必修五数列复习专题

必修5第二章数列复习专题  2018.2

一、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．

(2)等差、等比数列的定义．

(3)等差、等比数列的通项公式．

(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

二、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，、、、、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

三、知识内容：

1.数列

数列的通项公式：      数列的前n项和：

2.等差数列

等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

等差数列的判定方法:

（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 

（2）等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。

等差数列的通项公式：

如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。

说明：该公式整理后是关于的一次函数。

等差数列的前项和：①    ②

说明：对于公式②整理后是关于的没有常数项的二次函数。

等差中项：

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或

说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

等差数列的性质：

（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有

（2）对于等差数列，若，则。

也就是：，如图所示：

（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：

   3.等比数列

等比数列的概念：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）。

等比中项：

如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么，即。

等比数列的判定方法：

（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 

（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。

等比数列的通项公式：

如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。

等比数列的前n项和：

      当时，

等比数列的性质：

①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有

②对于等比数列，若，则

也就是：。如图所示：

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：

4.数列前n项和

（1）重要公式：

；

；

（2）等差数列中，

（3）等比数列中，

（4）裂项求和：；（）

四、递推关系通项公式的求法：

对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：

模式一：形如递推式。由累加法可求得通项公式为

例1．（2007北京高考题）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（）求的值；（）求的通项公式  

模式二：形如递推式。由得，

例2．已知数列满足，，，求通项公式。

模式三：形如（其中、为常数）递推式，通常解法是设

，求出，因是等比数列则可求出通项公式。

例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列中，，

．（）求的通项公式；

模式四：形如（其中为常数）递推式，（、为常数）是其特殊情形。后者的等式两边同除以，得，令，则可化归为（、为常数）型。

例4．（2007天津高考题）在数列中，

，其中．（）求数列的通项公式；（）略；

模式五：形如（其中为常数）递推式，设数列，使，则，即，令，则，即已化为模式一。

例5．已知数列满足，且，求数列的通项公式。

模式六：形如(且递推式，它的推广形式为。通过对等式两边取对数，得，再令，即转化为类型一

例6．已知数列满足，求。

模式七：形如（其中、是不为零的常数）递推式，可变形为

，则是公比为的等比数列，这就转化为了模式三。

例7．（2006福建文科高考题）已知数列满足,

。（）略；（II）求数列的通项公式；

模式八：形如及其变形形式和

（其中、是不为零的常数）递推式。对两边同除以，再令，，即化为等差数列形式。

例8．（2005重庆高考题）数列满足且记（）略；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

模式九：形如（其中）递推式，它是模式八的推广。通常两边同除以，得，有，再令，得，这就化为了模式五。

例9．（2006江西高考题）已知数列｛an｝满足：，且，（）求数列｛an｝的通项公式；（2）略。

解：（）将条件变为：，因此为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而，据此可得.

模式十：形如（其中、是不为零的常数）递推式，将原式转化为，然后再通过迭代进行求解。

例10．（2005江西高考题）已知数列，

， （1）略；（2）求数列的通项公式an.

模式十一：形如（、、、为常数）递推式，解常解法为：先设函数，视、为得到特征方程，再以此方程的解的情况来求解。若此方程无解，则此数列为循环数列；若特征方程有两个不等的实根、，则可变形为（其中）；若特征方程有两个相等的实根，则可变形为（其中为常数）。

例11．已知数列｛an｝，满足，求an.

模式十二：形如（其中、为非零常数）递推式。

例12．（2007四川高考题）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数。（Ⅰ）、（Ⅱ）略；（Ⅲ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式。

 五、例析数列求和的常用方法

数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。

（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。

例1．已知满足，当时，，若，求

  （二）错位相减法：这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。

例2．求数列的前项和。

（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例3．已知数列满足，求其前项和。

（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如

 、等公式。

例4．求数列,,的和。

（五）拆项（裂项）相消法：若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例5．已知数列满足，求数列的前项和

（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。

例．求数列的前项和

（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意的奇偶性。

例7．已知数列，求数列的前项和

（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号时，应分为奇数、偶数进行讨论。

例8．若，求数列的前项和

（九）利用周期性求和：若数列，都有（其中,为给定的自然数，），则称数列为周期数列，其中为其周期。

例9．已知数列中，，求其前项的和.

（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。

例10．求数列前项和，其中.

（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。

例11．求，，，，的和

（十二）组合数法

例12．求数列，，，的和

数列专题复习

一、填空题

1．已知－1，x，－4成等比数列，则x的值是             

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则c等于         

3．一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n是       

4．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则的值等于           

5．在△ABC中，a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积S的值是            

6. 已知正项数列中, ,,则通项           

7．已知等差数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该等差数列的公差为        

8．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是          

9．数列，，，则=         

10．某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果按年利率为10﹪来考虑,那么到出煤的时,国家实际投资总额是（其中）           

11．在△ABC中，已知b=，则∠C=              

12．已知等差数列中，=            

13．在函数中，若a,b,c成等比数列，且，则f(x)有最      值（填“大”或“小” ），且该值为         

14．已知数列的前n项和，则通项公式        

15．Rt△ABC的三个内角的正弦值成等比数列，设最小的锐角为角A，则sinA=              

16.设函数f（x）满足 =（n∈N*）且，则 =          ；

17.设，则                

18.某工厂生产总值的月平均增长率是,则年增长率是                

二、解答题

19．在等比数列中，，求（1）和公比q ；（2）若各项均为正数，求数列的前n项和。

20．在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A,B是锐角，c=10，且     （1）证明∠C=90° ；（2）求△ABC的面积。

21．已知正数数列的前n项和为，且对于任意的，有  （1）求证为等差数列；（2）求的通项公式；

（3）设，求的前n项和。

答案：

一、   1  2或－2   2、2  3、14   4、    5、    6、       7、3

8、C. 4014    9、A   10、  671万元      11、12、15             13、大、-3    14、15、   16   97   、17、      

18、      

17、（1）

（2）

18、（1）证明略（2）24

19、（1）证明略（2）2n-1（3）