数学必修五数列知识点解题技巧

一数列的概念 

1）数列的前项和与通项的公式①；  

2）数列的分类：①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.

一、等差数列                                                             

1）通项公式，为首项，为公差。前项和公式或.

2）等差中项：。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.

4）等差数列的性质：

    ⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.

⑶；(,是常数)；(,是常数，)

⑷若，则；

⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；

⑹当项数为，则；

 当项数为，则.

     (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；

     (8)设，，，则有；

     (9) 是等差数列的前项和，则；

     (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则

　　        ①．为等差数列，公差为；

　　　　   ②．（即）为等差数列，公差； 

　　　　   ③．（即）为等差数列，公差为. 

二、等比数列                                                                     

1）通项公式：，为首项，为公比 。前项和公式：①当时，②当时，.

2）等比中项：。；

3）等比数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.

4）等比数列的性质：

⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；

  （2）

  （3）若，则；

  （4）若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.

   （5）设，是等比数列，则也是等比数列。

　（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

　（7）设是正项等比数列，则是等差数列；

　（8）设，，，则有；

　（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则

　　①．为等比数列，公比为；

②．（即）为等比数列，公比为；

三、解题技巧：                                                                   

A、数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）

即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和（其中等差）。可裂项为：，

B、等差数列前项和的最值问题：

1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。

（ⅰ）若已知通项，则最大；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；

2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值

（ⅰ）若已知通项，则最小；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；

C、根据递推公式求通项：

1、构造法：

　1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解

　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.

　2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解

　【例题】，求数列的通项公式.

　3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解

　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.

　4°递推关系形如",两边同除以

　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.

　【例题】数列中，，求数列的通项公式.

2、迭代法：

　a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；

【例题】已知数列中，，求数列的通项公式 

  b、已知关系式，可利用迭乘法.

【例题】已知数列满足：，求求数列的通项公式；

3、给出关于和的关系

 【例题】设数列的前项和为，已知，设，

求数列的通项公式．