江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考数学(理)试题

吉安一中    九江一中

萍乡中学    新余一中

宜春中学    上饶县中

2012年江西省              联 合 考 试

高三数学（理）试卷

命题人：赣州一中   郭诗恒    九江一中  李光华 

1、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数的实部是  （     ）  

A．              B．         C．           D． 

2．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U = AB，则集合的真子集共有（     ）

A．3个              B．6个               C．7个          D．8个

3．要得到函数的图象，只要将函数的图象（     ）

A．向左平移单位                  B．向右平移单位     

C．向右平移单位                D．向左平移单位

4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（     ）

A.       B.  3         C.            D.  4

5．已知数据是江西普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（     ）

  A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

  B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

  C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

  D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

6．在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（     ）

A．数列是递增数列； B．数列是递减数列；

C．数列是常数列；   D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列．

7．在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为（     ）

A．直角三角形        B．钝角三角形  

C．等边三角形                          D．等腰三角形但不是等边三角形.

8．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（     ）

    A．    B．    C．    D． 

9．设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的的离心率，O为坐标原点，是两曲线的一个公共点，且满足2=,则的值为（     ）

    A．2    B．    C．    D．1

10．已知函数，则函数（）的零点个数不可能 （     ）

A．3          B．4           C 5           D．6

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11． ________； 

12．阅读右侧程序框图，输出的结果的值为________；

13．若不等式组表示的平面区域是

一个三角形，则的取值范围是　       　.

14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：

    ①②；③； 

④，其中是一阶格点函数的有         。

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.

15．(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________.

15．(2) (不等式选择题）设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是       .

4.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在锐角三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，，，且∥.

（1）求角A的大小；

（2）求函数的值域．

17．(本小题满分12分)

某公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者操作按钮，电脑随机产生两个数，满足电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．

（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；

（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望

18．（本小题满分12分）

如图，四边形中（图1），是的中点，， ，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）

（1）求证：平面；

（2）求二面角A—DC—B的余弦值。

19．(本小题满分12分) 

（1）求数列的通项公式；

20．（本小题满分13分）

设不在轴负半轴的动点到的距离比到轴的距离大

求的轨迹的方程；

过作一条直线交轨迹于、两点，过，做切线交于点，再过、作的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．

21．（本小题满分14分）

设函数数列满足， 

(1)证明：函数在是增函数；

（2）求证： 

（3）若，求证： 

数学（理）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

11．   12．    13．    14．③④        

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.

15．(1)（坐标系与参数方程选做题）

15．(2)  (不等式选做题）           

5.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，

，，且∥.

（1）求角A的大小；

（2）求函数的值域．

解：解：（1）由∥，得……………………………2分

∴

                  …………………………4分

    在锐角三角形ABC中， 

∴，故        …………………………6分

（2）在锐角三角形ABC中，，故…………………………7分

∴

    …………………………9分

∵，∴ 

∴， 

∴函数的值域为…………………………12分

17. 某集团公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者操作按钮，电脑随机产生两个数，满足电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．

（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；

（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望；

 解：（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个……………3分

设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，

∴P(A)= ……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）设小明参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900． 

P(ξ=-100)=，P(ξ=900)=，P(ξ=9900)=………9分

∴ξ的分布列为

∴   …………………………12分

 18．（本小题满分12分）

如图，四边形中（图1），是的中点，， ，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）

    （1）求证：平面；

    （2）求二面角A—DC—B的余弦值。

18.解： 

（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。∵ 

∵，  , 

所以是BC为斜边的直角三角形，,                           

∵是的中点,∴ME为的中位线， 

,                                             

是二面角的平面角=  …………………………3分             ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM                     

 ∵,为等腰直角三角形，

                               ………………6分    

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系， 

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，

,D,C,

 …………………8分        

设平面ACD的法向量为 

则 

…………………………10分

…………………………12分

19． (本小题满分12分) 已知数列满足，

, ,

求数列的通项公式；

解：由题意        ①

                   ②

由②-①得，又

∴，故数列从第二项开始为等比数列…………………………3分

将代入①式， 

∴时， 

∴数列的通项

                                                  …………………………6分

（2）   ∴

 ∵假设存在任意三项

①不防设当

…………………………9分

②假设存在成等差数列的三项中包含时

不妨设且

∴

………………………12分

20.（本小题满分13分）

设不在轴负半轴的动点到的距离比到轴的距离大

求的轨迹的方程；

过做一条直线交轨迹于，两点，过，做切线交于点，再过，做的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．

……………………6分

设N点坐标为（a,b）则

…………………………8分

由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，

∵是抛物线的焦点，∴，∴，

∴

，

，，

∴, …………………………11分

即，所以，，

∴，

∴所求点的坐标为…………………………13分

21.（本小题满分14分）设函数数列满足， 

(1)证明：函数在是增函数；

（2）求证： 

（3）若，求证： 

证明：（1）∵时，∴恒成立，

∴函数在是增函数；…………………………3分

…………………………5分

1当n=1时命题成立

2假设当n=k时命题成立，即

  恒成立…………………………8分

根据①②可知对于任意命题均成立

    ∵

…………………………14分