历年全国卷高考数列题

（2004全国卷1）22．（本小题满分14分）

已知数列，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….1}{1=a a n 中（I ）求a 3, a 5；

（II ）求{ a n }的通项公式.（2004全国卷2）（19）(本小题满分12分)

数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝

S n （n ＝1，2，3，…）．证明：n

n 2

+(Ⅰ)数列{

}是等比数列；(Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．n

S n

（2004全国卷3）(22)（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)

n ,n ≥1.

⑴写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3；⑵求数列{a n }的通项公式；⑶证明：对任意的整数m >4，有

.4511178

m a a a +++< （2004全国卷4）22．（本小题满分14分）

已知函数的所有正数从小到大排成数列

0)(),sin (cos )(='+=-x f x x e

x f x

将满足x }.

{n x （Ⅰ）证明数列{}为等比数列；

}{n x f （Ⅱ）记是数列{}的前n 项和，求n S }{n n x f x .

lim

21n

S S S n

n +++∞→ （2005全国卷1）19．（本小题满分12分）

设等比数列的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）

}{n a （1）求q 的取值范围； （2）设记的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小.,2

3

12++-

=n n n a a b }{n b （2005全国卷2）18．（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列.又

}{n a 1lg a 2lg a 4lg a .,3,2,1,1

2 ==

n a b n

n

（Ⅰ）证明为等比数列；

}{n b （Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a 1和公差d.}{n b 3

1

=

S }{n a （注：无穷数列各项的和即当时数列前n 项和的极限）∞→n （2005全国卷3）20（本小题满分12分）

在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列{}n a 0d ≠2a 1a 4a 13a a 、、1k a 、

成等比数列，求数列的通项2......n k k a a 、、{}n a n

k （2006全国卷1）（22）（本小题满分12分）设数列的前n 项的和

}{n a

,3,2,1,3

2

231341=+⨯-=+n a S n n n （Ⅰ）求首项与通项；

1a n a （Ⅱ）设证明：.

,,3,2,1,2 ==n S T n n

n ∑=i i T 1

23（2006全国卷2）（22）（本小题满分12分）

设数列的前n 项和为，且方程有一根为

{}n a n S 02

=--n n a x a x .

,3,2,1,1 =-n S n （Ⅰ）求;,21a a （Ⅱ）求的通项公式.

{}n a （2007全国卷1）（22）（本小题满分12分）

已知数列{a n }中.,3,2,1),2)(12(,211 =+-==+n a a a n n （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }中，

,3,2,1,3

24

3,211=++=

=+n b b b b n n n 证明：

≤n b <2.

,3,2,1,34 =-n a n （2007全国卷2）（21）（本小题满分12分）

设数列的首项}{n a .,4,3,2,2

3),1,0(1

1 =-=

∈-n a a a n n （Ⅰ）求的通项公式;

}{n a （Ⅱ）设其中n 为正整数.

,,231+<-=n n n n n b b a a b 证明（2008全国卷1）22．（本小题满分12分）

设函数．数列满足，．()ln f x x x x =-{}n a 101a <<1()n n a f a +=（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；()f x (01)，（Ⅱ）证明：；11n n a a +<<（Ⅲ）设，整数．证明：．1(1)b a ∈，11ln a b

k a b

-≥

1k a b +>（2008全国卷2）(20) （本大题满分12分）

设数列的前n 项和为.已知，.}{n a n S a a =1n

n n S a 31+=+*N n ∈(Ⅰ)设，求数列的通项公式；n

n n S b 3-=}{n b (Ⅱ) 若，求a 的取值范围.n n a a ≥+1*N n ∈（2009全国卷1）20（本小题满分12分）

在数列中，{}n a 11111,(1)2n n n

n a a a n ++==++ （I ）设，求数列的通项公式n

n a b n

=

{}n b （II ）求数列的前项和{}n a n n

S （2009全国卷2）19（本小题满分12分）

设数列的前项和为 已知{}n a n ,n S 11,a =142n n S a +=+（I ）设，证明数列是等比数列12n n n b a a +=-{}n b （II ）求数列的通项公式。

{}n a （2010全国卷1）（22）(本小题满分12分)

已知数列中， .{}n a 111

1,n n

a a c a +==-

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

51

,22

n n c b a =

=-{}n b （Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 .

13n n a a +<已知数列的前项和．

{}n a n 2

()3n

n S n n =+A

（Ⅰ）求；

lim

n

n n

a S →∞（Ⅱ）证明：

．12222312n

n a a a n

+++…＞（2011全国卷）（20）设数列满足且

{}n a 10a =111

1.

11n n

a a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；

{}n a

（Ⅱ）设1

, 1.

n

n n k n k b b S ==

=<∑记S 证明：