数理统计课后习题解

1.1解：已知总体，由定理1.2.4可知，

∴

∴

∵,从而上式P=

查标准正态分布表得，

∴ n最小要取

1.2解:X的概率密度为:

(1)至800小时,一个元件没有失效的概率为:

则至800小时,6个元件没有一个元件失效的概率为

(2)一个元件至3000小时失效的概率为:

       则至3000小时所有元件都失效的概率为

1.3解:

     (1)总体X服从泊松分布P(),则样本的联合概率密度为:

(2)总体X服从指数分布Exp(),则样本的联合概率函数为:

(3)总体X服从均匀分布U(a,b),则样本的联合概率函数为:

(4)总体X服从正态分布N(,1),则样本的联合概率函数为:

1.4解:

     的联合概率密度为:

1.5证明：

所以  

所以  时，达到最小。

1.6 证明：（1）

（2）

1.7证明： 

1.8证明:

1.9证明:

1.11解:

       （1）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）为统计量

       （5）为顺序统计量

1.12解：

        顺序统计量为（-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21）

        样本中位数为0，样本极差为7.21

        如果再抽一个样品为2.7，构成一个容量为14的样本值，样本中位数为0.6

1.13 解：经验分布函数

样本的顺序统计量：0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  2  2  2  3  3  4  4

1.15由顺序统计量的概率密度函数可得：

样本极差R的概率密度是： 

1.16解： 

1.24解：

1.25解：

第二章

2.1解：

       (1),∵总体均值，令，即=，

∴ 参数的矩估计为。

(2),∵总体均值，令，即……………(1)

        又∵总体方差，令，即    ……………………(2)

联立(1)(2)，得：， 

        (3) ∵=，令，即

        ∴ 参数的矩估计为。

        (4) ∵=，令

∴ 参数的矩估计为。

(5) ∵=,

=

        令，，解之得

        ， 

        (6) ∵总体均值，令，即=，

∴ 参数p的矩估计为。

2.3 解:

2.4解:

      矩估计

      所以   N=1419

      极大似然估计

2.6解:

    (1) 

        ∴

        (2) 把这些数据等分为三组，每组6个数据：

        2.14，2.10，2.15，2.13，2.12，2.13，

        2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，

        2.11，2.14，2.10，2.11，2.15，2.10，

        ，， 

2.7解:

     (1) 

     (2)  -

     (3)  

2.8解:

     所以是最有效的

2.9解：

       要使为的无偏估计,需

∴

2.10解:

        所以是的无偏估计量

2.13解： 

证明：(1)，∴

           ∴ 命题得证。

           (2) 

           ∴ 命题得证。

           (3) ∵,则有

2.14解：

       泊松分布，即分布律是

则有

∴

已知

设T是即的无偏估计量，则有

∴ 参数的无偏估计量的R-C下界是。

2.17解：

则

则为的均方相合估计，则为相合估计

同理，可以证明也为的相合估计和均方相合估计。

2.19解:

       样本的联合概率函数为:

      令

      则

     由定理2.3.1知,是的充分统计量.

2.22解:

      (1), ,  , 

         因此，参数的置信度为90%的置信区间为（0.000556，0.001467），元件的平均寿命的置信度为90%的置信区间为（1/0.001467，1/0.000556）

=（681.587，1792.317）。

     （2）， 

          因此，元件的平均寿命的置信度为90%的单侧置信区间为

（1/0.001337，1/0.000631）=（1585.031，747.680）。

2.23解：

        ， 

        因此，命中率的置信度为95%的置信区间为（0.476，0.662）。

2.25解：

        ，， 

       因此，p的置信度为99%的置信区间为（0.5018，0.6787）。

2.27解：

      满足分布

       因为的置信度近似为的置信区间为

      精度为0.04,抽样得

      所以区间应为

      即,解得

2.28解：

        n=30, , , 

       因此，第一家航空公司飞机的平均晚点时间的95%的置信区间为（29.399，40.601）。

        因为36.3103〈40，因此，第二家航空公司飞机的平均晚点时间的置信度应大于95%。

        因此，应选择第二家航空公司。

2.30解：

       因此，标准差的置信度为0.95的置信区间为（5.963，15.828）。

       因此，标准差的置信度为0.95的单侧置信下限为6.323。

2.32解：

第3章    

3.1证明：

(1). 

(2). 

(3). 

由此可见这三个集合为拒绝域的检验的显著水平都是0.05。

∴ 命题得证。

3.2解：

取，当U过分偏大将不利于H0,故拒绝域应有形式W={Uk},显然当H0成立时，有：

U

        =

所以以W为拒绝域的检验符合水平为的要求。

3.3解:

3.4解:

3.5解:

3.6解:

3.7解:

3.8解：

依题意，总体X和Y分别服从正态分布和，其中未知。要检验假设：

经计算，有，

，

对给定水平，查自由度为的t分布表得，。

3.9解:

3.10解：

  依题意，总体X和Y分别服从正态分布和，其中，。要检验假设：

经计算，

对给定水平，查F（10，10）分布表，得：

因此，接受原假设，即可认为这两种方法的得率的方差无显著差异。

3.12解：（1）：

        （2）

3.13解：

3.14解:

3.16解；

3.19解：

3.24解：

3.25解：

第4章   

4.1解：

提出假设

：不同速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响

计算结果见下表

F=3.5856<3.68=,所以接受，认为不同速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响。

4.2解：

提出假设

：这三组玻璃碎片的平均折射率无显著差异

计算结果见下表

F=32.0485>3.35=,所以拒绝，认为这三组玻璃碎片的平均折射率有显著差异。

4.3解：

提出假设

：这三种净化器的行车里程之间没有显著差异

计算结果见下表

F=6.3439>4.47= (2,7),所以拒绝，认为这三净化器的行车里程之间有显著差异。

4.5解：

（1）在方差分析表中填入所缺项目

       ：处置方案因子各组均值有显著差异

       ：区组因子各组均值无显著差异

       ：区组因子各组均值有显著差异

对给定的水平=0.05，查F分布表，得(2,4)=6.94，因为

=5.5429<6.94= (2,4), =0.2286<6.94= (2,4),所以接受、，认为二者各组均值无显著差异。

4.8解：

=15.6>4.41= (1,18)， =37.8>3.55= (2,18),

=2.4<3.55= (2,18),因而认为因素A,B对试验指标有显著影响,因素AB对试验指标无显著影响.

4.14解：采用L16（212）正交表：

第5章 

5.1解：

5.2解：

        由表所给的数据，得

5.4解：

       (1)由表格可得：

n=10, =42.5, =18.6, = =2062.5, = =104.46，

=-n=460.00， ==1.39

==0.223,  =9.121

因此，y对x的经验回归方程是

(2) 提出假设：：b=0 ：b0

由以上可知： =20.8144 

查表得： (8)=2.306,  因为 t =20.8144>2.306,所以拒绝，认为线性回归显著。

(3)将x=42℃代入线性回归方程，得=18.487。

由n=10及预测区间表达式得

＝1.1667

故y的置信度为95％的预测区间是 (δ(42))= (173.3203，19.6566)

5.7证明：

5.8解：

5.9解：

（1） 由表得  =，故

(2) 因为 n=11,k=2, =94.855,

=2211.8

=43.944

所以

=201.3251,

查表得，

=4.46,

因为，所以拒绝，即认为线性回归显著。

(3)  提出假设：：＝0 ：，

n=11,k=2, =0.0004, =0.662

由以上可知：

=14.1230

查表得：（8）=2.306,  因为 t =14.123>2.306,所以拒绝，认为显著不为零。

(4) 把＝9，＝50代入回归方程的＝98.576，

所以y的置信度为95％的预测区间为：

＝[92.9358, 104.2588]

第六章

6.1解

（1）状态集{5，6，7，8，9}，行动集{5，6，7，8，9}。

（2）收益矩阵Q

，

损失矩阵L

。

（3）

（4）

6.2解:（1）

L=   

（2）

（3）

6.3解：（1）

（2）

（3）

（4）

获得x的6个观察值，的后验分布：

其中：

6.5 解：获得观察值R，的后验分布为：

获得x的6个观察值，的后验分布：

其中：

6.6 解：