华师大版初中八年级数学上册第12章《整式的乘除》教案设计

《整式的乘除》教案设计

12.1 幂的运算

第1课时

教学目标

1、能讲出同底数幂的乘法性质并会用式子表示；

2、能主动探索并判断两个幂是否是同底数幂，并能掌握指数是正整数时底数的幂的乘法；

3、能根据同底数幂乘法性质进行简单的计算；

4、能让学生在已有知识的基础上，通过自主探索，获得幂的各种运算感性认识，进而上升到理性上来获得运算法则.

教学重难点

【教学重点】

同底数幂的乘法性质.

【教学难点】

对同底数幂的乘法的理解.

课前准备

无

教学过程

一、创设情境：

某地区在退耕还林期间，有一块原长m 米，宽a 米的长方形林区增长了n 米，加宽了b 米，用不同的方法表示这块林区现在的面积便可得到一个等式：

()()m n a b ma mb na nb ++=+++

提出问题：

1、扩大后的林区面积是多少？

2、你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？

二、知识回顾：

1、什么叫乘方？

2、n a 表示的意义是什么？

三、计算观察：

1、做一做：3422(222)(2222)⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

提出问题：这道题有什么特点？ 通过本题推导：到m n m n a a a +=（m 、n 是正整数）

概括：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，概括出幂的第一个运算法则。

四、举例应用：

例1、计算

（1）341010⨯ （2）310a ⨯ （3）35a a

五、随堂练习：

Ｐ19 exc1、2

六、课堂小结：

1、同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系。

2、应用时，可以拓展到两个以上

3、运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆。

七、家庭作业：

Ｐ23 exc1

八、每日预题：

1、什么是幂的乘方，它与同底数幂相乘有何区别；

2、如何进行幂的乘方。

九、教学反馈：

12.1 幂的运算

第2课时

教学目标

1、使学生掌握幂的乘方的法则，并能够用式子表示；

2、通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂法则推导出来的，并能利用乘方的法则熟悉地进行幂的乘方运算.

教学重难点

【教学重点】

幂的乘方法则的应用.

【教学难点】

理解幂的乘方的意义.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、什么叫乘方？什么叫幂？

2、口述幂的乘法法则。

二、计算观察：

做一做：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空

（1）3233()(2

)222=⨯= （2）23222(

)(3)3333=⨯⨯= （3）343333()()a a a a a a ==

问题：上述几题有什么共同的特点？

通过对学生对这几题的分析，我们可以得到：

()m n mn a a =，

（m 、n 是正整数） 概括：幂的乘方，等于各个因式乘方的积。

三、举例应用：

例、计算

（1）25(10) （2）

34()b 四、随堂练习：

Ｐ34 exc1、2

五、课堂小结

1、幂的乘方使用范围是：幂的乘方。

2、知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母。

3、幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，一个是“指数相加”。

六、家庭作业：

Ｐ23 exc 2、3

七、每日预题：

1、什么是积的乘方，它与同底数幂相乘、幂的乘方有何区别；

2、如何进行积的乘方。

八、教学反馈：

12.1 幂的运算

第3课时

教学目标

1、使学生理解、掌握和运用积的乘方的法则；

2、使学生通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；

3、让学生通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别.

教学重难点

【教学重点】

积的乘方法则的理解和应用.

【教学难点】

积的乘方法则的推导过程的理解.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、口述同底数幂的运算法则；

2、口述幂的乘方运算法则；

3、计算

（1）25(10) （2）

34()b 二、计算观察：

做一做：（1）2()

ab = （2）4()

ab = （3）5

()ab = 请同学从以上做题中找到他们共同的规律：

积的乘方是幂的第三个运算法则，也是整式乘法的基础，在内容处理上仍然先通过数字指数为例让学生计算，而后引导学生自主探索，讨论交流，归纳出一般性质： ()n n n ab a b = （n 是正整数）

三、举例应用：

例.计算

（1）33(2)b （2） 35(3)x − （3） 3

()a − 四、随堂练习：

Ｐ21 1、2

五、课堂小结：

1、积的乘方使用范围：底数是积的乘方

2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式

3、要注意运算过程

六、家庭作业：

Ｐ23 4、5

七、每日预题：

1、什么是单项式，如何进行合并同类项；

2、单项式的乘法与合并同类项有何异同点；

八、教学反馈：

12.1 幂的运算

第4课时

【知识与能力】

1.经历探索同底数幂的除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；

2.了解同底数幂的除法运算性质，并能解决一些实际问题；

3.经历探究，使学生通过归纳规律猜想出零指数幂的意义，并能在教师引导下说明该意义的合理性.

【过程与方法】

1.通过同底数幂除法运算法则的导出及运用，让学生体会知识具有普遍联系性和相互转化性；

2.通过同底数幂除法运算，培养学生的运算能力；

3.在解决问题过程中，能进行有条理的思考，鼓励学生解决问题策略的多样性.

【情感态度价值观】

1.通过实际问题让学生经历探索过程，体会知识的系统性和完整性；

2.体会在解决问题过程中与他人合作的重要性；

3.通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验.

教学重难点

【教学重点】

同底数幂的除法运算性质.

【教学难点】

利用同底数幂的除法运算性质解决实际问题.

课前准备

无

教学过程

【情境引入】

（多媒体演示）一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?怎样解决这个问题（学生1）：26M=26×210=216K

216÷28=？不懂计算，需要学习同底数幂的除法了。

教师：很好。（开门见山）这是一个同底数幂的除法运算，这让你联想起什么呢？（组织学生思考完成，然后先组内交流（6人小组），接着再全班交流，鼓励学生积极探索，应用数学转化的思想化陌生为熟悉，鼓励学生算法多样化，同样强调算理的叙述．）

【学生活动】完成课本P22“问题”，踊跃发言。

生2：利用除法与乘法的互逆关系，以及利用除法可以约分求出216÷28=28=256．

师：思路很好。不急于让学生上来写出这俩种方法的解题过程。

继续探究

根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律:

55÷53=5( );

107÷105=10( );

a6÷a3=a( ).

生3;分别是 2, 2 ，3师：很好，你们同意吗，有没有其他想法？我可是由一点不明白呢！

大部分学生都说同意，没什么异议了（期待老师的疑问）

师：我不明白为什么是这个结果？

生3：用课本的法则的指数5-3=2，7-5=2,6-3=3底数都不变。

生4：抢着说，还还没能用呀，应该是用乘法于除法誉为逆运算来解决的，因为

52*53=55， 102*105=107 a3*a3=a6

生5 ：还可以是利用除法是可以约分的，5*5*5=5*5*5*5*/5*5*5=52

10*10*10*10*10*10*10/10*10*10*10*10=10*10=102 下面的同理可得。

师：大家都说得非常好！于是我们有同底数幂除法法则是什么呢？

生：一般地，我们有

an÷am=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n).

即同底数幂相除，底数不变，指数相减.

教师：组织学生讨论为什么规定a≠0？

生5：除数不能为0，否则梅意义了。

师：说得真好。现在我们来用法则解题

(多媒体)

例1 计算:

（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；

（3）(ab) 5÷(ab)2；（4）（-a）7÷（-a）5

（5） (-b)5÷(-b)2

学生活动：学生在练习本上完成例l，由5个学生板演完成之后，由学生判断板演是否正确．

师：统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．有什么注意问题吗？

生6：例1（4）中底数为（－a），（5）中底数为（－b）（3）中底数为（ab），计算过程中看做整体进行运算，最后进行结果化简

师;太棒了。下面继续进行探究特殊性质，课本P160“探究”题．

分别根据除法的意义填空，你能得什么结论?

（1）32÷32= ( )=（）;

（2）103÷103= ( )=（）;

am÷am=( )=（） (a≠0).

生7：（1） 1 30（2） 1 100（3）1 a0

（教室里响起了一阵热烈的掌声）

生8：同学们都很聪明，都做得比较好，老师很高兴。

（教师在黑板写下）规定

a0 = 1 (a≠0).

即任何不等于0的数的0次幂都等于1

am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n).

【课堂练习】（热身练习）

1.填空:

(1)a5•( )=a7; (2)m3•( ) =m8;

(3) x3•x5•( ) =x12 ;(4)(-6)3( ) = (-6)5.

学生活动：由学生口答，并说出理由。

2.计算:

(1) x7÷x5; (2) m8÷m8;

(3) (-a)10÷(-a)7; (4) (xy)5÷(xy)3.

学生活动：由学生在练习本写过程，然后在组内互阅。教师给出答案核对。

3.下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?

（1）X6÷x2=x3; (2) ÷=6;

a3÷a=a3; (4)(-c)4÷(-c)2=-c2.

学生活动：此练习以学生抢答方式完成，注意训练学生的表述能力，以提高兴趣．

提高练习（例题的变形练习）

（1）311÷ 27；（2）516 ÷ 125.

（3）(m-n)5÷(n-m)；

（4）(a-b)8 ÷(b-a) ÷(b-a).

师：大家做练习较好，又对又快。现在谈谈你今天这节课的收获

生10：（1）同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

a0 = 1(a≠0)

即am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n））

……

（老师强调“不变”、“相减”．学生谈体会，不仅是对本节知识的再现，同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力．）

【教学反思】

同底数幂的除法的主要内容是根据除法是乘法的逆运算，从计算具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的字母，逐步归纳出同底数幂除法的法则，并运用法则熟练、准确地进行计算。本节课是在学习了同乘方、积的乘方的基础上进行的，它们构成一个有机整体，为后续的整式除法的学习打下基础，并且同底数幂的除法在今后的物理、化学、生物学课中常得以应用。本节课的学习对于学生来说，无论在知识上，还是类比学习能力和抽象思维能力的培养上，都起着不容忽视的作用。

12.2 整式的乘法

第1课时

教学目标

1、让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则；

2、使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数幂和不同底数幂的因式；

3、让学生感知单项式法则对两个以上单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式.

教学重难点

【教学重点】

对单项式运算法则的理解和应用.

【教学难点】

尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、口述幂的三个法则；

2、幂的运算的三个法则的联系和区别；

二、计算观察：

做一做：计算3225x x

通过上题的计算，启发引导学生归纳得出：

1、系数相乘作为积的系数；

2、相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加；

3、只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一项

4、单项式与单项式相乘积仍是单项式。

三、举例应用：

例. 计算

（1） 233(2)x y x − （2）232(5)(4)a b b c −−

四、创设情境：

问题讨论：

1、a a 可以看作是边长为a 的正方形的面积，a ab 可以做怎么样的理解；

2、其他的，请你举出例子。

五、随堂练习：

Ｐ77 exc1、2、3

六、课堂小结：

1、本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上，请问：你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？

2、在应用单项式乘以单项式运算法则时，应注意什么？

六、家庭作业：

Ｐ80 exc1、2

七、每日预题：

1、去括号法则是什么，如何去括号？

2、对单项式与多项式的乘法，应注意什么？

八、教学反馈：

12.2 整式的乘法

第2课时

教学目标

1、让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算规律，总结运算法则；

2、认识到单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，积的项数与因式中多项式的项数是相同。

3、使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的运算.

教学重难点

【教学重点】

掌握单项式乘以多项式的运算方法.

【教学难点】

对单项式乘以多项式法则的理解和领会.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、口述单项式乘以单项式的法则

2、计算：

（1） 233(2)x y x − （2）232(5)(4)a b b c −−

3、什么叫做多项式

二、计算观察：

做一做：计算：232(35)a a b −

让学生通过主动探索体验单项式乘以多项式的乘法运算规律：单项式乘以多项式， 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、举例应用：

例、 计算（1） 223(2)(35)a

ab ab −− （2）化简222213()10()3

x xy y x x y xy −−−− 四、随堂练习：

Ｐ78 exc1、2

五、课堂小结：

1、单项式乘以多项式法则：单项式乘以多项式，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

2、单项式乘以多项式相乘，应注意“不漏乘”“符号”；

六、家庭作业：

P80 exc3、4、5

七、每日预题：

1、如何确定多项与多项式相乘后的项数；

2、多项与多项式相乘中应注意什么，如何运算？

八、教学反馈：

12.2 整式的乘法

第3课时

教学目标

1、使学生理解多项工乘多项式的法则；

2、通过导图中的问题理解多项式与多项式相乘的结果；

3、能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练地进行多项工式的乘法运算的目的.

教学重难点

【教学重点】

多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用.

【教学难点】

多项式乘以多项式的法则的正确应用.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、口述单项式乘以多项式相乘法则

2、计算：()()m a b n a b +++

二、创设情境：

本章导图问题：

某地区在退耕还林期间，有一块原长m 米，宽a 米的长方形林区增长了n 米，加宽了b 米，用不同的方法表示这块林区现在的面积便可得到一个等式：

()()m n a b ma mb na nb ++=+++

概括法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的和相加。

三、举例应用：

例1. 计算

（1）(2)(3)x x +−

（2）(31)(21)x x −+

例2. 计算

（1）(3)(7)x y x y −+

（2）(25)(32)x y x y +−

四、课堂小结：

1、多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利

用乘法分配律来理解()()m n a b ma mb na nb ++=+++相乘的结果，导出多项式乘法的法则

2、在应用法则时应注意对相乘的两个多项式一般要先进行整理。

五、家庭作业：

Ｐ80 6、7

六、每日预题：

1、什么是公式，公式对运算有何好处；

2、平方差公式的特点是什么，应在何种情况下应用。

七、教学反馈：

12.3 乘法公式

第1课时

教学目标

1、使学生从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和乘以它们的差这一乘法公式，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法的辩证思想；

2、使学生掌握两数和乘以它们的差的公式的结构，并能正确地运用.

教学重难点

【教学重点】

掌握两数和乘以它们的差的结构特征.

【教学难点】

正确理解两数和乘以它们的差的公式意义.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、口述多项式与多项式相乘法则；

2、计算：

（1）

(2)(3)x x +− （2）(31)(21)x x −+ （3）(3)(7)x y x y −+ （4）(25)(32)x y x y +−

二、计算观察： 1、做一做，计算

()()a b a b +− 2、概括：两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差；

三、举例应用：

例1计算：

（1）

(3)(3)a a +− （2）(23)(23)a b a b +−

例2计算：19982002⨯

例3 街心花园有一块边长为a 米的正方形草地，经统一规划后，南北向加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草地的面积是多少

四、随堂练习:

P82 1、2、3

五、课堂小结：

1、本课内容，两数和与它们的差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式的性质；

2、应用本节课公式应满足：找出公式中的第一个数，第二个数，两数和乘以这两数差。

六、家庭作业：

Ｐ84 exc1

七、每日预题：

1、完全平方公式与平方差公式有何各自的特点；

2、在什么情况下才能使用完全平方公式。

八、教学反馈：

让学生实际参与，自主探索，自己总结，引发他们学习的兴趣，激发他们自己学习的动力，培养自己学习的习惯。

让学生由特殊值的计算规律推广到一般值的计算规律，培养了他们的归纳思想。

教师从学生学习的传授者真正变为学生学习的合作者，在讲新知识时，只是起引导和提示的作用，真正的知识点，则由学生自己得出，这样，既加深学生对知识的印象，也增强了他们学习的兴趣。

12.3 乘法公式

第2课时

教学目标

1、使学生理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算；

2、培养学生探索能力，和概括能力，体会数形结合的思想.

教学重难点

【教学重点】

掌握两数的平方这一公式的结构特征.

【教学难点】

对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义.

课前准备

无

教学过程

一、知识回顾：

1、口述多项式乘以多项式法则；

2、计算

（1）(21)(34)x x −− （2） (53)(53)x x ++

二、计算观察：

做一做，计算2()a b +

经过计算，可总结出：两数和的平方的计算规律，得到公式：222()

2a b a ab b +=++，即：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。

三、举例应用：

例1 计算

（1） 2(23)a b + （2）2(2)2b a

+ 例2 计算

（1） 2()a b − （2） 2(23)x y −

四、随堂练习：

Ｐ84 1、2、3、4

五、课堂小结：

1、本节课学习了222()2a b a ab b ±=±+，两个乘法公式，在应用时要了解公式的特征。记住每一个公式左右两边的特征，记准指数和系数的符号；掌握公式的意义；弄清公式的变化形式；注意公式在应用中的条件；应灵活地应用公式来解题

2、通过本节课的学习，使学生体会到数形结合的数学思想。

六、家庭作业：

Ｐ84 1、2、3、4

七、每日预题：

1、请举例说明乘法的分配律的逆运算；

2、对于一个可分解数，如何进行因数分解。

八、教学反馈：

12.4 整式的除法

第1课时

教学目标

【知识与能力】

单项式除以单项式的运算法则及其应用.

【过程与方法】

经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程,会进行单项式与单项式的除法运算.

【情感态度价值观】

从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中,体会到成功的喜悦,积累研究数学问题的经验.

教学重难点

【教学重点】

【教学难点】

探索单项式除以单项式法则的过程.

课前准备

无

教学过程

一、创设情景,导入新课

我们知道“先看见闪电,后听到雷声”,那是因为在空气中光的传播速度是3×108 m/s,而声音在空气中的传播速度是3.4×102 m/s.在空气中光速是声速的多少倍?

【教师活动】

如何列式?

【学生活动】

(3×108)÷(3.4×102)?

【教师活动】

引导:∵(3.4×102)×=3×108,∴(3×108)÷(3.4×102)= .

下面讲学习单项式除以单项式.

二、师生互动,探究新知

【教师活动】

观察并填空:

1.问题的提出.

∵3x2y·2xy3=3x3y4

∴6x3y4÷3x2y= ①

6x3y4÷2xy3= ②

分析观察得出:两个单项式相除,只需得及分别相除.

2.再思考:-21a2b2c÷3ab.

大家分析一下此题中对c该怎么办?

【学生活动】

完成填空并及时思考单项式除以单项式的法则,讨论交流并选代表发言.

【教师活动】

在同学们发言基础上归纳:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中出现的字母,连同它的指数一起作为商的一个因式.

三、随堂练习,巩固新知

(1)(6ab2)3÷3ab÷4a;

(2)ab(x+y)8÷[a(x+y)6].

【答案】

(1)(6ab2)3÷3ab÷4a

=216a3b6÷3ab÷4a

=72a2b5÷4a

=18ab5.

(2)ab(x+y)8÷[a(x+y)6]

=3b(x+y)2

=3b(x2+2xy+y2)=3bx2+6bxy+3by2.

四、典例精析,拓展新知

【例1】计算下列各题

(1)(x2y)·(x3y4)÷(x4y3);

(2)(4x n+2y n)2÷[(-xy)2]n(n为正整数).

【分析】

单项式的乘除混合运算从左到右,按法则计算,有乘方先算乘方.

【答案】

(1)2xy2;(2)16x4.

【教学说明】

通过单项式的乘除混合运算进一步巩固单项式乘除的法则,提高基本运算能力.

【例2】

若等式( )÷4n=62n成立,则括号内的代数式是.

【分析】

根据除法是乘法的逆运算,得( )=62n·4n=62n·22n=122n.

【教学说明】

提高逆向思维能力.

五、运用新知,深化理解

1.若a2m+n b n÷a2b2·a n b=a4b,求m、n的值;

2.计算(2x2y)3·(-7xy2)÷(14x4y3).

【答案】

1.m=1,n=2;

2.-4x3y2.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言基础上教师归纳总结.

单项式相除

【教学反思】

本节课重点是如何运用单项式除以单项式法则,难点是单项式除以单项式法则的推导.在法则推导过程中利用乘法与除法的互逆运算关系,让学生自己发现、归纳,让学生自己知其所以然.为强化重点,通过典例互动探究提高学生运用法则,熟练计算的能力,本节课另外要注意转化的数学思想方法在解题中的运用.

12.4 整式的除法

第2课时

教学目标

【知识与能力】

多项式除以单项式的运算法则及其应用.

【过程与方法】

经历探索多项式除以单项式的运算的过程,会进行多项式与单项式的除法运算.

【情感态度价值观】从探索多项式除以单项式的运算法则的过程中,体会到成功的喜悦,积累研究数学问题的经验.

教学重难点

【教学重点】

多项式除以单项式的运算法则及其应用.

【教学难点】

探索多项式除以单项式法则的过程,及灵活运用此法则解题.

课前准备

无

教学过程

一、创设情景,导入新课

计算下列各式,说说你是怎么想的?

(1)(am+bm)÷m;

(2)(a2+ab)÷a.

【教师活动】

学生有困难时,可提示如(am+bm)÷m,就是要求一个多项式它与m的积是am+bm,∵

(a+b)m=am+bm,∴(am+bm)÷m=a+b,又∵am÷m+bm÷m=a+b,∴(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m. 二、师生互动,探究新知

【教师活动】

am+bm是一个多项式,m是一个单项式,由此你得出了什么法则?

【教师归纳】在学生分组讨论交流的基础上,教师归纳:多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

练一练(1)(6xy+5x)÷x;

(2)(15x2y-10xy2)÷5xy

【答案】

(1)6y+5;(2)3x-2y

【教学说明】

(1)明确解题步骤,步步有据;(2)注意商的符号,防止符号错误;(3)注意化简合并,使计算简便.

三、随堂练习,巩固新知

1.计算(15x2y-10xy2)÷(-5xy)的结果是( )

A.-3x+2y

B.3x-2y

C.-3x+2

D.-3x-2

2.(8a2b2-5a2b)÷4ab= .

3.(3x2y-xy2+2xy)÷xy= .

【答案】

1.A

2.2ab-a

3.6x-2y+4

四、典例精析,拓展新知

【例】计算:(1)[(x+2y)(x-2y)+4(x-y)2]÷6x;

(2)[2(a+b)5-3(a+b)4+(-a-b)3]÷[2(a+b)3].

【分析】

(1)先将被除式化简,再进行除法运算;(2)将(a+b)视为一个整体.

【答案】

(1)x-y;(2)a2+b2+2ab-a-b

【教学说明】

(1)注意整式乘法,特别是乘法公式的灵活运用;(2)整体思想可化繁为简.

五、运用新知,深化理解

已知2x-y=10,求代数式[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y的值.

【答案】

化简得:x-y,值为5.

【教学说明】

对于化简求值题,一般先化简后,再代入求值,本题条件式为一个等式,化简后往往与之有关,再变形后整体代入.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.

1.多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的除法运算法则;先把多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

2.多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同,即被除式有n项,商仍有n项,不要漏项.

3.要熟练地进行多项式除以单项式的运算,必须掌握它的基础运算,幂的运算性质是整式乘除法的基础.

4.符号仍是运算中的重要问题,用多项式的每一项除以单项式时,要注意每一项的符号和单项式的符号.

【教学反思】

本节课多项式除以单项式的法则为多项式乘以单项式探求,在此基础上归纳多项式除以单项式的法则,注意引导学生积极有效的探索.

符号的确定是这一单元极为重要的问题,应引起学生的重视,反复强调,及时反思.另外多项式除以单项式后商的项数与多项式的项数相同;多项式的某一项与单项式相同时,商为1.化简求值问题有时要用整体代入方法.

12.5 因式分解

第1课时

教学目标

【知识与能力】

1、了解因式分解的意义；

2、理解因式分解与整式乘法的相互关系；

3、初步了解，运用提取公因式法分解因式.

【过程与方法】

1、培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力；

2、培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法以及逆向思维的意识和方法.

【情感态度价值观】

1、让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲和学好数学的自信心；

2、感受整式乘法与因式分解之间的对立统一观点，从而向学生渗透辩证唯物主义的认识论的思想，引导学生树立科学的人生观和价值观.

教学重难点

【教学重点】

因式分解的概念及提取公因式法的运用.

【教学难点】

理解因式分解与整式乘法的相互关系，正确提公因式.

课前准备

无

教学过程

（一）创设情景，引出新知

1、思考下面的问题：

每升酸奶在0℃～7℃时含有活性乳酸杆菌220个，在10℃时活性乳酸杆菌死亡了217个，在

12℃时又死亡了219个，那么此时活性乳酸杆菌还剩多少个？

你的列式是

（学生列完式看到如此庞大的乘方可能会不知如何处理。教师就可适时地告诉学生：学完此节课就能解决这个问题。）

2.运用前两节所学的知识填空 1).m(a+b+c)= . 2).(a+b)(a-b)= .

3).(a+b)2= .

3.试一试 填空:

1).ma+mb+mc= m( )

2).a 2-b 2=( )( )3).a 2+2ab+b 2=( )

2 提出问题“你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?”

总结出前三个运算都是整式乘法，

而后三个是整式乘法的逆运算，都是多项式化为几个整式的积的形式。

因此得出本课的教学重点因式分解的定义：

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,这就是因式分解。

（二）探究新知

多项式⎯⎯⎯⎯←⎯⎯⎯→⎯整式乘法因式分解（整式）⨯（整式）⨯……⨯（整式）

判断下列各题是否为因式分解：

1)m(a+b+c)= ma+mb+mc. 不是因式分解，是整式乘法。

2)a2-b2=(a+b)(a-b) 是因式分解，可以看成整式(a+b)与整式（a-b)的积。

3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 不是因式分解，因为最后形式不是积，而是和。

（1）ma+mb+mc=m(a+b+c)

像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法。

（2）a2-b2=(a+b)(a-b )

（3）a2+2ab+b2=(a+b)2

像(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法。

今天就要重点研究一下，因式分解的第一种方法“提取公因式法”。

那么既然叫做提公因式法,那么什么叫做公因式呢?

观察多项式ma+mb+mc，我们发现各项都含有一个相同的因式m，像这样的多项式中各项相同的因式称为公因式。

试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）。

（1） 3a+3b的公因式是3；

（2）-24m2x+16n2x的公因式是 8x；

（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是(a+b)；

(4) 4ab-2a2b2的公因式是2ab。

最后大家一起来总结公因式的特征：

（1）公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数；

（2）公因式中的字母（或因式）是多项式中各项的相同字母（或因式）；

（3）公因式中字母（或因式）的指数取相同字母（或因式）的最小指数。

由此可见公因式都是由三个部分组成的。

（三）例题

例1 把下列多项式分解因式：

（1）-5a2+25a；（2）3a2-9ab。

分析（1）：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：

1、定系数：系数-5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5；

2、定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a；

3、定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1。

所以，-5a2+25a的公因式为5a。

具体解题过程为：

解：（1） -5a2+25a

=5a⋅(-a)+5a⋅5

=5a(-a+5) 把5a提到括号的外面,把剩下的数、字母和符号搬到括号里面，

= -5a(a-5) 再把负号提到括号的外面

(2)解法如上。

思考总结：

解题方法技巧：

(1) 先确定公因式，用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；

(2) 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

（3）为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.

数学病院

把下列多项式分解因式：

（1）12x2y+18xy2；（2）-x2+xy-xz；（3）2x3+6x2+2x。

现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：

甲同学： 乙同学：

解:12x 2y+18xy 2 解:-x 2+xy-xz

=3xy(4x+6y) =-x(x+y-z)

丙同学：

解:2x 3+6x 2+2x =2x(x 2+3x)

你认为他们的解法正确吗？试说明理由。

解法指导：（1）切记：公因式要提完；

（2）当多项式次数最高项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内次数最高项的系数变为正数，注意括号内各项都要变号。

（3）“公因式全提走，留下1把家守”。

（四）强化训练

练习1

把下列多项式因式分解：

（1）3a+3b ；

（2）5x-5y+5z ；

（3） 4a 3b-2a 2b 2 。

解：（1）3a+3b

=3(a+b)

(2) 5x-5y+5z

=5(x-y+z)

(3) 4a 3b-2a 2b 2 =2a 2b(2a-b)

练习2

把下列多项式分解因式：

(1) x n -x n y ； (2) a(x-y)2-b(y-x)

2 练习3.

1、9992+999

解:原式=999×999+999×1

=999×（999+1）

=999×1000

=999000

2、1172592592593515

⨯

+⨯+⨯ 解：原式=117259()3515⨯++ =259

3、已知a+b=5,ab=3,求a 2b+ab 2的值.

答案：15

（五）小结：心得交流：

说说本节课你的收获…

因式分解与整式乘法互逆，体现的是一种逆向思维的过程，掌握好有一定的难度，我们可以在接下来的几节课中继续学习因式分解，慢慢完善思维。

你知道201719

222−−该怎么化简了吗？

（六）布置作业

课堂作业

1、把下列各式分解因式：

(1)12a 2b+4ab

(2)-3a 3b 2+15a 2b 3

(3)15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3

(4)-4a 3b 2-6a 2b+2ab

2、把下列各式分解因式：

(1)6a(m-2)+8b(m-2) (2)(1+x)(1-x)-(x-1)

(3) 225()10()x y y x −+−

3．若x 2＋3x －2＝0，求2x 3＋6x 2－4x 的值.

家庭作业

1、把下列各式分解因式：

（1）nx ny n −+ （2）4246x x − （3）2x xy xz −+−

2、把下列各式分解因式：

（1）26()2()p q p q +−+ （2）()()m a b n b a −−− （3）22()()m m n n n m −−−

（4）332()()x x y y x −−−

3、化简：22011－（﹣2）2010

12.5 因式分解

第2课时

教学目标

【知识与能力】

1.了解运用公式法的含义.

2.理解逆用两数和乘以这两数的差公式的意义，弄清公式的形式和特点.

3.初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.

【过程与方法】

运用对比的方法弄清“两数和乘以这两数的差的公式”与“逆用两数和乘以这两数的差的公式”的区别与联系.

【情感态度价值观】

通过学习进一步理解数学知识间的密切联系，培养认真仔细学习的严谨态度.

教学重难点

【教学重点】

初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.

【教学难点】

正确逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式.

课前准备

无

教学过程

（一）复习

1．填空：

(1)(a+b)(a-b)=＿＿＿＿＿＿＿.

(2)(a+b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

(3)(a-b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

2．说出1—20的平方的结果.

（二）运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式.于是有：

a 2-

b 2=(a+b)(a-b)

a 2+2ab+

b 2=(a+b)2

a 2-2ab+

b 2=(a-b)

2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法.

（三）逆用两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式）

1．平方差公式

（1）公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)

（2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？（可提示两数和乘以这两数的差的公式是怎样叙述的？）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式就是平方差公式.

①注意与整式乘法中的语言叙述的区别，并以此来帮助同学们弄清两种公式的区别.

②多项式⎯⎯⎯⎯←⎯⎯⎯→⎯整式乘法因式分解（整式）⨯（整式）⨯……⨯（整式）

22a b −⎯⎯⎯⎯←⎯⎯⎯→

⎯整式乘法因式分解()()a b a b +−

在整式乘法中平方差是计算的结果，而因式分解中的平方差则是待分解的多项式.

在整式乘法中两数和乘以这两数的差是计算的条件，而因式分解中的两数和乘以这两数的差则是分解的结果.

（3）形式和特点：

运用条件：两个数平方差的形式（即公式的左边）；

运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即公式的右边，是两个二项式的乘积）.

（4）例子：

把x 2-16和9m 2-4n 2分解因式.

很显然，这两题都不能用提公因式法来分解因式.而16=42，9m 2=(3m)2,4n 2=(2n)2,所以有 x 2-16=x 2-42=(x+4)(x-4)，9m 2-4n 2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)。

注意在讲解过程中一项一项对照公式，以加深对公式的理解.

提问：3m 2-2n 2可以用平方差公式分解因式吗？（指出在没有特别说明的情况下分解因式都是

在有理数范围内分解，如果在实数范围内可分解为：)，a 2+b 2呢？

2.变式巩固练习

变式一：把下列各式分解因式：

（1）1-25b 2 (2)x 2y 2-z 2 (3)2201.09

4n m − （4）-9+16a 2 请学生试做，再请学生自己说为什么可以这样分解. 分析：由于（1）中1=12,25b 2=(5b)2.（2）中x 2y 2=（xy ）2.（3）中

22)32(94m m =， 0.01n 2=(0.1n)2.（4）可以写成16a 2-9，而16a 2=(4a)2,9=32.都符合平方差公式，因此都可以用平方差公式来分解因式.

解：（1） 1-25b 2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)

（2） x 2y 2-z 2 =（xy ）2- z 2 =(xy+z)(xy-z)

（3） 2201.094n m −=)1.03

2)(1.032()1.0()32(22n m n m n m −+=− （4） -9+16a 2=16a 2-9=(4a)2-32=(4a+3)(4a-3)

变式二：把下列各式分解因式：

（1）(x+p)2-(x+q)2 （2）16(a-b)2-9(a+b)2 （3）9x 2-(x-2y)2

请同学们先讨论，然后再做，再请学生自己说为什么可以这样分解.

分析：在（1）中(x+p)、(x+q)分别相当于公式中的a 、b.（2）中16(a-b)2

=［4(a-b)］2, 9(a+b)2=［3(a+b)］2.（3）中9x 2=(3x) 2.它们都符合平方差公

式，因此都可以用平方差公式来分解因式.

解：（1）(x+p)2-(x+q)2=［(x+p)+(x+q)］［(x+p)-(x+q)］

=(x+p+x+q)(x+p-x-q) 括号中有同类项应合并.

=(2x+p+q)(p-q)

（2）16(a-b)2-9(a+b)2=［4(a-b)］2-［3(a+b)］2

=［(4a-4b)+(3a+3b)］［(4a-4b)-(3a+3b)］

=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)

=(7a-b)(a-7b)

（3）9x 2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=［3x+(x-2y)］［3x-(x-2y)］

=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中还有公因式.

=2(2x-y)·2(x+y)=4(2x-y)(x+y)

提问：最后为什么不是2(2x-y)(x+y)？

巩固练习：

把下列各式分解因式：

（1）4a 2-b 2 （2）(3m+2n)2-(m-n)2

（3）(4x-3y)2-16y 2 （4）-4(x+2y)2+9(2x-y)2

（四）小结

提问：1、什么是运用公式法进行因式分解？

2、运用平方差公式分解因式的条件和结果是什么？应注意什么？

（五）作业

课堂作业

把下列各式分解因式:

（1）1－m 2 （2）－a 2＋b 2 （3）x 2－

91y 2 （4）－9＋16x 2 （5）4x 2－9y 2 （6）0.36x 2－

94y 2 （7）x 2y 2－z 2 （8）x 2－(x －y)2 （9）9(x －y)2－y 2 （10）(x ＋2y)2－(2x －y)2

（11）16(a ＋b)2－9(a －b)2 （12）(a 2＋b 2)2－a 2b 2

家庭作业

1、把下列各式分解因式:

（1）220.49144p q − （2）224121y x −+ （3）2222a p b q − （4）

222254a x y − 2、把下列各式分解因式:

（1）22()m n n +−

（2）22169()196()a b a b −−+

（3）22()()a b c a b c ++−+−

（4）22222()x y x y +−

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