抛物线基础习题训练

1.抛物线的焦点是________，准线方程是__________．

【答案】（0，-2）；  ，

【解析】可化为，

 所以其焦点坐标为（0，-2），准线为．

2．已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．（　  ）

A.  x2＝y　　　　    B. y2＝x            C. y2＝4x　　　 　 D. y2＝x或x2＝y 

【答案】D；

【解析】设抛物线为y2＝2px(p>0)或x2＝2My(M>0)，把(1，1)代入得1＝2p或1＝2M，∴p＝或M＝，

∴抛物线方程为y2＝x或x2＝y.

3．抛物线过点，是其焦点，又定点，那么（ 　 ）

A.　　　　      B. 　　　   　 C.　 　        D .

【答案】C；

【解析】将点的坐标代入，得,

∴抛物线方程为, 焦点，已知, 

∴=.

4. 抛物线的焦点坐标是(　　 )

A.              B.          C.          D. 

【答案】　A；

【解析】∵x2＝My(M<0)，∴2p＝－M，p＝，焦点坐标为，即.

5. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)

A.                  B．1               C．2              D．4

【答案】　C；

【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．

抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝，由题意知，3＋＝4，p＝2.

6.抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为          

【答案】　 

【解析】　设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，

∴x0＝，∴y0＝.

7．以双曲线的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．

【答案】y2＝－20x

【解析】　∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，

又p＝10，∴y2＝－20x. 

8．抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．

【答案】(2，)

【解析】　设抛物线y2＝16x上的点P(x，y)

由题意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x，

∴x＝2，∴y＝.

9.分别求适合下列条件的抛物线方程.

（1）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A（2，3）；

（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.

【答案】（1）或；

（2）或或或；

10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，M)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M的值.

【解析】

设抛物线的方程为y2=-2px，

，

所以抛物线的方程为y2=-8x，

11.点M到直线y+5=0的距离比它到点N(0，4)距离大1，求点M的轨迹方程.

13. 【解析】 法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，则

，

即为所求.

法二：由题知M到直线y=-4的距离等于它到N的距离，

所以M的轨迹是抛物线，焦点为N(0，4)，准线为y=-4，

∴x2=16y

12.若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程．

【答案】

13.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．

【答案】．

14.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝－2x                  B．y2＝－4x

C．y2＝2x                      D．y2＝－4x或y2＝－36x

【答案】　B

15.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．

【解析】∵点M到对称轴的距离为6，

∴设点M的坐标为(x,6)．

∵点M到准线的距离为10，

∴，解得，或，

故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.

当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.

16.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．

【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．

【答案】

【解析】∵点A(－2，4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示，

设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.

由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|.

当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|PA|的值最小，

此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，

故当点P的坐标为)时，|PF|＋|PA|的值最小．

17.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为 (　　)

A．(0，0)　　　　　　B．(1，1) C．(2，2)   D. 

【答案】C

【解析】由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示，

因此，当且仅当点P、A、P′在同一条直线上时，有|PF|＋|PA|＝|PP′|＋|PA|最小，

此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y＝2，

故此时P点坐标为(2，2)．故选C.