2015-2016学年江西高安中学高二(重点班)上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

考试数学（文）试题

一、选择题

1．原命题“若，则”的逆否命题是（  ）

A．若，则                B．若，则

C．若，则                D．若，则

【答案】D

【解析】试题分析：逆否命题是“若则．

【考点】四种命题

2．为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为 （  ）

A．40        B．30        C．20        D．12

【答案】A

【解析】试题分析：间隔．

【考点】系统抽样

3．江西省高安中学是江西省优秀重点中学，现有三个校区，瑞阳校区现有学生2100人，碧落校区现有学生2700人，南浦校区现有学生3000人，用分层抽样的方法从这三个校区的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从瑞阳校区学生中抽取的人数7，那么从南浦校区学生中抽取的人数应为 （    ）

A．7            B．8            C．9            D．10

【答案】D

【解析】试题分析：抽样比是，所以南浦校区抽取的人数应为．

【考点】分层抽样

4．某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n人进行调  查，得到如右图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n的值为（   ）

A．180    B．270    C．360    D．450

【答案】B

【解析】试题分析：事件大于等于20分钟的频率是，所以根据，解得，故选

【考点】频率分布直方图

5．下列说法正确的是（   ）

A．命题“”的否定是“” 

B．命题“若，则或”的否命题为“若则或”

C．若命题都是真命题，则命题“”为真命题

D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】A

【解析】试题分析：正确，全称命题的否定，是特称命题，全称量词改为存在量词，不正确，因为或的否定是且，否命题是“若则且．不正确，因为真，假，所以“”为假命题，不正确，的根是或，应改为充分不必要条件,故选A．

【考点】1．复合命题；2．全称，特称命题．

6．已知某路口最高限速，电子监控测得连续辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：）．若从中任取辆，则恰好有辆汽车超速的概率为（  ）

A．                B．              C．               D．

【答案】C

【解析】试题分析：6辆车有2辆超速，所以任取两辆车的所有方法是,恰有1辆汽车超速有,所以．故选C．

【考点】1．古典概型；2．茎叶图．

7．已知椭圆 （a>b>0）的右焦点为F（3,0），点（0，－3）在椭圆上，则椭圆的方程为 （      ）

A、       B、  

C、       D、

【答案】D

【解析】试题分析：由条件可得：，所以，所以方程是，故选．

【考点】椭圆的标准方程

8．甲、乙两人各自随机地从区间任取一数，分别记为、，则的概率（   ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】试题分析：如图所示，所构成的平面区域是边长为1的正方形，而满足的区域是以为原点，半径为1的的内部，,所以,故选．

【考点】几何概型

9．曲线与曲线的（    ）

A．长轴长相等     B．短轴长相等     C．焦距相等      D．离心率相等

【答案】C

【解析】试题分析：，而曲线，是焦点在轴的椭圆，且，，可求，所以两曲线的焦距相等，故选．

【考点】椭圆的几何性质

【方法点睛】考察圆锥曲线的方程，属于基础题型，注意曲线中，所以曲线是椭圆，那么长轴和短轴长都随的变化而变化，根据，可知焦距不变，要解决这类问题，那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握，比如方程的形式，方程与圆锥曲线的基本性质的联系，或是关于和抛物线中的的计算．

10．“0A、充分不必要条件    

B、必要不充分条件   

C、充要条件  

D、既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：恒成立，所以，解得：，前面集合是其真子集，所以是充分不必要条件，故选．

【考点】充分必要条件

11．已知椭圆C：的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A、B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（      ）

A．      B．    C．   D．

【答案】

【解析】试题分析：的周长是，所以，，所以，那么，所以方程是，故选．

【考点】椭圆的标准方程

【思路点睛】本题考查椭圆标准方程和基本性质的计算，属于基础题型，主要考察椭圆中的关系问题，唯一的一个难点是的周长是这个条件如何使用的问题，只要将图像画出，就会发现，周长就是，那么这个题就迎刃而解了，要解决这类问题，那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握，比如方程的形式，方程与圆锥曲线的基本性质的联系，或是关于的计算问题．

12．已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则的值等于（   ）

A．          B．         C．2         D．4

【答案】

【解析】试题分析：设,是点到准线的距离，,,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C．

【考点】抛物线的简单性质

【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，，转化为，那分析图像等于知道的余弦值，也就知道了直线的斜率，跟据斜率的计算公式，就可以得到结果．

二、填空题

13．写出命题“”的否定                       ．

【答案】

【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，“”．

【考点】特称命题的否定

14．执行如图所示的程序框图，输出的        ．

【答案】

【解析】试题分析：时，,时，,时，,时，否，所以输出

【考点】循环结构

15．命题，命题，若为真，则的取值范围为         ．

【答案】

【解析】试题分析：，若为真，所以，即．

【考点】复合命题

【方法点睛】此题考查了复合命题与集合的关系问题，属于基础题型，两个命题的形式都是以集合形式给出，那么对于非就是求其补集，且真说明两个命题都是真，就是求两个集合的交集，或真就是求两个集合的并集，那么问题就转化为求集合的运算问题了．主要考察到了复合命题的真假问题．

16．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为          ．

【答案】

【解析】试题分析：设双曲线的右焦点，根据抛物线方程，可知抛物线的焦点就是，为的中位线，所以且,因为为圆的切线，所以，，设，根据焦半径公式可得：，所以，代入抛物线方程，又,所以根据勾股定理，，整理为，整理为，解得．

【考点】双曲线和抛物线的简单性质

【方法点睛】此题考查了双曲线和抛物线的几何性质，和数形结合思想的应用，知识的运用相互交错，灵活度很高，属于中档偏难的题型，首先画出图形后连接,会得到两个几何关系，根据相切和中点，会得到，和，所以根据抛物线求点的坐标，根据垂直，建立勾股定理，再写勾股定理的时候还有一个难点就是,做法就是由点向抛物线的准线引垂线，根据抛物线上的点到焦点的距离就是到准线的距离，这个直角三角形求，突破此难点后，下面就容易了，化简求离心率．

17．设有关于的一元二次方程．

（Ⅰ）是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：首先解出方程有实根的条件，，即，（1）根据与的取值，列出所有的基本事件的个数，和满足的基本事件的个数，然后按照古典概型求概率；

（2）此问中与的取值是连续区间，所以属于几何概型，试验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为．

根据面积之比得到概率．

试题解析：设事件为“方程有实根”．

当，时，方程有实根的充要条件为．

（Ⅰ）基本事件共12个：

．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．

（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为．

构成事件的区域为．

所以所求的概率为．

【考点】1．古典概型；2．几何概型．

三、解答题

18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

（2）已知双曲线的一条渐近线方程是，并经过点，求此双曲线的标准方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）此题考察椭圆的标准方程，注意焦点在轴，那么方程的形式就是，然后根据条件分别代入；

（2）此题的设法是根据双曲线的渐近线的形式，根据一条渐近线方程，能得到另一条是，所以双曲线的标准方程是，此种方法非常简单，将点代入求，即可．

试题解析：（1）解：，，焦点在轴，所以椭圆的标准方程是

（2）设双曲线的标准方程是，代入点，解得：，所以双曲线方程是，化简为

【考点】椭圆和双曲线的标准方程

【方法点睛】此题考查了圆锥曲线的标准方程，属于基础题型，尤其对于第二题，已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法，有这么几个形式，如果渐进线方程是，就设双曲线方程是，如果渐进线方程是，那么就设方程是，然后根据条件求，再化简方程，

如果是给出双曲线方程，求渐近线方程，除了公式外，也可以将等号右边的常数变为0，在分解因式，就是两条渐近线方程．

19．电影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：，，，，，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。

（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；

（2）现在从年龄属于和的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率。

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的样本频率=，和所有分组直方图的面积为1，计算出对应的频率，补充完整频率分布直方图，然后利用平均数计算公式，每个矩形分组的中点乘以对应的频率，求和即观影年龄的平均数；

（2）首先计算出这两个年龄段的人数，然后按不同分组进行标记，列出所有随机抽取两人的基本事件的个数，同时数出两人属于同一年龄组的基本事件的个数，计算概率．

试题解析：（1）补充完成的频率分布直方图如下：

估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

（2）年龄属于和的分别有4人，2人，

分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2

则从中随机抽取两人的所有可能情况有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种，

其中，两人属于同一年龄组的有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4），（B1，B2）共7种，

∴所求的概率为．

【考点】1．频率分布直方图的应用；2．古典概型．

20．已知命题 成立．命题有实数根．若为假命题，为假命题，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】试题分析：为假命题，那么为真命题，为假命题，为假命题，然后分别计算两个命题成立时的取值范围，最后计算真假时的取值范围．

试题解析：解：

即命题

有实数根

，即 

因为为假命题，为假命题

则为真命题，所以为假命题， 

为真命题，：

由

即的取值范围是：

【考点】复合命题的真假

21．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2＜0（其中a>0），q：实数x满足2＜x≤5

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）首先，当时，求出不等式的解集，为真，即求两个集合的交集；

（2）首先根据等价命题转化为是的必要不充分条件，那么根据集合得出命题表示的集合是命题表示集合的子集，求出的取值范围．

试题解析：当a＝1时，解得1＜x＜4，

即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜4．

若p∧q为真，则p真且q真，

所以实数x的取值范围是（2,4）．

（2）是的必要不充分条件即p是q的必要不充分条件， 

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则BA，

由x2－5ax＋4a2＜0得（x－4a）（x－a）＜0， 

∵a＞0，∴A＝（a,4a），

又B＝（2,5]， 则a≤2且4a＞5，解得＜a≤2．

【考点】1．充分必要条件；2．集合的关系．

22．如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长．与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点．

（Ⅰ）求、的方程；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）记的面积分别为，若，求的取值范围

【答案】（1），；（2）详见解析；（3）．

【解析】试题分析：（1）根据被轴所截得的线段长等于建立关于的方程，然后再根据离心率得到与的方程，联立解出和，得到两个方程；

（2）依题意有，设直线，然后直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，然后结合的坐标形式，代入根与系数的关系，得到垂直;

（3） 设直线； ,然后所列直线方程与抛物线方程联立，得到点和点的坐标，注意的条件，然后根据弦长公式，,得到，然后类似方法得到,计算,得到关于与的表达式，利用，转化为基本不等式求最值，即求的范围．

试题解析：（Ⅰ）又，解得，．

（Ⅱ）依题意有，设直线，

则，有

．

（Ⅲ）设直线；

，解得或，同理可得

．

解得或，，同理可得

，即．

【考点】1．椭圆与抛物线的标准方程；2．直线与圆锥曲线相交的综合问题．

【思路点睛】此题考查圆锥曲线的综合问题，属于难题，第一问基础题型，第二问，也是基础题型，尤其是此问比较典型的直线与圆锥曲线相交的基础题型，设过原点的直线与椭圆相交两点，将两向量的数量积转化为两点的坐标表示，根据韦达定理，代入，化简就可以证明，思路比较简单；对于第三问，是压轴题，利用上一问的垂直，所以这两个三角形都是直角三角形，面积转化为两直角边乘积除以2，所以重点是求出两直角边分别是多少，利用垂直分别设直线和,分别与抛物线和椭圆联立求出这四点的坐标，然后利用弦长公式，例如,那么就将面积转化为间的关系问题，根据变形，求的范围．在做此题时，要注意后两问的前后关系，并且计算要熟练才可以．