高考数学第一轮复习:《等比数列》 - 百度文库

最新考纲

1.理解等比数列的概念．

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

【教材导读】 

1．如何推导等比数列的通项公式？采用什么方法？

提示：可采用累积法推导．

2．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？

提示：必要而不充分条件，因为b2＝ac时，不一定有a，b，c成等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)，而a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.

3．如何推导等比数列的前n项和公式？采用了什么方法？

提示：可用错位相减法推导．

1．等比数列的相关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．符号表示为＝q(n≥2)，q为常数．

(2)等比中项：如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么＝，即G2＝ab.

2．等比数列的通项公式

(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝a1qn－1.

(2)通项公式的推广

an＝am·qn－m.

3．等比数列的前n项和公式

Sn＝

4．等比数列的常见性质

(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.

(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．

(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．

5．等比数列的单调性

当q>1，a1>0或0当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列．

6．等比数列与指数函数的关系

当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．

1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)

(A)－24     (B)0

(C)12     (D)24

A　解析：由等比数列的性质和定义进行解题，由等比中项性质得(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，因x＋1≠0，得x＝－3.所以a4＝(6x＋6)·＝18·＝－24.故选A.

2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

(A)1盏     (B)3盏

(C)5盏     (D)9盏

B　解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3，选择B.

3．已知a1，a2，…，an，…为各项均大于零的等比数列，公比q≠1，则(　　)

(A)a1＋a8＞a4＋a5

(B)a1＋a8＜a4＋a5

(C)a1＋a8＝a4＋a5

(D)a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定

A　解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7)－a1(q3＋q4)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1(1－q3)(1－q4)．

q＝＞0且q≠1，

当q＞1时，q3＞1，q4＞1,1－q3＜0,1－q4＜0；

当0＜q＜1时，q3＜1，q4＜1,1－q3＞0,1－q4＞0.

总之a1(1－q3)(1－q4)＞0.

∴a1＋a8＞a4＋a5.

4．若正项等比数列{an}满足an＋2＝an＋1＋2an，则其公比为(　　)

(A)     (B)2或－1

(C)2     (D)－1

C　解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，

若an＋2＝an＋1＋2an，则有anq2＝anq＋2an，

即q2－q－2＝0，

解可得q＝2或－1，

由数列{an}为正项等比数列，可得q＝2，故选C.

5．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q为________．

解析：若q＝1，则Sn＝na1，∴{Sn}是等差数列；

若q≠1，则当{Sn}是等差数列时，一定有2S2＝S1＋S3，

∴2·＝a1＋，

即q3－2q2＋q＝0，故q(q－1)2＝0，

∴q＝0或q＝1，

而q≠0，q≠1，∴此时不成立．

答案：1

考点一　等比数列的基本运算

　 (1)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝，则S5＝(　　)

(A)31     (B)36

(C)42     (D)48

解析：(1)解法一　由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，

解得a1＝1，

所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝4n－1.

解法二　由题意可设等比数列{an}的前3项分别为，x,4x，则＋x＋4x＝21，解得x＝4，所以等比数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝4×4n－2＝4n－1.

(2)a3a5＝a2a6＝，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋＝0的两根，因为an＞0，q＞1，所以a3＜a5，所以a5＝16，a3＝4，所以q＝＝＝2，所以a1＝＝＝1，所以S5＝＝31.

【反思归纳】 等比数列基本运算的方法策略

(1)将条件用a1，q表示，在表示Sn时要注意判断q是否为1；

(2)解方程(组)求出a1，q，消元时要注意两式相除和整体代入；

(3)利用a1，q研究结论．

【即时训练】 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________(n≥2，且n∈N)．

(2)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S8等于(　　)

(A)255     (B)256

(C)510     (D)511

解析：(1)很明显等比数列的公比q≠1，则由题意可得：＝＝＝，

解得：q＝，则：＝＝＝＝－.

(2)当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，

当n≥2时：Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，

两式作差可得：an＝2an－2an－1，则：an＝2an－1，

据此可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

其前和为：S8＝＝29－2＝510－2＝510.

故选C.

答案：(1)－　(2)C

考点二　等比数列的判定与证明

　已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.

(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；

(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．

(1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝.

又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得

an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.

∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.

∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列．

(2)解：方法一：由(1)知2an＋1＝an＋1.

∴2an＝an－1＋1(n≥2)，

∴2an＋1－2an＝an－an－1，

∴2cn＋1＝cn(n≥2)．

又c1＝a1＝，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝.

∴c2＝－＝，c2＝c1.

∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．

∴cn＝·n－1＝n.

方法二：由(1)bn＝－·n－1＝－n，

∴an＝n＋1.

∴cn＝－n＋1－

＝n－1－n＝n－1＝n(n≥2)．

又c1＝a1＝也适合上式，∴cn＝n.

【反思归纳】 等比数列的判定方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则数列{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列通项公式写成an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．

如果判定某数列不是等比数列，只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可．

【即时训练】 已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．

(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；

(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．

解析：(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，故λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．

(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn，

又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；

当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，

则bn≠0，所以＝－(n∈N*)．

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．

考点三　等比数列的性质及应用

　(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)

(A)1     (B)2

(C)3     (D)5

(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.

解析：(1)因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2；

同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，

所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.

(2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.

由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.

答案：(1)C　(2)－

【反思归纳】 在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程(组)求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量，提高解题速度．

【即时训练】 (1)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)

(A)     (B)－

(C)     (D)

(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

解析：(1)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.故选A.

(2)利用等比数列通项公式求出首项a1与公比q，再将a1a2…an的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．

设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.

故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·

＝23n－＋＝2－＋n.

记t＝－＋＝－(n2－7n)，

结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.

又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝.

答案：(1)A　(2)

等比数列的基本运算

教材源题：在等比数列{an}中：

(1)已知a1＝－1，a4＝，求q与S4；

(2)已知a3＝，S3＝，求a1与q.

解：(1)由q3＝＝－，解得q＝－4，

所以S4＝＝＝51.

(2)因为S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，

所以q－2＋q－1＋1＝3，

即2q2－q－1＝0，

解这个方程得q＝1或q＝－.

当q＝1时，a1＝；

当q＝－时，a1＝6.

【规律总结】 解决等比数列的基本计算问题主要是利用方程思想，建立方程(组)求解．注意两式相除、整体代换、分类讨论等技巧的应用．

【源题变式】 在等比数列{an}中，an＞0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.

解析：因为a5－a1＝15，a4－a2＝6.

所以(q≠1)

两者相除得＝，即2q2－5q＋2＝0，

所以q＝2或q＝，

当q＝2时，a1＝1，

当q＝时，a1＝－16(舍去)．

所以a3＝1×22＝4.

答案：4

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)

(A)充分不必要条件     (B)必要不充分条件

(C)充要条件     (D)既不充分也不必要条件

B　解析：若A＝B＝0，则Sn＝0，故数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，由＝，得A＝－B.故选B.

2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　)

(A)(－2)n－1     (B)－(－2)n－1

(C)(－2)n     (D)－(－2)n

A　解析：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.故选A.

3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)

(A)16(1－4－n)     (B)16(1－2－n)

(C)     (D)(1－2－n)

C　解析：∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝.a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．故选C.

4．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前5项的积为(　　)

(A)±3     (B)3

(C)±1     (D)1

D　解析：因为a4＝3，所以3＝×q3(q为公比)，得q＝3，所以a1a2a3a4a5＝a＝(a1q2)5＝5＝1，故选D.

5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)

(A)     (B)或

(C)     (D)以上都不对

B　解析：设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c＜d＜b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到：c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.故选B.

6．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(　　)

(A)29     (B)210

(C)211     (D)212

C　解析：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，所以a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，所以a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.故选C.

7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝________.

解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n　①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1　②，∵①÷②得＝2，

∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2016＝＋＝3×21008－3.

答案：3×21008－3

8．如图，“杨辉三角”中从上往下共有n(n＞7，n∈N)行，设第k(k≤n，k∈N*)行中不是1的数字之和为ak，由a1，a2，a3，…组成的数列{an}的前n项和是Sn，现有下面四个结论：①a8＝254；②an＝an－1＋2n；③S3＝22；④Sn＝2n＋1－2－2n.

其中正确的结论序号为________．

1　1

1　2　1

1　3　3　1

1　4　6　4　1

……　……

解析：an＝2n－2，Sn＝21＋22＋…＋2n－2n＝－2n＝2n＋1－2－2n，故只有①④正确．

答案：①④

9．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝________.

解析：设正项数列{an}的公比为q，正项数列{bn}的公比为p，

则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列，{lg bn}是公差为lg p的等差数列．

故Sn＝nlg a1＋lg q.

Tn＝nlg b1＋lg p.

又＝＝.

所以logb5a5＝＝＝＝.

答案：

10．设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．

解：若q＝1，则na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．

∴q≠1，

∴

得1＋qn＝82，∴qn＝81③

将③代入①得q＝1＋2a1④

又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列．

∴an＝a1qn－1＝27

由③④⑤得q＝3，a1＝1，n＝4.

∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.

能力提升练(时间：20分钟)

11．已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项a2＋a4＋…＋a100为(　　)

(A)15     (B)30

(C)45     (D)60

D　解析：S100＝a1＋a2＋…＋a100＝90，设S＝a1＋a3＋…＋a99，则2S＝a2＋a4＋…＋a100，

所以S＋2S＝90，S＝30，故a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60，故选D.

12．已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列的前4项和为(　　)

(A)或4     (B)或4

(C)     (D)

C　解析：设数列{an}的公比为q.当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.而S6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝.解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.所以数列的前4项和为1＋＋＋＝.故选C.

13．已知各项均不相等的等比数列{an}，若3a2,2a3，a4成等差数列，设Sn为{an}的前n项和，则＝(　　)

(A)     (B)

(C)3     (D)1

A　解析：4a3＝3a2＋a4，

4a1q2＝3a1q＋a1q3，

∴q2－4q＋3＝0，

q＝3或q＝1(舍)．

∴＝

＝＝＝.故选A.

14．已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比数列，求数列{an}的通项公式．

解析：因为Sn＝(an＋1)(an＋2)，

所以当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，

解得a1＝1或a1＝2；

当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)．

①－②并整理，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0(n≥2)．

因为数列{an}的各项均为正数，所以an－an－1＝3(n≥2)．当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此时a＝a2a9成立．当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此时a＝a2a9不成立．所以a1＝2舍去．故an＝3n－2.

15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)证明是等比数列，并求{an}和通项公式．

(2)证明：＋＋…＋＜.

解析：证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，

所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)知＝，因为当n≥1时，＜＝，所以＋＋…＋＜1＋＋…＋＝×，所以＋＋…＋＜.