安徽省“江南十校”2016届高三学生冲刺联考理数试题Word版含答案...

理科数学 

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A．      B．      C．或      D．

2.已知复数满足（为虚数单位），则复数则复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限      

3.已知数列满足，，且，若，则正整数（    ）

A．21       B．22       C．23       D．24     

4.设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A．       B．       C．       D．     

5.在空间直角坐标系中，已知某四面体的四个顶点坐标分别是，，，，则该四面体的正视图的面积不可能为（    ）

A．      B．       C．      D．

6.设是由轴、直线和曲线围成的曲边三角形区域，集合，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是（    ）

A．      B．       C．      D．

7.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（    ）

A．      B．       C．      D．

8.若把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数的图象重合，则的一个可能取值是（    ）

A．      B．      C．      D．

9.设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（    ）

A．      B．       C．      D．

10.对于平面向量，给出下列四个命题： 

命题：若，则与的夹角为锐角；

命题：“”是“”的充要条件；

命题：当为非零向量时，“”是“”的必要不充分条件；

命题：若，则

其中的真命题是（    ）

A．，      B．，       C．，      D．，

11.已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（    ）

A．      B．      C．      D．      

12.已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线：的距离记为，若，则的最小值为（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数，则        .

14.已知的展开式中的各项系数和为4，则项的系数为        .

15.已知在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为        .

16. 设数列满足，记是数列的前项和，则        .     

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. 已知分别是的三个内角所对的边，且满足.

（1）求角的大小；       

（2）设，求的最大值并判断当取得最大值时的形状.

18.4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而获得更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动。校学生会实践部的同学随机抽查了学校的40名高一学生，通过调查他们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如下列联表：

（2）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其数学期望.

参考公式：，其中.

下面的临界值供参考：

（1）若点是的中点，求证：平面；

（2）在线段上确定点的位置，使得二面角的余弦值为.

20.已知椭圆：的离心率，过左焦点的直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为.

（1）求椭圆的方程；    

（2）椭圆长轴的左右两端点分别为，点位椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，试问的外接圆是否恒过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

21.已知函数.

（1）当时，求函数的最大值； 

（2）设函数，若对任意都有成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交于点.

（1）证明：；

（2）若，求的值.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点，直线与曲线相交于两点，求的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

2016年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）

理科数学参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

13．；         14．160；         15．；         16． 

三、解答题：本大题共6个题，共70分．

17．解：（1）由正弦定理得，，

（2）

，

由得，当时，取得最大值，此时为直角三角形.

18．解：（1）计算随机变量的观测值得，故有的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系.

（2）的可能取值为0，1，2

；；.

的分布列为

19．（1）证明：取的中点，连接，.

则又从而平面，所以取的中点，连接.由为中点，得四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，，所以平面.

（2）解：由平面平面得平面，故以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，由已知得，，，，设平面的法向量为，由，得，

，则.

设（），则，从而，，设平面的法向量为，则由，

则，所以，解得.故当点是的中点时，二面角的余弦值为.

20．解：（1）由离心率得，，，则椭圆的方程为.设点，联立，得，则，又 ，解得，故椭圆的方程为.

（2）设点，直线的斜率分别为，则，又直线的方程为，令得，，直线的方程为，令得， ，则，故的外接圆的直径为，设圆与轴的另一个交点为，则，解得或（舍去），故过三点的圆是以为直径的圆，过轴上不同于点的定点.

21．解：（1）当时，，，当时，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值.

（2）由函数得，，由（1）知，当时，，即不等式对任意恒成立.

①当时，，即函数在上单调递减，从而，满足题意；

②当时，存在，使得，

从而，即函数在内单调递增，故存在，使得，不满足题意.

综上，实数的取值范围是.

请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（1）证明：延长至，连接，使得.因为，所以，又，所以

又因为是的角平分线，故，则∽，所以，又，所以.

（2）解：∵是的角平分线，，∴，所以，由圆的割线定理得，，∴，，∴.

23.解：（1）由得曲线的直角坐标方程为.

在直线的参数方程中，用代入法消去参数，得直线的普通方程为.

（2）直线的参数方程为（为参数）代入，得，设点对应的参数分别为，则，∴.

24．（1）当时，不等式可化为

或或，解得或或，故不等式的解集为.

（2）当时，(时取等号)，则，不等式的解集为空集等价于，解得，故实数的取值范围是.