武大2011-2012高数上期末考试题解

1．设，求。

解：。记。

。，

。

2．求。

解： 

。

3．已知，求的值。

解：，

。

，。

4．计算不定积分。

解： 

。

5．求定积分。

解： 

6．求解常微分方程。

解：。。令。。

。

原方程的通解：。

7．设，求的值使得在处连续，并用导数定义求。

解：时在处连续。

二、（5分）设，证明没有极限。

证：。故没有极限。

三、（10分）设满足方程，其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合，求。

解：。

特征方程的根：。的通解

，是特征方程的单根。设的特解为。

的通解：。

四、（11分）已知函数，求函数的增减区间、凸凹区间、极值、拐点和渐近线。

解：求导

故，函数的增区间：；减区间：；上凸区间：；下凸区间：；极大值：；极小值：；拐点：。

无垂直渐近线。

。只有一条渐近线：。

五、（10分）求曲线所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕轴转一周所得的旋转体的体积。

解：。

六、（8分）设在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得。

证：记。则在上连续，在内具有二阶导数。

设在内相等最大值的最大值点分别是。如果，取；如果，取。则。设且。则，。由于在上连续，根据零点存在定理，存在使得。任意情况下都存在使得。

。根据罗尔定理，存在使得。在上连续。又根据罗尔定理，存在使得，即。