第23章旋转全章导学案讲解

                                                                      课型：新授    

【学习目标】

  1.掌握旋转的概念，了解旋转中心、旋转角、旋转方向、对应点的概念及其应用。

  2.掌握旋转的性质，应用概念解决一些实际问题．

【学习重难点】

  重点：对数学中的旋转现象做出分析；难点：对数学中的旋转现象的探索．

【学习过程】

（一）温故知新：

  前面我们学过图形的两种变换，如下图，由△ABC到△A′B′C′的变换分别是:

（二）探究新知：(预习课本，完成以下问题)

  1.旋转的定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做          ，点O叫做          ，转动的角叫做             ．图形上的点P经过旋转变为点P′，这两个点叫做这个旋转的           ．旋转也是一种图形变换.

  2．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OCD，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是      ； 旋转角是                ；

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？即点A、B的

对应点分别是                。

  3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，                   

  △ABF是由△ADE的旋转得到的图形  ① 旋转中心是_________; 

   ②AF的长度是________③旋转了_______度

  4.探究：如图，△ABC绕点O顺时针旋转一定角度

得到△A′B′C′,OA与OA′有什么关系？∠AOA′与∠BOB′

有什么关系？△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？

【归纳总结】:    

1.旋转的性质

⑴对应点到旋转中心的距离           ；

⑵对应点与旋转中心所连线段的夹角彼此            ；⑶旋转前、后的图形          。

2.旋转三要素：            、             、             。

（三）学以致用

例1 .如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，把△ADE绕着点A顺时针旋转90°到△ABF.

⑴画出旋转后的图形，你有哪些画法？

⑵连接EF,判断△AEF的形状，并说明理由.

【课堂检测】

1．如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，已知斜边，，

（1）旋转中心是_______（2）如果连接，那么的形状是_______

     1题               2题                 3题                4题

2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．

3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是______三角形．

4．如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠C与∠AED都是直角，点E在AB上，∠D＝30°，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______，旋转了_____度。

5．如图，正方形ABCD中，F在BC上,△ABF经过旋转得到△ADE。

（1）图中旋转中心是      ；(2)旋转了    度；

 (3) 求∠EAF的度数并指出△EAF的形状。

23．1图形的旋转（2）

                                                                      课型：新授    

【学习目标】

  1．理解旋转图形的特征并能初步应用．2．掌握图形旋转的基本作图。

【学习重难点】

  图形的旋转的基本性质及其应用．难点： 性质运用及基本作图。

【学习过程】

（一）温故知新：

  1.旋转的定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做          ，点O叫做          ，转动的角叫做             ．图形上的点P经过旋转变为点P′，这两个点叫做这个旋转的           ．旋转也是一种图形变换.

  2.旋转的性质：⑴对应点到旋转中心的距离           ；⑵对应点与旋转中心所连线段的夹角等于            ；⑶旋转前、后的图形          。

  3. 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？

（二）新知探究：（阅读课本，完成以下问题.）

1.  如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形．

   旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向。而旋转中心、旋转角度及方向固定下来，对应点就自然而然地固定下来。

2．如图，ABC是等边三角形，D是BC上一点， 请画出ABD绕点A逆时针旋转后的三角形。

3．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）分别写出图中点A和点C的坐标；

（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转；

（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留）．

例2  如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．

4．如图，△ABC和△ADE均是等边三角形，连接BD、CE，找出图中一组三角形并指出其中一个三角形是由另一个三角形如何变换得到的？为什么？

【课堂检测】

1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点）,连接CC′,则

∠CC′B′的度数是（    ）A.45°         B.30°         C.25°         D.15°

2.如图,在△ABC中,∠CAB=70°.在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′,使得CC′∥AB,∠BAB′=（    ）

A.30°        B.35°        C.40°       D.50°

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（    ） A.30,2        B.60,2        C.60,      D.60， 

4.如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是        三角形. 

5.（选）已知，如图，在正方形ABCD中有一点P，且PB=2，PC=4，

PA=，求∠APB的度数？

23．2 中心对称   

                                                                      课型：新授        

【学习目标】

   1．通过具体实例认识两个图形关于某一点或中心对称的本质就是一个图形绕一点旋转1800而成。2．掌握成中心对称的两个图形的性质。3．利用中心对称的特征作出某一图形形成中心对称的图形。确定对称中心的位置。

【学习重难点】

  重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．

  难点：作出某一图形形成中心对称的图形。确定对称中心的位置。

【学习过程】

（一）温故知新：

1.什么是轴对称？

2.关于轴对称的两个图形有何性质？

（二）新知探究：（阅读课本，完成以下问题.）

1．中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形______________________，这个点叫          ，这两个图形中的对应点叫          。

图2

2．如图（1），△ABO绕点O旋转180°得△CDO，则对称中心是        ，点 A的对称点是  ，点 B的对称点是  ，点 O的对称点是    。AO=     ，BO=    。

3．如图2，△ABC绕点O旋转180°得△DEF，则AO=     ，BO=   ，CO=   ，AB     DE，BC     EF，AC     DF。

4．关于中心对称的两个图形的性质：

⑴ 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过____________，而且被对称中心_______，⑵ 关于中心对称的两个图形______ ；

⑶ 关于中心对称的两个图形中，对应线段平行且_______或

   在一条直线上。

5．中心对称的作图：如图，选择点O为对称中心，

                 画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′；

  作法：

6.作对称中心：如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O。

作法：

【课堂检测】

1．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（  ）

2．已知：下列命题中真命题的个数是（    ）

①关于中心对称的两个图形不一定全等；②关于中心对称的两个图形是全等；③两个全等的图形一定关于某点中心对称。

（A）0个        （B）  1个     （C）2个       （D）3个

3．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ）

   A.点A与点A′是对称点      B.BO=B′O  

C.AB∥A′B′             D.∠ACB=∠C′A′B′

4．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，

  将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在C′处，求CC′的长度。

5.（选）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．

⑴试判断△BEC是否为等腰三角形，请说明理由？

⑵若AB=1，∠ABE=45°，求BC的长．

⑶在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O成中心对称，此时四边形BCFE

是什么特殊平行四边形，请说明理由．

23．2  中心对称图形

                                                                    课型：新授      

【学习目标】

  中心对称图形及与中心对称的关系．会判断一个图形是不是中心对称图形。

【学习重难点】

  重点：中心对称的两条基本性质及其运用；难点：区分好中心对称与中心对称图形的关系

【学习过程】

（一）温故知新：

     如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．

（二）探究新知：（阅读课本，完成以下问题）

1．中心对称图形的定义：一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与      重合，那么就说这个图形______________________，这个点叫          。

2．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．

3．平行四边形是      对称图形， 它的对称中心是__________．

4．中心对称与中心对称图形的区别与联系：

  A  角       B  等边三角形      C  线段      D 平行四边形

2． 下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（  ）

A 平行四边形     B 矩形        C 菱形      D 正方形

3．已知：下列命题中真命题的个数是（    ）  

  ①关于中心对称的两个图形一定不全等材  ②关于中心对称的两个图形是全等形；  ③两个全等的图形一定关于中心对称

    A.  0        B.  1         C.  2          D.  3

（三）学以致用

例1．图①、图②均为的正方形网格，点在格点上．（1）在图①中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（2）在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）

例2．在一次游戏当中，小明将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，小亮看完，很快知道小明旋转了哪一张扑克，你知道为什么吗？

【课堂检测】

1．下列图形：正三角形，正方形，正五边形， 正六边形中，是中心对称图形的有（   ）个

A  1           B  2        C  3          D  4

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（    ）

A．4个            B．3个            C．2个            D．1个 

3．正方形绕中心至少旋转             度后能与自身重合．

4.下列命题中的真命题是(    )

A.全等的两个图形是中心对称图形    B.关于中心对称的两个图形全等

C.中心对称图形都是轴对称图形      D.轴对称图形都是中心对称图形

5.如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：

①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针

旋转90°；②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A′B′C′，

再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称；③将△ABC向下向左各平

移1个单位，再以AC的中点为中心作中心对称，其中正确的变换有（    ）

A.①②       B.①③        C.②③       D.①②③ 

6.轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积

二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．

23．2 关于原点对称的点的坐标 

                                                                      课型：新授   

【学习目标】

  1.理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．2.复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

【学习重难点】

  重点：确定关于原点对称的点的坐标;

  难点：于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

【学习过程】

（一）温故知新：

1.作出与线段AB关于y轴对称的线段A′B′

（二）探究新知：(阅读课本，完成以下问题).

归纳总结：关于原点成中心对称两点的坐标特征：                            

即：P（x，y）关于原点的对称点为P′（                 ）．

1.如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______ ．

2.若点A（1-2a，a-1）关于原点对称的点是第一象限内的点，则a的取值范围是        。

例1  已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(- 4，1)，C(-1，3)，作出△ABC关于原点对称的图形。                           

（三）学以致用

1.如果点M（1-x，1-y）在第四象限，那么点N（1-x，y-1）关于原点对称点P在     象限.

2.点P（2，-3）关于x轴对称点的坐标是P1（     ，      ）；关于y轴对称点的坐标是

P2（      ，     ）；关于原点对称点的坐标是P3（___    ，     ）。

3.若点A（a，3）和B(-4，b)关于原点对称，则A、B之间的距离为（    ）

A．7　　  　  B．8　　    C．6　　      D．10

4.已知点A关于原点对称点的坐标为（a,b），那么点A关于y轴对称点的坐标是（    ）    

A．（a，-b）　   B．（-a，b）　 C．（-a，-b）　　D．（a，b）

5.如图，四边形ABCD各顶点坐标分别为(5，0)，　(4，4)，（2，4) ， (1，2)，作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形.

【课堂检测】

1.平面直角坐标系中，与点（2，-3）关于原点中心对称的点是（    ）

A．（-3，2）     B．（3，-2）     C．（-2，3）     D．（2，3）

2.若点A（n，2）与B（-3，m）关于原点对称，则n-m等于（    ）

A.-1            B.-5            C.1             D.5

3.已知点P1和P2关于原点对称，则的值为（    ）

A.1            B.0            C.-1            D．（-3）2012

4.已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，

则点P的坐标是_________.

5.已知点P的坐标为且，则点P关于原点的对称点P′的坐标是         .

6.已知点P在直线y=2x-1上，则点P关于原点的对称点P′的坐标可表示为       .

7.若点P关于原点对称的点在第一象限内，则的整数解有       .

8.如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称

的△A1B1C1 ,并写出A1、B1、C1的坐标．

23.1-2  旋转      

                                                                      课型：复习       

【学习目标】

1．掌握旋转的有关概念 ；2．理解旋转变换是图形的一种基本变换；3学会用旋转的性质作出任意图形的旋转图形；4． 认识中心对称，对称中心；5．理解中心对称的图形及性质特点。

【学习重难点】

重点：旋转的基本性质，中心对称和中心对称图形的概念及性质，原点对称的点的坐标关系。        

难点：旋转、中心对称、中心对称图形的性质的综合运用。     

【学习过程】

一、知识体系：请你回顾本章主要内容并简单画出本章知识结构图：

二、自主学习检测：

1．如图1，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角的度数是            . 

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)

3.钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．那么秒针20秒旋转的角度是      ；分针15 分钟转过的角度是      ；分针从数字12出发，转过150°，则它指的数字是      .

4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是        ．

5.如图2，对这个图形的判断，正确的是（        ）

A. 这是一个轴对称图形，它有一条对称轴；B. 这是一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

C. 这是一个中心对称图形，但不是轴对称图形；D. 这既是轴对称图形，也是中心对称图形．

6.某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（    ）

A．等腰三角形    B．正三角形    C．等腰梯形    D．菱形

三、典型例题：

例1．如图3，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到

△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A＇DC=90°，则∠A的度数是      。

例2  如图，直线与轴、轴分别交于、两点，

把绕点A顺时针旋转90°后得到，

求点的坐标？

例3  现有如图3所示的两种瓷砖若干，请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形（如示例图3-1）。

（1）分别在图3-2、图3-3中各设计一种与示例图不同的拼法，使其中其中有一个是轴对称图形而不是中心对称图形，另一个是中心对称图形而不是轴对称图形；

（2）分别在图3-4、图3-5、图3-6中各设计一个拼铺图案，使这三个图案既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同(三个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案)。

例4   如图将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30o后得到正方形A′B′C′D′ 则图中阴影部分面积为多少？                                                                                   

【拓展提高】    

1. 如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到。（1）线段的长是_____________，的度数是_____________；

（2）连结，求证：四边形是平行四边形．

2.如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时

针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，

连结AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC＝∠C1．