2012年广州市二模数学试题(理科)

数  学(理科)

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值为

  A．2          B．-2           C．2或-2         D．±2或0

2．设集合A={(x，y)|2x+y=6}，B={(x，y)|3x+2y=4}，满足C(AB)的集合C的个数为

  A．1    B．2    C．3    D．4

3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是

  A． 4    B．    C．    D．-4

4．已知等差数列{}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为

  A．10   B．20    C．30    D．40

5．已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是

  A．，∥，∥        B．，，

  C．∥，，       D．∥，，

6．下列说法正确的是

  A．函数在其定义域上是减函数

 B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

  C．命题“”的否定是“”

  D．给定命题P、q，若Pq是真命题，则P是假命题

7．阅读图l的程序框图，该程序运行后输出的A的值为

  A．5    B．6    C．7    D．8

8．已知实数，满足，函数的最大值记为，则的最小值为

  A．1    B．2     C．    D．3

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题(9～13题)

9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是          。

10．()6展开式中的常数项是       (用数字作答)。

11．已知不等式>1的解集与不等式的解集相等，则的值为                 。

12．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若，则的值为         。

13．已知点P是直角坐标平面上的一个动点(点O为坐标原点)，点M(-1，0)，则cosOPM的取值范围是             。

 (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别为(2，)，(2，)，则顶点C的极坐标为    。

15．(几何证明选讲选做题)如图2，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC=2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则面的值为     ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．(本小题满分12分)

    已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）。

    (1)求A和的值；

    (2)已知(0，)，且，求的值．

17．(本小题满分l2分)

    如图3，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为．

    (1)当≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；

    (2)求的分布列和数学期望．

18．(本小题满分l4分)

    某建筑物的上半部分是多面体MN—ABCD，下半部分是长方体ABCD—A1B1C1D1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成．

    (1)求直线AM与平面A，B，C，D，所成角的正弦值；

    (2)求二面角A—MN—C的余弦值；

(3)求该建筑物的体积．

19．(本小题满分14分)

    已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：有一个相同的焦点F1，直线：与抛物线C2只有一个公共点．

    (1)求直线的方程；

(2)若椭圆C1经过直线上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．

20．(本小题满分l4分)

    已知函数

    (1)求函数的单调区间；

    (2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

21．(本小题满分l4分)

    已知函数的定义域为(-1，1)，且，对任意，都有，数列{}满足

    (1)证明函数是奇函数；

(2)求数列{}的通项公式；

（3）令，证明：当时，。