数列求和的几种常用方法

知识点归纳 

1等差数列的前n项和公式, 等比数列的前n项和公式：

Sn=     Sn=   Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；

当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式

当q=1时，Sn=n a1     (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=         Sn=

2．基本公式法：等差、等比数列的前n项和公式、、

          、

3拆项法求数列的和，如an=2n+3n  

4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n

（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）

5项法求和，如an=1/n(n+1) 

（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）

6反序相加法求和，如an=

7求数列{an}的最大、最小项的方法：

①an+1-an=……  如an= -2n2+29n-3   

②   (an>0) 如an=  

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

题型讲解 

例7 （分情况讨论）求和： 

解：①当a=0或b=0时， 

②当a=b时，；

③当ab时， 

例8（分部求和法）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求

解：首先由

则

练习（分部求和法）求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和

解：其和为：

(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)== (3n＋1-3-n)

例9（裂项求和法）

解：，

练习（裂项求和法）已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和： 

解：首先考虑

则=

点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和

也可用裂项求和法

例10（错位相减法）1.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和

解：①若a=0时，Sn=0

     ②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=

     ③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），

Sn=

练习（错位相减法）2.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和

解： 

①-②得： 

3.求和S=

    解  由原式乘以公比得:

Sn=

原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,

         ∴Sn-Sn=+

         即     Sn=3

    一般地, 当等比数列{bn}的公比为q, 则错位相减的实质是作“Sn- qSn”求和.

点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列

 的前项和求解，均可用错位相减法

例11（递推法）已知数列的前项和与满足：

成等比数列，且，求数列的前项和

解：由题意： 

 ∴

点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法

例12 数列中，且满足  

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

解：（1）由题意，，

为等差数列，设公差为，

由题意得，

（2）若， 

时，

故   

（3）

若对任意成立，即对任意成立，

的最小值是， 的最大整数值是7

即存在最大整数使对任意，均有

说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题

例13（倒数法）已知函数,数列{an}满足a1 = 1,an+1 = f(an) (n∈N*)

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) 记Sn = a1a2 +a2a3+…+anan+1 , 求Sn 

解: (Ⅰ) 由得 3anan+1 +an+1 = an ,从而,

即,数列是以为首项3为公差的等差数列

∴, ∴

(Ⅱ) 设bn = anan+1 ,则,

∴

∴, 

  1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列

  2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础

练习1（倒数法）已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．

解： 

∴是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n－1）=

∴an=

练习2（倒数法）已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．

解： 

∴是以1为首项，公差为2的等差数列．

∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．

∴an=Sn－Sn－1==

∴an=

例14（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通项公式．

解：先考虑偶数项有：

S2n－S2n－2=－3·

S2n－2－S2n－4=－3·

……

S4－S2=－3·

将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，

所以S2n=－2+．

再考虑奇数项有：

S2n＋1－S2n－1=3·

S2n－1－S2n－3=3·

……

S3－S1=3·

将以上各式叠加得S2n＋1=2－．

所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．

综上所述an=，即an=（－1）n－1·．

例15（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．

解：∵an+1－3=2（an－3）

∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．

∴an－3=2n

∴an=2n+3．

练习．在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．

解：an+12=an2+

∴an+12－1=（an2－1）

∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．

∴an+12－1=3×，即an=

例16（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．

解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1

则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－．

所以是常数列，且a1－=－．

所以=－，即an=．