 即为减函数。

变式14：解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，

    由得。

    （1）当时，，不等式不成立。

    （2）当时，

    （3）当时， 

    综上所述，所求的取值范围是。

变式15：(1)解: ∵对任意,有>0, ∴令得,

(2)任取任取,则令,故

   ∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③

∴

∴

∴函数是R上的单调减函数.

例六、解：取得：，所以

又取得：，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

变式16：解析：令，则，得；

     令，则，得；

令，得，得

因此函数为奇函数。

变式17：解：（1）令得，

令得，

即知为奇函数

  （2）令则有

，即知在单减

为奇函数在上单减

变式18：证明：不妨令x＝x1－x2，则

f(－x)＝f(x2－x1)＝＝－＝－f(x1－x2)

＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．

变式19：（1）证明：令，则，得．

令，则，即．故函数是奇函数．

（2）证明：对于上的任意两个值，，且，

则，

又，则，又当时，． 

， 即．故函数在上是减函数．

（3）解：由（2）知：函数在上是减函数．

，．

，解得．又所以解集为．

变式20：（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.

（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）×（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.

令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.

变式21：（1）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，

于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.

∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.

∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.

故函数y=f（x）是单调减函数.

（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），

∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）.

∴f（0）=0.

再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）.

∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数.

变式22：证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，

∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.

又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，

∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．

∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

变式23：（1）问题为求函数值，只需令x＝y＝0即可得。

     （2）问题中令x＝0即得f（y）+f（— y）＝2f（0）f（y），

且f（0）＝1.所以f（y）+f（—y）＝2f（y），因此y＝f（x）为偶函数.

说明：这类问题应抓住f（x）与f（—x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。

变式24：证明：令，得

      令，则

∴    ∴是奇函数。

（2）∵

     又∵

例七、证明：由的图象关于直线对称，得，

又是定义在R上的奇函数，所以

，则

由周期函数的定义可知4是它的一个周期。

总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。

变式25：解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

变式26：解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）≠1，故

f（x+2）=f（x+4）=.     所以f（x+8）=.

      所以f（x）是以8为周期的周期函数，

      从而f（2001）=f（1）=1997

说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

变式27：0  

变式28：2010  

例八、D

变式29：6

变式30：0

例九、   析：由f(x+y)=f(x)•f(y)的关系式，类比联想指数函数y=ax的性质知：

   解：令f(x)=2x，满足题设，则 =2004

变式31：  析：当满足题设的f(x)难于求出时，可利用特殊值法化一般为特殊求解。

   解：由f(x+5)≥f(x)+5得：

同理得：，联想斜率公式，取 k=1，结合f(1)=1

联想到函数f(x)=x满足，故g(x)=1，则g(2005)=1

例十、解：设，∵当，∴，

∵，

∴，即，∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，

∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，

∴ f（x）的值域为［－4，2］。

变式32分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当，∴，则， 

即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

变式33：解：x10,∴f(x2-x1)<0

∴f(x2)< f(x1) ∴f(x) ∴f(x)在〔-3，3〕上有最大、最小值. =f(-3),=f(3)

∵=2,∴=0,  又+＝0∴是奇函数，＝+

+＝3＝3a ∴=--3a,   =3a.

变式34：解：当x10, ∴f(x2-x1)-1>0,因此有

f(x2)- f(x1)= f(x2-x1)-1>0,即f(x)上升，有反函数.

⑵.设f(m)=2, f(a2+a-5)<2= f(m), a2+a-5例十一、解：（1）令y＝0代入，则，∴

。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。

变式35：分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：

（1）x＝1时，∵，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。

（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。

综上所述，x为一切自然数时。

变式36、解：⑴f(x)＝f(+)=f2()0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝f(x0+x-x0)=f(x0)f(x-x0)=0,与f(0)0矛盾.∴>0

又 x>0时, f(0)＝f2(0) ∴f(0)＝1, ∴  f(x-x)=f(x)f(-x) =1  ∵-x<0, ∴f(x)= <1.

⑵.x2>x1,    f(x2)＝f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1) = f(x2-x1)<1 ∴f(x2)< f(x1)  f(x)在R上下降.

⑶. f(x-6)f(x2-2x)1＝f(0) f(x2-2x+x-6)  f(0) f(x2-x-6)  f(0) x2-x-60

∴-2x3.

变式37：解：⑴. f(x)＝f(+)=f2()0,若存在x0有f(x0)=0则f(x)＝f(x0+x-x0)=f(x0)f(x-x0)=0,即f(x)0与存在x1x2使得f(x2)  f(x1)矛盾.∴>0

⑵. f(0)＝f2(0) ∴f(0)＝1, x2>x1,    f(x2)＝f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1) =f(x2-x1)<1∴f(x2)< f(x1)  f(x)在R上下降，因此存在反函数.

⑶.f[f-1(x1x2)]= x1x2,  f[f-1(x1)+f-1(x2)]= f[f-1(x1)]•f[f-1(x2)]=x1x2  ,又f(x)在R上下降∴f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2)

⑷. f(0)＝1＝f(x-x)=f(x)f(-x)  f(-x)= 9==f(-2),又9=3•3= f(m)f(m)=f(2m)= f(-2) 2m=-2m=-1.

例十二、解：（1）∵，∴f（1）＝0。

（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），

即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故

，解之得：8＜x≤9。

变式38：解：⑴.∵x>0,y>0，且y=ax的值域是R+   ∴存在n、m满足＝x,=y, f(xy)=f()=f()=(m+n)f(a)=m f(a)+n f(a) =f()+f()=f(x)+f(y).

⑵. x2>x1 >0,f(1)=2f(1) ∴f(1)=0  f()+f(x)= f(1)=0-f()=f(x)  

f(x2)- f(x1)= f(x2)+ f() = f()<0 (∵>1)  f(x)在R+上下降，因此存在反函数.

⑶. ∵f()=1∴-f(2)=12f(2)=-2,  f(x)+f(5-x)-2.= 2f(2)=f(4) f[x(5-x)]  f(4), 

例十三、分析: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。

解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有

，∴在定义域中。∵

，

∴f（x）是奇函数。

（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，

∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。

又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，

，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即

f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。

变式39：解：⑴.令x=0,y=0,f(0)+f(0)=2f2(0) ∴f(0)=1 令x=0则有f(y)+f(-y)=2 f(0)f(y)＝2 f(y) ∴f(y)＝f(-y) ∴f(x)是偶函数.

⑵.令x=, f(+y)+f(-y)= 2f()f(y)=0, ∴f(+x)+f(-x)=0,即f(x)有中心对称点（，0）

     f(x)=f(-x)=- f[1-(-x)]=-f(1+x)=-f(-1-x)=-[-f[1-(-1-x)]=f(2+x) ∴f(x)是周期函数.

例十四、分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。

解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴

f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。

（2）设，∴，，

∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。

（3）∵f（27）＝9，又，

∴，∴，∵，∴，

∵，∴，又，故。

变式40：解：⑴. f(x)＝f()=f2()0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝f()=f(x0)f()=0,与=矛盾.∴>0.

⑵.f(1)=f2(1)  f(1)=1f()f(x)= f(1)=1∴f()=

⑶.x2>x1>0, f(x2)= f()=f(x1)f()=f()<1 (∵>1)  f(x)在下降.

⑷. >9＝f()∵f(x)在下降，∴0