东北大学2005年硕士研究生入学考试试题 数分 解答

1、（10分）设，证明和存在，但在点不可微。

证明：，同理有

，

不存在。

因为，，

即在处不可微。

2、（12分）设，求，

解：当时， ，则

；

当时，。

3、（14分）设，求和。

解：因为单调递增，且，所以，。

4、（15分）求级数的和。

  解：因为；，令，；

则 

，则，故

；

又，令，；

则 

，则，故

；

且得。

5、（14分）证明当时，在上一致收敛。 

证明： 当时，，又由微分中值定理对任意，和正整数有

，，

由一致收敛定义易知在上一致收敛。

6、（12分）证明在上不一致连续。

 证明：取，显然，且，

但由微分中值定理，，知

不趋于0，故在上不一致连续。

7、（12分）

8、（14分）设，，证明对任意的，有

。

证明：由，有单调减少，由微分中值定理对任意的，

存在，和，

使得

，

且，由，有单调减少得

，

又得    。

9、（14分）计算， 其中为单位圆周，的正向。

10、（12分）计算。

 解：令，，

则

       ，

所以

          。

11、（12分）证明关于在上一致收敛，在上不一致收敛。

证明：因为一致有界，且单减，，因此关于在上一致收敛；又

，

令，有，在上不一致收敛。

12、（14分）设在有连续的导数，    ， ，证明   。

证明：因为

，

由，所以有

，

又由积分Schwarz不等式得

，

再由，即有

。