高三文科数学模拟卷(含答案)

本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下四个命题：

①“若，则”的逆否命题为真命题

②“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件

③若为假命题，则，均为假命题

④对于命题：，，则为：，

其中真命题的个数是（ ）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

2．已知x0是函数f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则（　　）

A．, ．,

C．, ．,

3．已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）

A． ． ． ．

4．已知f（x）是定义域为[-3，3]的奇函数，且在[-3，0]上是减函数，那么不等式f（x+1）＞f（3-2x）的解集是（　　）

A． ． ． ．

5．函数f（x）=x2ln|x|的图象大致是

A． ．

C． ．

6．在中，角、、的对边分别为、、.若，且成等差数列，则的面积是（ ）

A． ． ．3 ．

7．数列中,,且,则当前项和最小时,的值为

A． ． ． ．

8．若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为（ ）.

A． ． ． ．

9．设，则函数的最小值为（ ）

A． ． ． ．

10．关于直线m、n及平面α、β，下列命题中正确的是（ ）

A．若,,则 ．若,,则

C．若,,则 ．若,,则

11．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则

A． ． ．3 ．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______.

13．若实数满足，则的取值范围是__________．

14．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.

15．已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为，若此圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______.

16．给出下列四个命题： 

①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；

②函数与函数是相等函数；

③对于指数函数与幂函数，总存在，当时，有成立；

④已知是方程的根，是方程的根，则.

其中正确命题的序号是__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．在中，a， b， c分别为角A，B，C 所对边的长，.

（1）求角C的值：

（2）设函数，求的取值范围.

18．已知为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若，求正整数的值.

19．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；

（2）求证：平面MOC⊥平面VAB

（3）求三棱锥V-ABC的体积．

20．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；

（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．

21．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与曲线交于，两点，且，求的值.

23．已知函数．

（1）解不等式；

（2）若对于，，有，，求证：．

参

1．C  2．A 3．A  4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 9．A 10．A

11．C

由题,设在第一象限,则作轴于点,设准线交轴于,因为,

∥,故,又,故,所以的横坐标也为1.

利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离有

12．

建立如图所求的直角坐标系，则，，设，则，，

∴，，

∴，又，

∴．

13． 14． 15．

16．③④

根据函数定义，对定义域内的任意一个值，只有唯一的值与之对应，∴函数，的图象与直线可能有一个或0个交点，因此①错；

中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，②错；

当时，，因此③正确；

如图，分别是函数、的图象与直线的交点、的横坐标，由于与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此两点关于直线对称，直线与直线的交点为，∴．④正确．故答案为：③④．

17．解：（1）由正弦定理得：，

∴，∴，∴.

（2），

∵，，∴.

18．解：（1）根据题意，设数列的公差为，

由题意知，解得，

则，即；

（2）由（1）可得，

则，又，

则有，即，

变形可得：，解可得或（舍），故．

19．解：（1）证明：∵O,M分别为AB,VA的中点,

∴OM∥VB,∵VB平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC；

（2）∵AC=BC,O为AB的中点,

∴OC⊥AB,∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,

∴OC⊥平面VAB,∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB

（3）在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,

∴等边三角形△VAB 中,S△VAB=,

∵OC⊥平面VAB, ∴VC-VAB=•S△VAB=, ∴VV-ABC=VC-VAB=

20．解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为

.

所以平均分，

众数的估计值是65.

（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，

由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人，

记这4名学生分别为，，，，

成绩在区间内的学生有人，记这2名学生分别为，，

则从这6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：，，，，，，，，，共9种，所以．

21．解：（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，，

则有，，又，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）当轴时，位于轴上，且，

由可得，此时；

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，

由，得.

，，从而

已知，可得.

.设到直线的距离为，则，

.

将代入化简得.

令，

则.

当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.

22．解：（1）曲线的普通方程为，即.

将代入化简得的极坐标方程为.

（2）将的参数方程代入的普通方程中，得，

设，两点的参数分别为，，则，、异号，

.

23．解：（1）由得，

则或或

解得，或，或，即，

所以不等式的解集为.

（2）证明：由，，

所以.