抛物线的焦点弦问题

知识回顾：

已知AB 是抛物线的焦点弦，为抛物线焦点，为抛物线的准线，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别F l 为C 、D 。求证：

（1）4

2

21p x x =2

21p y y -=（2）（为直线AB 与y 轴的夹角）θ

2

21sin 2p

p x x AB =

++=θ（3）θ

sin 22

p S AOB

=

∆（4）

为定值。BF

AF 1

1+

（5）以AB 为直径的圆与抛物线准线相切。l （6）以AF 为直径的圆与y 轴相切。

（7）。DF CF ⊥（8）、O 、D 共线。

A 典型例题：

1. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么

|AB|=（ ）

A ．8

B ．10

C ．6

D ．4

2、2. 过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则

q

p 1

1+等于（ ） A ．2a

B ．

a 21

C ．4a

D ．

a

43. 已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴

的距离为 (　　)

A. B ．1 C.

D.345

474

4.

已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（　　）

A ．2:

B ．1:2

C ．1:

D ．1:3

5. 已知抛物线的焦点弦的两端点为, 则关系式

)0(22

>=p px y AB ),(),,(2211y x B y x A

值一定等于 （ ）

2

12

1x x y y A ．4

B ．－4

C ．p 2

D ．－p

6.已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若2

:8C y x =()2,2M -C k C ,A B ,则（　　）

0MA MB =

A k =A ．B

C

D ．122

7. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段的长分别为，则)0(2>=a ax y F B A ,BF AF ,n m ,等于 （ ） n

m mn + A.

B. C. D. a 21

a

41a 24a 8.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，与其准线相交于点若

l ()022

>=p px y F B A 、,C 则此抛物线方程可能为（

）

,3,2==AF BF BC A ． B ．

C ．

D ．2

32

x

y =

x y 92

=2

92

x y =

x

y 32

=9. 已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则

k ＝___________。

10. 设为抛物线的顶点，为其过焦点的弦，若，求。

O ()022

>=p px y PQ F ,a OF =b PQ =.OPQ S ∆

11．以抛物线的一条焦点弦为直径的圆与准线相切于点，求此抛物线和圆

()022

>=p px y AB ()3,2--的方程。

12. 直线与抛物线相交于两点，求证：2y x =-2

2y x =,A B OA OB

⊥13.如图已知的一个顶点为抛物线的顶点O ，A 、B 两点都在抛物线上，且.

AOB ∆2

2y x =0

90AOB ∠

=（1）证明直线AB 必过一定点；（2）求面积的最小值.

AOB ∆