北京2013届顺义区高三数学一模理科试题及答案

一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知集合,则

A.    B.    C.    D. 

2.在复平面内,复数对应的点的坐标为

A.    B.    C.    D. 

3.参数方程(为参数)与极坐标方程所表示的图形分别是

A.直线、直线    B.直线、圆    C.圆、圆    D.圆、直线

4.已知向量,且,则实数

A.    B.    C.6    D.14

5.如图,分别与圆相切于点是⊙的割线,连接.则

A.     B.  C.   D. 

6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为

A.36    B.30                  C.24     D.12

7.设不等式组表示的平面区域为.若圆不经过区域上的点,则的取值范围是

A.    B.      C.    D. 

8.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是

A.    B. 

C.是奇函数    D.的单调递增区间是

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

9.执行如图所示的程序框图,输出的值为        .

10.在中,若,则       ,        .

11.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, , , , ,.由图中数据可知       ;样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为        .

12.已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为             .

13.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点, ,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么       .

14.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:

①函数是单函数;

②函数是单函数;

③若为单函数,且,则;

④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.

其中的真命题是         (写出所有真命题的编号).

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知函数的最小正周期为.

(I)求的值;

(II)求函数在区间上的最大值和最小值.

16.(本小题满分13分)

已知为等差数列,且.

(I)求数列的前项和;

(II)求数列的前项和.

17.(本小题满分13分)

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互.假设该射手完成以上三次射击.

(I)求该射手恰好命中两次的概率;

(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;

(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

18.(本小题满分14分)

设函数.

(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;

(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;

(III)当时,求函数在区间上的最大值.

19.(本小题满分14分)

已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.

(I)求椭圆的方程;

(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分13分)

已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.

(I)求数列的通项公式;

(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;

(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.

顺义区2013届高三第一次统练   数学试卷(理工类)参

一、1、B  2、A  3、B   4、D  5、C  6、C   7、D  8、D

1、【答案】B解析：, ,所以，选B.

2、【答案】A解析：,所以对应点的坐标为，选A.

3、【答案】B解析：将参数方程消去参数得，所以对应图形为直线。由得，即，即，对应图形为圆，所以选B.

4、【答案】D解析：因为，所以，即，所以，解得。选D.

5、【答案】C解析：由切线长定理知,所以错误。选C.

6、【答案】C解析：若选1，则有种。若选0，则有种，所以共有，选C.

7、【答案】D 解析：不等式对应的区域为ABE.圆心为，区域中，A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D,则有或.由得，即。由，得，即。所以，，所以或，即的取值范围是，选D. 

8、【答案】D解析：因为恒成立，所以是函数的对称轴，即,所以，又，所以，即，所以，所以，即。由，得，即函数的单调递增区间是，所以D正确，选D.

二、9.；10.    ；11.0.18,33；12.；13.4；14.③

9、【答案】解析：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不满足条件，输出。

10、【答案】解析：由得，。由正弦定理得。又，即，解得。

11、【答案】0.18,33解析：因为，所以。不低于23.5℃的频率为，所以样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为。

12、【答案】解析：因为函数为你偶函数，所以，且函数在上递增。所以由得，即，所以不等式的解集为。

13、【答案】4解析：抛物线的焦点坐标为,准线方程为。因为直线的倾斜角为，所以,又，所以。因为，所以,代入，得，所以.

14、【答案】③解析：①若，则由得，即，解得，所以①不是单函数。②若则由函数图象可知当，时，，所以②不是单函数。③根据单函数的定义可知，③正确。④在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以④不一定正确，比如②函数。所以真命题为③。

三、

15.解:(I)

.……………… ………5分

因为是最小正周期为,所以,因此.…… ……7分

(II)由(I)可知, ,

因为,所以.………… …………9分

于是当,即时,取得最大值;…………………11分

当,即时,取得最小值.……………13分

16.解:(I)设等差数列的公差为,

因为,所以  解得,… ………2分

所以,……………………………………………3分

因此………………………………………4分

记数列的前项和为,

当时, ,

当时, ,

当时, 

=,

又当时满足此式,

综上,…………………………………………8分

(II)记数列的前项和为.

则,

,

所以.

由(I)可知, ,

所以,

故.………………………………………………13分

17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.

由题意知, ,

所以

.…… …………4分

(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.

,

.

,

,

,

故的分布列是

所以.………………………9分

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件.

.

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.………13分

18.解:(I).

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,

即,且,解得.………………3分

(II)记,当时,

,

,

令,得.

当变化时,的变化情况如下表:

故在区间内单调递增,在区间内单调递减,

从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当

解得,所以的取值范围是.………… ………9分

(III)记,当时,.

由(II)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.

①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;

②当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为；

当且,即时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；

③当时, ,

在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者.

由知,当时, ,

所以在区间上的最大值为;……13分

④当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为

.………………………………………………14分

19.解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.

由直线与圆相切,得,所以或(舍去).

当时, ,故椭圆的方程为.……… ………5分

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为.

因为点在椭圆内,所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.

由得.

设点的坐标分别为,则

,

所以.

又因为点到直线的距离,

所以的面积为.…………………………10分

设,则且,

.

因为,所以当时,的面积达到最大,此时,即.

故当的面积达到最大时,直线的方程为.…………………14分

20.解:(I)由题意可知,.

当时, ,

当时,也满足上式,

所以.…………………………………………………………3分

(II)由(I)可知,即.

当时, ,………①

当时, ,所以,………②

当时, ,………③

当时, ,所以,………④

……

当时(为偶数), ,所以………

以上个式子相加,得

.

又,所以,当为偶数时,.

同理,当为奇数时, ,

所以,当为奇数时,.……………………………………………6分

因此,当为偶数时,数列的前项和

;

当为奇数时,数列的前项和

.

故数列的前项和.…………………………8分

(III)由(II)可知

①当为偶数时, ,

所以随的增大而减小,从而,当为偶数时,的最大值是.

②当为奇数时, ,

所以随的增大而增大,且.

综上,的最大值是1.

因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,

故实数的取值范围是.………………………………………………13分