傅里叶变换在滤波技术中的应用 3

铜陵学院课程论文

论文题目：傅里叶变换在信号处理中的运用

                         铜陵学院

2013 年 6 月  22

傅里叶变换在滤波技术中的应用 

1.1    滤波的概念 

利用电路容抗或感抗随频率变化的特性， 对不同频率的输入信号产生不同的 响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这 一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。 设滤波器的输入 x(t ) ，输出 y (t ) ，则有滤波器系统的输入关系如下： x (t ) ? h (t ) = y (t ) (5) 由时域卷积定理知，式 5 可转换为 X (ω ) H (ω ) = Y (ω ) CFT CFT CFT 其中： x(t )  X (ω ) ， y (t )  Y (ω ) ， h(t )  H (ω ) → → → (6) 由式 6 知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研 究，进行频谱分析提供了可能。又由式 6 知 H (ω ) = Y (ω ) / X (ω ) (7) 其中 H (ω ) 称为系统函数， 可完全表征系统的性质和特征。 因此， 若已知输入 x(t ) 及要求的输出 y (t ) ，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤 波系统，从而满足适当地满足实际需要。 

1.2     理想选择性滤波器 理想选择滤波的频率特性,具有对某个频率范围内的复指数信号 e jω t 或 正弦信号 cos(ωt ) 能无失真地通过，在频率范围之外则给予彻底抑制。通常把信 号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通 带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的位置不同，可分为低通 滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器，它们是信号和系 统分析中重要的基本系统。 4 1、理想低通滤波器 理想低通滤波器是指能使某频率范围内的信号无失真的通过， 而高于一定频 率值的信号完全抑制的滤波器，其系统函数 H L (ω ) 为 1， H L (ω ) = 0， ω < ω0 (8) ω > ω0 其中， ω0 是理想低通滤波器的截止频率。频谱如图 1 所示。 图 1 理想低通滤波器的频谱 2、理想高通滤波器 理想高通滤波器与理想低通滤波器相对应， 是指使高于某个频率值的信号无 失真的通过而低于该频率的信号则完全抑制，其系统函数 H H (ω ) 为 1， ω > ω0 H H (ω ) = 0， ω < ω0 其中， ω0 是理想高通滤波器的截止频率。频谱如图 2 所示。 (9) 图 2 理想高通滤波器频谱图 3、理想带通滤波器 理想带通滤波器是一个允许特定频段的信号波通过同时屏蔽其他频段的滤 波器，其系统函数 H B (ω ) 为 5 1 ， ω1 < ω < ω2 H B (ω ) = 0， ω > ω2 或 ω < ω1 其中, ω1 称带通滤波器的低通截止频率, ω2 称带通滤波器的高通截止频率。频率 响应如图 3。 （10） 图 3 理想带通滤波器频谱图 4、理想带阻滤波器 、 理想带阻滤波器与理想带通滤波器相对应是指衰减或抑制某一频率范围内 的信号,而允许此频率范围以外的频率的信号通过的滤波器，其系统函数 H B (ω ) 为 0， ω1 < ω < ω2 H B (ω ) = （11） 1， ω > ω2 或 ω < ω1 频率响应如图 4 示。 图 4 理想带阻滤波器频谱图 3.3 系统的物理可实现性 为了简单，理想滤波器通常都定义成频域上具有实的和单位幅度的频率响 应，且有零相位特性。实际上，上述所有理想滤波器的频率响应再乘 e ? jω t0 ，仍 6 能让处于通带内的信号无失真地通过，并完全抑制通带外的信号。根据傅里叶变 换的时移性质，乘线性相移因子 e ? jω t0 ，只是使信号产生一个时间滞后 t0 ，它们 仍然是理想滤波器。为了和上述的零相位理想滤波器相区别，也可把具有线性相 位理想滤波器。 但是实际上，没有真正意义的理想滤波器。实际的滤波器无法完全过滤掉所 设计的允许通过的频率范围之外的频率的波。例如，在理想通带边界有一部分频 率衰减的区域，不能完全过滤，这一曲线被称作滚降斜率(roll-off)。滚降斜率 通常用 dB 度量来表示频率的衰减程度。一般情况下，滤波器的设计就是使这过 渡带尽可能的窄，以便该滤波器能最大限度接近理想通带的设计。 就时域特性而言，一个物理可实现系统必须是因果的即它的单位冲激响应 h(t ) 在 t<0 时必须为零。从频域特性来看，如果 H (ω ) 满足平方可积的条件，即 ∞ ?∞ ∫ H (ω ) d ω < ∞ 2 （12） 图 5 实际带通滤波器幅度特性 4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用 在许多工程问题中，调制与解调的概念起着十分重要的作用，并有广泛的应 用。所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量，产生已调制信号， 其实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围。在几 乎所有实际通信系统中，信号从发送端到接收端，为实现有效、可靠和远距离的 信号传输，都需要调制和解调。比如无线通信。调制过程将信号频谱搬移到任何 7 所需的较高频率范围，这就容易以电磁波形式辐射出去。 调制的目的是把要传输的模拟信号或数字信号变换成适合信道传输的 信号，这就意味着把基带信号（信源）转变为一个相对基带频率而言频率 非常高的代通信号。该信号称为已调信号，而基带信号称为调制信号。调 制可以通过使高频载波随信号幅度的变化而改变载波的幅度、相位或者频 率来实现。调制过程用于通信系统的发端。在接收端需将已调信号还原成 要传输的原始信号，也就是将基带信号从载波中提取出来以便预定的接受 者（信宿）处理和理解的过程。该过程称为解调。 从另一方面讲，如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么各 电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所要接受的 信号。解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号，实质是把各种信 号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，也即信号分别依附于不 同频率的载波上，接收机就可以分离出所需要频率的信号，不致互相干扰。 

2.1     调制与解调的原理 在无线电技术中，将一个称为载波的高频电振荡（电流、电压）的参数（振 幅、频率、相位）按照欲传输的信号的特征变化的过程称为调制。低频信号（指 欲传输的信号）辐射效率低，不能直接用于发射，调制的目是借助于高频电振荡 将低频信号连带传送出去。 不同的低频信号可以附载在不同频率的高频电振荡上 同时传送，这样就可以充分利用无线电频谱同时传输许多路广播信号，而且它们 之间不会相互干扰。根据高频载波的振幅、频率或相位随低频信号变化的特点， 调制相应地分为调幅、调频或调相。此外，如果先用信号去调制脉冲序列的参数 （脉冲幅度、脉冲宽度或脉冲位置等） ，再用这组经过调制的脉冲序列去调制一 个高频正弦波载波，这种调制方式称为脉冲调制。 解调是调制的反过程，指将已调信号恢复为原始信号的过程。目前使用的解 调方法有相干解调和非相干解调。 这些方法能有效地解调出调制信号的全部特征 （幅度、频率、初相位） 。 

 2.2    正弦调制过程 载波信号为 cos(ω0t ) ,它的傅里叶变换是 F[ cos(ω0t ) ]= π [ σ (ω + ω0 ) + σ (ω ? ω0 ) ] (13) 调制信号为 g (t ) ，其频谱为 G( ω ),占据- ω0 至 ω0 的有限频带，将 g (t ) 与 cos(ω0t ) 进行时域相乘便可得到已调信号 f (t ) ,如式（14）示： f (t ) = g (t ) cos(ω0t ) (14) 对上式进行傅里叶变换并由傅里叶变换的时域卷积性质得： F[ f (t ) ]= F (ω ) =(1/2 π ) G (ω ) * π [ σ (ω + ω0 ) + σ (ω ? ω0 ) ] =1/2[ G (ω + ω0 ) + G (ω ? ω0 ) ] (15) 由此，信号 g (t ) 的频谱 G (ω ) 被搬移到 ω0 附近，实现了频谱的搬移。频谱搬移过 程实现过程如图 6 示： 图 6 调制原理方框及其频谱 9 

2.3      相干解调 设 cos(ω0t ) 信号是接收端的本地载波信号， 它与发送端的载波同频同相。f (t ) 与 cos(ω0t ) 相乘的结果使频谱 F (ω ) 向左、右分别移动 ω0 (并乘以系数 1/2)，得到 频谱 G0 (ω ) ,也可以从时域的相乘关系得到解释： g 0 (t ) =[ g (t ) cos(ω0t ) ] cos(ω0t ) =1/2 g (t ) +1/2 g (t ) cos(2ω0t ) F[ g 0 (t ) ]= G0 (ω ) =1/2 G (ω ) +1/4[ G (ω + 2ω0 ) + G0 (ω ? 2ω0 ) ] （16） （17) 再利用一个适当低通滤波器，滤除在频率位 2ω0 附近的分量，即可取出 g (t ) ,完 成解调。解调过程如图 7 示。 图 7 相干解调方框图及频谱 这种解调器称为相干解调（或同步解调） ，需要在接收端产生与发送端频率 相同的本地载波，这将使接收机复杂化。为了在接收端省去本地载波，可采用如 下方法。在发射信号中加入一定强度的载波信号 A cos(ω0t ) ,这时，发送端的合成 10 信号为[A+ g (t ) ] cos(ω0t ) ,如果 A 足够大， 对于全部 t,有 A+ g (t ) >0,于是已调信号 的包络检波器，即可提取包络，恢复 g (t ) ,不需要本地载波。此方法可降低接受 机的成本，但付出的代价是要使用价格昂贵的发射机，因为需提供足够强的信号 A cos(ω0t ) 之附加功率。 在此种调制方法中， 载波的振幅随信号 g (t ) 成比例地改变， 因而称为“振幅调制”或“调幅（AM） 。也可以控制载波的频率或相位，使它们 随信号 g (t ) 成比例地变化，它们的原理也是使 g (t ) 的频谱 G (ω ) 搬移。 5.傅里叶变换在抽样技术中的应用 数字电子技术的迅速发展，尤其是计算机在自动控制、自动检测以及许多其 他领域中的广泛应用，使得用数字技术处理模拟信号的情况也更加普遍了。在通 信系统中，利用已有的数字技术处理模拟信号，不仅可以使模拟信号的传输更加 简化，而且能保证传输的准确性。而利用数字技术处理模拟信号，首先得将模拟 信号数字化。利用抽样可以将模拟信号数字化。 通过傅里叶变换可以知道：一定条件下，一个连续时间信号或离散序列均可 惟一地用其等间隔的样本值来表示，这种表示是完全和充分的。换言之，这组等 间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息， 且原信号可以由这组样本值完全 恢复出来。 

3.1     理想抽样 一般地说，在没有任何附加条件下，不能指望一个连续函数都能惟一地由其 一组等间隔的样本值来表征，因为在给定的等间隔时间点上，有无限多个信号都 可产生一组相同的样本。 然而， 如果是带限的连续时间信号， 且样本取得足够密， 那么该信号就能惟一地由其样本值来表征，且能从这些样本值完全恢复出原信 号。 设原连续时间信号 x(t ) 是一带限于 ωm 的连续时间带限信号，即 F[ x(t ) ] = X (ω ) , 且 X (ω ) = 0 ， ω < ωm (18) 11 如果抽样间隔 Ts 满足： Ts < π ωm 或 ωs = 2π > 2 ωm Ts (19) 则 x(t ) 就惟一地由其样本值{x(n Ts ),n = 0, ± 1, ± 2……}所确定。 抽样脉冲信号 p (t ) 是一冲激信号，即 p (t ) = δ Ts (t ) = ∑ δ (t ? nTs ) ?∞ ∞ (20) 其时域波形及频谱如图 3.1.2 示。 已抽样信号 x p (t ) 也是一个冲激串，每个冲激的强度等于 x(t ) 以 Ts 为间隔的 样本值。即 x p (t ) = ∑ x ( nTs )δ (t ? nTs ) ?∞ ∞ (21) 它是通过图 8 所示的理想抽样来实现的。带限信号 x(t ) 与周期 Ts 的冲激串 p (t ) 相 乘，便可得到已抽样信号 x p (t ) ,即 x p (t ) = x (t ) p (t ) (22) x(t ) 相 乘 x p (t ) p (t ) 图 8 理想抽样系统方框图 图 9（a）中画出了对某个 x(t ) 理想抽样的时域波形。利用傅里叶变换可以在 频域中直观观察该理想抽样过程。图 9(b)画出了上述过程的频谱。 抽样脉冲信号 p (t ) 的频谱为 P(ω ) = 2π Ts ∑ δ (ω ? nω ) ?∞ s ∞ (23) 利用频域卷积性质，可得 x p (t ) 的频谱 X p (ω ) 为 12 X p (ω ) = 1 ? ∞ ? X (ω )* ?ωs ∑ δ (ω ? nωs ) ? 2π ? ?∞ ? = 1 Ts ∑ X (ω ? nω ) ?∞ s ∞ (24) 。 上示表明 x p (t ) 的频谱 X (ω ) 是的周期复制并乘以（1/ Ts ） 图 9（a）冲激串抽样时的信号波形 （b） 相应信号的频谱。

3.2     抽样的恢复 由图 9 中可以看出，如果抽样频率 ωs 不小于 2 ωm ，已抽样信号的频谱 X (ω ) 是无重叠地周期重复。只要满足 19 式的条件，从频域上看， X (ω ) 如实地在抽样 频率 ωs 的整数倍频率上重现，因此，可以用一个低通滤波器，把 x(t ) 从 x p (t ) 中 完全恢复或重建出来。该低通滤波器的频率响应 H L (ω ) 为 Ts ， ω < ω0 H L (ω ) = 0， ω > ω0 其中， ω0 是理想低通滤波器的截止频率。频率响应如图 10 所示。 (25) 13 为讨论方便，取相位特性为零，Ts 是抽样脉冲序列的周期。 图 10 低通滤波器 H(w)的频谱图 滤波器冲激响应 h(t ) 表达式为 h(t ) = Ts ω0 Sa( ω0t ) π (26) 若已抽样信号?s(t)为 ?s(t)= ∑ f (nTs )δ (t ? nTs ) ?∞ ∞ (27) 利用时域卷积关系可求得输出信号，即原连续时间信号?(t) ?(t)= ?s(t)* h(t ) = ∑ f (nTs )δ (t ? nTs ) * Ts ?∞ ∞ ω0 Sa( ω0t ) π (28) = Ts ω0 π ∑ f (nT ) s ω (t ? nT ) ?∞ s a 0 s ∞ 式 28 表明，连续时间信号 f (t ) 可展开成 Sa 函数的无穷级数，级数的系数等于抽 样值?(nTs)。也可以说在抽样信号?s(t)的每个抽样值上画有一个峰值为?(nTs) 的 Sa 函数波形， 由此合成的信号就是?(t)。 按照线性时不变系统的叠加性,?s(t) 通过理想低通滤波器时，抽样序列的每个冲激信号产生一个响应，将这些响应叠 加就可以还原?(t)，从而达到由?s(t)恢复?(t)的目的。 

3.3     零阶抽样保持 设 f (t ) 是原连续时间信号, p (t ) 为抽样脉冲序列, f s0 (t ) 是已抽样信号，它们 波形图如图 11 所示。在抽样瞬间，脉冲序列 p (t ) 对 f (t ) 抽样，保持这一样本值 14 直到下一个抽样瞬时为止，由此得到输出信号为已抽样信号 f s0 (t ) 具有阶梯状。 f s0 (t ) 经传输到达接收端后需要恢复出 f (t ) 信号， f s (t ) = f (t ) ∑ δ (t ? nTs ) ?∞ ∞ （29) Fs (ω ) =1/ Ts ∑ F (ω ? nω ) ?∞ s ∞ （30) 式中 Ts 为抽样周期， ωs =2 π / Ts 是重复角频率， F (ω ) 是?(t)的频谱。 f(t) 零阶抽样保持系统 fs o p(t) 图 11 零阶抽样保持框 f(t) fs(t) t p(t) Ts t fso t 图 12 零阶抽样保持波形 设零阶保持系统的系统函数为 h0 (t ) ，即 h0 (t ) =u(t)-u(t- Ts ) 15 (31) 其波形图如图 13 示。 1 fs(t) fso(t) 图 13 系统函数 h（t）的波形 则输出信号 f s0 (t ) 可表示如下： f s0 (t ) = ?s(t)*ho(t) （32) 式中 h0 (t ) 的傅里叶变换式为 F[ h0 (t ) ]= Ts Sa(ωTs/2) e ? jωTs / 2 由频域关系式： Fs 0 (ω ) = F[ f s0 (t ) ] Fs 0 (ω ) = Fs (ω ) ?F[ h0 (t ) ] （33） =∑F(w-n ωs ) Sa(ω Ts /2) e ? jωTs / 2 (34) 可以看出，零阶抽样保持信号 f s0 (t ) 的频谱的基本特征仍然是 F(w)频谱以 ω s 周期 重复，但是要乘上 Sa(ω Ts /2)函数，还附加了延时因子项 e ? jωTs / 2 。当 F(w)频带 受限且满足抽样定理时，在接收端引入具有如下补偿特性的低通滤波器 e jωTs /2 /Sa(ω Ts /2), (|w|≤ ωs /2) Hor(w)= 0 , (|w|≥ ωs /2) （35） 图 14 补偿低通特性 16 它的幅频特性| Hor(w)|和相频特性 φ (ω ) 曲线如图 14 示。当 f s0 (t ) 信号通过此补 偿滤波器后，即可恢复出原信号?(t)。从频域解释，将 Fs 0 (ω ) 与 Hor(w)相乘， 得到 F(w)。 一般情况下，在通信系统中，只要求幅频特性尽可能的满足补偿要求，而相 频特性只要满足线性相移特性即可。 6.频分复用与时分复用 将若干路信号以某种方式汇合，统一在同一信道中传输称为多路复用。复用 技术已经渗透到我们日常生活当中。像手机，它能够接受音频、视频等不同频率 的信号，就离不了复用技术的应用。在近代通信系统中普遍采用多路复用技术。 多路复用技术主要有频分复用和时分复用两种。 频分复用是指用正弦幅度调制把各种信号的频谱搬移， 使它们互不重叠地占 据不同的频率范围，也即信号分别附载于不同频率的载波上，这样就可以用同一 信道传输。在接收端利用若干滤波器就可以将各路信号分离，再经解调即可还原 为各路原始信号，图 15 示出频分复用原理方框图。通常，相加信号?(t)还要进 行第二次调制，在接受端将此信号解调后再经带通滤波器分路解调。 时分复用的理论依据是抽样定理。由抽样定理可知，频带受限于- ?m～+?m 的信号， 可由间隔为 1 从这些瞬时抽样值可以恢复原始 f m 的抽样值惟一地确定。 2 的连续信号。因此，允许只传送这些抽样值，信道仅在抽样瞬间被占用，其余的 空闲时间可供传送第二路、第三路…… 等各路抽样信号使用。将各路信号的抽 样值有序地排列起来就可以实现时分复用，在接收端，这些抽样信号值由适当的 同步检测器分离。当然，实际传送的信号并非冲激抽样，可以占有一段时间。图 16 示出两路抽样信号有序地排列经同一信道传输（时分复用）的波形。 对于频分复用系统， 每个信号在所有时间里都存在于信道中并混杂在一起。 但是， 每一信号占据着不同的频率区间， 此区间不被其他信号占用。 在时分复用系统中， 每一信号占据着不同的时间区间，此区间不被其他信号占用，但是所有信号的频 谱可以具有同一频率区间的任何分量。从本质上讲，频分复用信号保留了频谱的 17 个性，在时分复用信号中保留了波形的个性。由于信号完全由其时间域特性或完 全由其频率域特性完全确定，因此，在接收机里总是可以在相应的域内应用适当 的技术将复用信号恢复分离。