2019年江西省南昌市高三一模考试理科数学试卷(扫描版)

NCS20190607项目第一次模拟测试

理科数学参及评分标准

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

13．             14.             15.             16. 

三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．【解析】（Ⅰ）由已知，

又，所以，所以                        ………3分

由，即，所以，， 

解得，，而，所以.                     ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 令，

得或，，

所以或，由图可知， .                           ………8分

所以，所以，             ………10分

所以.  ……………………………………………12分

18．【解析】（Ⅰ）证明：因为底面，所以.

因为底面是菱形，所以. 

又，所以平面.………3分

又由四棱台知，四点共面.

所以.                        ………5分

（Ⅱ）如图，设交于点，依题意，且，

所以，且. 所以底面.

以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

由得，.因为是棱的中点，所以.………8分

所以.

设为平面的法向量，则，即，

取，则.   又因为为平面的法向量，

所以， 又由图可知，二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.      ……………………………………………12分

19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，型节能灯使用寿命超过小时的频率为，

用频率估计概率，得型节能灯使用寿命超过小时的概率为.

所以一年内一支型节能灯在使用期间需更换的概率为，.                 ………3分

所以一年内支恰好更换了支灯的概率为..               ………5分

（Ⅱ）共需要安装支同种灯管，

若选择型节能灯，一年共需花费元；………7分

若选择型节能灯，由于型节能灯一年内需更换服从二项分布，

故一年需更换灯的支数的期望为支，                              ………9分

故一年共需花费元.         ………11分

因为，所以该商家应选择型节能灯. ………………………………………12分

20．【解析】（Ⅰ）椭圆与圆：相切，知； ……………………………2分

又椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为，即椭圆中心到椭圆最远距离为，

得椭圆长半轴长，即； 

所以轨迹的方程为.  ……………………………………………………………5分

（Ⅱ）①当与轴重合时，与圆相切，不合题意.

②当轴时，，，，此时.…6分

③当的斜率存在且不为时，设，，则，

设，由得，，

所以，  ……………8分

所以.

由得，，解得，         …………9分

所以，

所以

          ，                  ……………10分

因为， 所以，

当且仅当时取等号.  所以（）

综上，面积的最大值为，此时直线的方程为. ……………12分

21．【解析】（Ⅰ），                     ……………2分

令，则，

恒成立，所以在上单调递减，        ……………4分

所以，所以在内无解.

所以函数在区间内无极值点.                               ……………5分

（Ⅱ）当时，，定义域为，

，令，    ……………6分

由（Ⅰ）知，在上单调递减，又，，

所以存在，使得，且当时，，即，

当时，，即.                          ……………8分

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.                     ……………9分

由得，即，

所以，                            ……………10分

令，则恒成立，所以在上

单调递增，所以，所以，………11分

又因为，

所以， 所以若恒成立，则的最小值为. …12分

22．【解析】（Ⅰ）由参数方程，得普通方程，

所以极坐标方程.                    ……………5分

（Ⅱ）设点对应的参数分别为、，将代入得

， 所以，                              ……………8分

直线（为参数）可化为，

所以.                         ……………10分

23．【解析】（Ⅰ）因为，

所以.                       ……………5分

（Ⅱ）由已知，，

①当时，等价于，即，

解得，所以；           ……………7分

②当时，等价于，

解得，所以.                           ……………9分 

综上，实数的取值范围是.                        ……………10分