【免费下载】有关一阶线性微分方程积分因子的解法

摘 要：当一阶线性微分方程不是恰当微分方程或不存在只含有一个未知数的积分因

子时，微分方程的积分因子不易求得. 本文给出了三种特殊形式的积分因子并证明了这

三种积分因子存在的充分必要条件.

关键词：偏导数；偏微分方程；线性微分方程；积分因子

一 引言

对于一阶微分方程

，

(1)

0),(),(=+dy y x Q dx y x P 若存在连续可微的函数，使得，则方程 (1)

0),(≠y x u 0),(),(),(),(=+dy y x Q y x u dx y x P y x u 为一阶恰当微分方程，即存在函数，使

),(y x v ,

(2)

),(),(),(),(),(y x dv dy y x Q y x u dx y x P y x u =+且称非零函数为方程(1)的积分因子．

),(y x u 若找到方程(1)的积分因子，就设法求得式(2)的一个原函数，从而是

),(y x v c y x v =),(方程(1)的通解．

引理1 设,,在单连通区域内连续且有连续一阶偏导数，且

),(y x P ),(y x Q ),(y x u G ,则函数为（1）的积分因子的充分必要条件是

0),(≠y x u ),(y x u

，

(3)

u x Q y P y u P x u Q

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂式（3）是一个以为未知数函数的一阶线性偏微分方程，通常情况下，要想通过具

),(y x u 体求解方程(3)而求得积分因子是比较困难的．但某些特殊情况下，不难求得(3)的

),(y x u 一个特解，而作为积分因子．文献[1]给出了结论，方程(1)有只与有关的积分因

),(y x u x 子的充分必要条件是，这里仅为的函数.方程

⎰

=dx

x e x u )()(ϕ)(1

x Q x Q y P ϕ=⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂-)(x ϕx

(1)有只与有关的积分因子的充分必要条件是

y ⎰

=dy

y e y u )()(ϕ,

)()(1

y P x Q y P ϕ=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂-这里仅为的函数.

)(y ϕy 当微分方程不存在只与或有关的积分因子，用此方法无法求解.本文给出 3 种只

x y 依赖,形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因

)(,b a b a y x y x +))()((y g x f u 子的求解.

二 一阶微分方程积分因子的解法

定理1 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件是

b a y x , (4))()(11

b a b a y x f y

bP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-此时是方程 (1) 的一个积分因子,（是的一个原函数）.

)

(),(b

a y x

F e y x u =)(t F )(t f 证明 必要性，设是方程（1）的一个积分因子，则

)

(),(b a y x F e

y x u =,.))((1)(b a b a y x F y ax y x f e x

u

b a -=∂∂))((1)(a b b a y x F x by y x f e y u b a -=∂∂代入式 ,可得u x Q y P y u P x u Q

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂= ))(())((1

)

(1

)

(---b a

b

a

y x F b a

b

a y x F y

bx y x f Pe

y

bx y x f Qe

b a b a )

(b a y x F e x Q y P ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂消去,并化简可得

)

(b

a y x

F e ,即(4)式成立..)()(11

b a b a y x f y

bP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-充分性，若式（4）成立，则，整理得01)(=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫

- ⎝⎛y P x Q y x y bP x

aQ y x f b a b a ,则有0)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y bP x

aQ y x f y x b a b a

. (5)0)()(11=⎪

⎪⎭

⎫

∂∂- ⎝⎛∂∂---y P x Q P y bx y x f Q y ax y x f b a b a b a b a 设是的一个原函数,式（5）两边同乘以,则式

)(t F )(t f )

(),(b

a y x

F e y x u =u x Q y P y u P x u Q

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂成立.即是方程（1）的一个积分因子. 证毕

)

(),(b a y x F e

y x u =定理2 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件

)(b a y x + . (6))()(111b

a b a y x f P by Q ax x

Q y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂---此时是方程（1）的一个积分因子（是的一个原函数）.

)(),(b a y x F e

y x u +=)(t F )(t f 证明 必要性， 设是方程(1)的一个积分因子，则

)

(),(b a

y x

F e y x u +=,.1)()(-++=∂∂a b a y x F ax y x f e x

u

b a 1)()(-++=∂∂b b a y x F by y x f e y u b a 代入式,可得u x Q y P y u P x u Q

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂)

(1)

(1)

()()(b a b a

b a

y x F b b a y x

F a b a y x

F e

x Q y P by y x f Pe ax y x f Qe +-+-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-+消去,整理可得

)

(b a

y x

F e +,即(6)式成立..)()(111b

a b a y x f P by Q ax x

Q y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂---充分性，若(6)式成立，则整理可得下式

. (7)x

Q

y P Pby Qax y x f b a b a ∂∂-

∂∂=

-+--))((11设是的一个原函数,式(7)两边乘以，则(3)式成立.即

)(t F )(t f )

(),(b a

y x

F e y x u +=是方程(1)的一个积分因子.证毕.

)(),(b a

y x

F e y x u +=定理3 若方程(1)中,在内连续且有连续偏导数

,，且满足),(y x P ),(y x Q D y P ∂∂x

Q

∂∂

"c":

Q

y P ∂∂≠

∂∂D y x ∈),())()((y g x f u

，

(8)

))()((y g x f y

g Pf

x f Qg x

Q

y P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂并且积分因子由下式确定

),(y x u ,.

(9)

dz

z e y x u ⎰

=Φ)(),()()(y g x f z =(9)中由(8)给出.

)(z Φ证明 必要性，设,是方程(1)的积分因子，

,)(),(z y x u ϕ=)()(y g x f z =x

Q

y P ∂∂=

∂∂ϕϕ.

D y x ∈),(即得

，从而整理得ϕϕϕϕx

N

Q y g x f z y P P x f y g z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂)()(,y

g Pf

x f Qg x Q

y P z x Q y P y g Pf x f Qg z ∂∂-∂∂∂∂-

∂∂= ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫∂∂-∂∂= ⎝⎛⎪⎪⎭⎫∂∂-∂∂∂∂ϕϕϕϕ1取，则有ϕ

ϕ)

()(z z '=

Φ，可得(8).

)(z y

g Pf

x f Qg x

Q

y P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =充分性，若

,,)(z y

g Pf

x f Qg x

Q

y P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =令,.则

⎰

=Φdz

z e y x u )(),()()(y g x f z = =∂∂+∂∂=∂∂y P u P y u y uP )(+∂∂Φ⎰ΦP y z

z e dz z )()(y

P e dz z ∂∂⎰

Φ)(

"c":

⎡⎥⎦⎤∂∂+∂∂Φ⎰

=Φy P fP y g z e dz

z )()(,⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡∂∂+∂∂Φ⎰=∂∂Φx Q gQ x f z e x uQ dz z )()()(所以 .从而(9)为积分因子.0)()()()(=⎢⎢⎣

⎡ ⎝⎛ ⎝⎛⎥⎦⎤⎪⎭⎫∂∂-∂∂+⎪⎭⎫∂∂-∂∂Φ⎰=∂∂-∂∂Φx Q y P x f Qg y g Pf z e x uQ y uP dz z 三 应用举例

例1 解方程

. （10）

dx xy ydy x xdy ydx 22-=+解 方程（10）可化为，此时,

0)()(22=-++dy y x x dx xy y 2),(xy y y x P +=，则

,，y x x y x Q 2),(-=xy y P 21+=∂∂xy x

Q 21-=∂∂所以不存在只与或有关的积分因子．由于

x y ，)1()1(1

4)(11xy b xy a y x xy y bP x aQ x Q y P y x b a b

a +--=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂-取,,则有

.3=a 3=b )((1

3

3331y x f y x y bP x aQ x Q y P y x b

a =-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂-则根据定理1，方程（10）有只依赖于形式的积分因子.于是方程（10）有积分因子

33y x .

33),(y x y x u =例2 求解方程

. （11）

ydx xdy dx y x 22)33(22-=+解 方程（11）可化为 令,

,02)233(22=-++xdy dx y y x y y x y x P 233),(22++=,

x y x Q 2),(-=则

,，所以不存在只与或有关的积分因子．由26+=∂∂y y P 2-=∂∂x

Q

x y ，)233(21)46()(2211

11y y x by ax y P by Q ax x Q y P b a b a +++-+=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂----取 ，则有

2=a 2=b

.)(1)(2222111y x f y x P by Q ax x Q y P b a +=+-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝

⎛∂∂---根据定理2,方程（11）有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数

22y x +1)(--=t t f .于是方程（11）有积分因子

，进而可求得其通解为

Int t f -=)(122)(),(-+=y x y x u .

c xy x =+-1arctan 例3 求解方程

. (12)

0)3()6(322=+-++dy xy x dx y yx 解 ,,则

226y yx P +=xy x Q +-=33,,可得y x y P 262+=∂∂y x x

Q +-=∂∂29.x y x

Q y P --=∂∂-∂∂215取,.则有

x x f =)(2)(y y g =xy y yx y xy x y x dy

dg Pf

dx df Qg x

Q y P 2)6()3(1522232+-+-+=

-∂∂-

∂∂ y

x 21-

=从而由定理知方程有积分因子 .

y

x y x u 2

1

),(-

=文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在

许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．

参考文献：

[1] 石瑞青，闫晓红，郭红建，等．常微分方程全程导学及习题全解[M]．北京：中国时代经济出版社，

2009．

[2] 赵临龙．常微分方程研究新论[M]．西安：西安地图出版社，2000．

[3] 刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用[j].阜阳师范学院学报.2003,20(6)39-41

[4] 高正辉.一阶微分方程三类积分因子的计算[J].衡阳师范学院学报(自然科学版),2002(3)

[5] 东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.35-48

Method of Solution Integrating Factor of Linear First-order Differential

Equation

Abstract: As for linear first-order differential equation and it will not exist if it has only one unknown number of integrating factor. So the differential equation will be difficult to solve. This thesis gives three particular forms of integrating factors which proves the sufficient and necessary condition of existence.

Keywords:Partial derivative, Partial differential equation, linear differential equation, integrating factor

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