辽宁沈阳市大东区2024届中考联考数学试卷含解析

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（ ）

A ．54°

B ．°

C ．27°

D ．37°

2．已知a,b 为两个连续的整数,且a<11B ．8

C ．9

D ．10

3．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，将ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（ ）

A ．

3

5

B ．

53

C ．

73

D ．

54

4．如图，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC 的周长等于（ ）

A ．20

B ．15

C ．10

D ．5

5．我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出8元，则余3元；若每人出7元，则少4元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有x 人合买，这件物品y 元，则根据题意列出的二元一次方程组为（ ） A ．83

74

x y x y =-⎧⎨

=+⎩

B ．8+4

73

x y x y =⎧⎨

=-⎩

C ．3+8

47

x y x y =⎧⎨

=-⎩

D ．8+3

74

x y x y =⎧⎨

=-⎩

6．一、单选题

如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）

A ．75

B ．100

C ．120

D ．125

7．tan45º的值为（ ） A ．

1

2

B ．1

C ．

22

D ．2

8．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，则这个几何体的左视图的面积为（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

9．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，下列四个结论：

①4a+c ＜0；②m （am+b ）+b ＞a （m≠﹣1）；③关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0没有实数根；④ak 4+bk 2＜a （k 2+1）2+b （k 2+1）（k 为常数）．其中正确结论的个数是（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

10．已知18x x -=，则221

6x x

+-的值是( ) A ．60

B ．

C ．66

D ．72

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S ，请观察图中的规律:

12．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=______°

13．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．

14．已知

1

6

x

x

+=，则2

2

1

x

x

+=______

15．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.

16．如图，边长为6的菱形ABCD中，AC是其对角线，∠B=60°，点P在CD上，CP=2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN的周长的最小值为_____________ ．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品. C班提供的

参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚不完整的统计图中.

(1)B班参赛作品有多少件？

(2)请你将图②的统计图补充完整；

(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？

(4)将写有A，B，C，D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A，B两班的概率. 18．（8分）某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，具体过程如下：

收集数据

从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

78 86 74 81 75 76 87 70 75 90

八年级

75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

93 73 88 81 72 81 94 83 77 83

九年级

80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据

将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据：

成绩（x）40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤90≤x≤100

八年级人数0 0 1 11 7 1

九年级人数 1 0 0 7 10 2

（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：

年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 78.3 77.5 75 33.6 九年级

78

80.5

a

52.1

（1）表格中a 的值为______；请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由．（请从两个不同的角度说明推断的合理性） 19．（8分）先化简，再求代数式（

22222x y x x xy y x xy ---+-）÷2y

x y

-的值，其中x=sin60°，y=tan30°．

20．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的不完整统计表： 节目代号 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 喜爱人数

12

30

m

54

9

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m 的值为 ．扇形统计图中n 的值为 ； （2）被调查学生中，最喜爱电视节目的“众数” ；

（3）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生人数.

21．（8分）某校园图书馆添置新书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，由于科普书的单价比文学书的价格高出一半，因此，学校所购文学书比科普书多4本，求： （1）这两种书的单价．

（2）若两种书籍共买56本，总费用不超过696元，则最多买科普书多少本？

22．（10分）一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有3，4，5，x ，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出1个小球，并计算2个小球上的数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：

次数

10 20 30 60 90 120 180 240 330 450

“和为8”出

现的频数

2 10 1

3 2

4 30 37 58 82 110 150

“和为8”出

现的频率

0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33

解答下列问题：如果试验继续进行下去，根据上表提供的数据，出现和为8的频率将稳定在它的概率附近，估计出现

和为8的概率是________；如果摸出的2个小球上数字之和为9的概率是1

3

，那么x的值可以为7吗？为什么？

23．（12分）已知线段a及如图形状的图案.

（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）

（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.

24．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处,如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

参

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【题目详解】

解：∵∠AOC＝126°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，

∵∠CDB＝1

2

∠BOC＝27°

故选：C．

【题目点拨】

此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2、A

【解题分析】

∵9<11<16，

<<，

即34

<<，

∵a，b为两个连续的整数，且a b

<<，

∴a=3，b=4，

∴a+b=7，

故选A.

3、B

【解题分析】

由折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x即可．

【题目详解】

∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，

∴AE=AB，∠E=∠B=90°，

又∵四边形ABCD 为矩形，

∴AB=CD ，

∴AE=DC ，

而∠AFE=∠DFC ，

∵在△AEF 与△CDF 中，

AFE CFD E D

AE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ），

∴EF=DF ；

∵四边形ABCD 为矩形，

∴AD=BC=6，CD=AB=4，

∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，

∴FC=FA ，

设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，

在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6-x ）2，解得x ＝

133， 则FD ＝6-x=

53. 故选B ．

【题目点拨】

考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．

4、B

【解题分析】

∵ABCD 是菱形，∠BCD=120°，∴∠B=60°，BA=BC ．

∴△ABC 是等边三角形．∴△ABC 的周长=3AB=1．故选B

5、D

【解题分析】

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．

【题目详解】

由题意可得：8+374

x y x y =⎧⎨=-⎩，

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

6、B

【解题分析】

根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．

【题目详解】

解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=1

2

∠ACB，∠ACF=

1

2

∠ACD，即∠ECF=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．

故选：B．

【题目点拨】

本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．

7、B

【解题分析】

解：根据特殊角的三角函数值可得tan45º=1，

故选B．

【题目点拨】

本题考查特殊角的三角函数值．

8、C

【解题分析】

根据左视图是从左面看到的图形求解即可.

【题目详解】

从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图.

9、D

【解题分析】

①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2， 所以﹣2b

a =﹣1，可得b=2a ，

当x=﹣3时，y ＜0，

即9a ﹣3b+c ＜0，

9a ﹣6a+c ＜0，

3a+c ＜0，

∵a ＜0，

∴4a+c ＜0，

所以①选项结论正确；

②∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a ﹣b+c 的值最大，

即把x=m （m≠﹣1）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，

∴am 2+bm ＜a ﹣b ，

m （am+b ）+b ＜a ，

所以此选项结论不正确；

③ax 2+（b ﹣1）x+c=0，

△=（b ﹣1）2﹣4ac ，

∵a ＜0，c ＞0，

∴ac ＜0，

∴﹣4ac ＞0，

∵（b ﹣1）2≥0，

∴△＞0，

∴关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有实数根；

④由图象得：当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，

∵当k 为常数时，0≤k 2≤k 2+1，

∴当x=k 2的值大于x=k 2+1的函数值，

即ak 4+bk 2+c ＞a （k 2+1）2+b （k 2+1）+c ，

ak 4+bk 2＞a （k 2+1）2+b （k 2+1），

所以此选项结论不正确；

所以正确结论的个数是1个，

故选D ．

10、A

【解题分析】 将18x x -=代入原式2221124()4x x x x

=+--=--，计算可得． 【题目详解】 解：当18x x

-

=时， 原式22124x x

=+-- 21()4x x =-- 284=-

4=-

60=，

故选A ．

【题目点拨】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、S=1n-1

【解题分析】

观察可得，n=2时，S=1；

n=3时，S=1+（3-2）×1=12；

n=4时，S=1+（4-2）×1=18；

…；

所以，S 与n 的关系是：S=1+（n-2）×

1=1n-1． 故答案为S=1n-1．

【题目点拨】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了

12、57°.

【解题分析】

根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.

【题目详解】

由平行线性质及外角定理，可得∠2＝∠1+30°=27°+30°=57°. 【题目点拨】

本题考查平行线的性质及三角形外角的性质.

13、1

3

．

【解题分析】

由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可．【题目详解】

解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，

所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=21

=

63

．

故答案为1

3

．

【题目点拨】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14、34

【解题分析】

∵

1

6

x

x

+=，∴2

2

1

x

x

+=

2

2

1

26236234

x

x

⎛⎫

+-=-=-=

⎪

⎝⎭

，

故答案为34.

15、61

【解题分析】

分析: 要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答,注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种,分别求出,选取最短的路程.

详解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;

如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;

如图:AM2=52+(4+2)2=61.

∴蚂蚁从A 点出发沿长方体的表面爬行到M 的最短路程的平方是:61.

故答案为:61.

点睛: 此题主要考查了平面展开图,求最短路径,解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决.

16、221 【解题分析】 过P 作关于AC 和AD 的对称点，连接1P 和2P ，过P 作2P C BC ⊥, 1P 和2P ，M ，N 共线时最短，根据对称性得知△PMN 的周长的最小值为12PP .因为四边形ABCD 是菱形，AD 是对角线，可以求得60DCF ∠=︒，根据特殊三角形函数值求得1,3CF PF ==

，23PE =，再根据线段相加勾股定理即可求解.

【题目详解】

过P 作关于AC 和AD 的对称点，连接1P 和2P ，过P 作2P C BC ⊥,

四边形ABCD 是菱形，AD 是对角线，

60B BAC BCA DCA DAC D ︒∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=，

180BCD DCF ∠+∠=︒，

18012060DCF ∴∠=︒-︒=︒，

cos60sin 60CF PF CP CP =︒=︒， 1,3CF PF ∴==

4PD CD CP =-=,

sin 60PE PD

=︒ 23PE ∴= 又由题意得222,43

PE P E P P PE P E ==+= 2253

FP FP PP ∴=+= 113PF PC CF =+=

()()221212221PP FP FP ∴=+=

【题目点拨】

本题主要考查对称性质，菱形性质，内角和定理和勾股定理，熟悉掌握定理是关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）25件；（2）见解析；（3）B 班的获奖率高；（4）.

【解题分析】

试题分析：（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B 班参赛作品数量；

（2）利用C 班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C 班参赛数量得出获奖数量；

（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；

（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率．

试题解析：（1）由题意可得：100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=25（件），

答：B 班参赛作品有25件；

（2）∵C 班提供的参赛作品的获奖率为50%，∴C 班的参赛作品的获奖数量为：100×20%×50%=10（件），

如图所示：

（3）A班的获奖率为：×100%=40%，B班的获奖率为：×100%=44%，

C班的获奖率为：=50%；D班的获奖率为：×100%=40%，

故C班的获奖率高；

（4）如图所示：

，

故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为：=．考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．

18、(1)81;(2) 108人；(3)见解析.

【解题分析】

（1）根据众数的概念解答；

（2）求出九年级学生体质健康的优秀率，计算即可；

（3）分别从不同的角度进行评价．

【题目详解】

解：（1）由测试成绩可知，81分出现的次数最多，

∴a=81，

故答案为：81；

（2）九年级学生体质健康的优秀率为：10+2

100%=60% 20

，

九年级体质健康优秀的学生人数为：180×60%=108（人），

答：估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人；

（3）①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩，且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差，所以八年级学生的体质健康情况更好一些．

②因为九年级学生的优秀率（60%）高于八年级的优秀率（40%），且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众

数或中位数，所以九年级学生的体质健康情况更好一些．

【题目点拨】

本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质，正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的关键．

19

、-

【解题分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x 和y 的值并代入进行计算即可

【题目详解】

原式()()22,2x y x x y x x y y x y ⎡⎤--=-⋅⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

112,2x y x y x y y ⎛⎫-=-⋅ ⎪--⎝⎭

()()()()22,22x y x y x y x y x y x y x y y ⎡⎤---=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦

()()

22,2x y x y x y x y x y y --+-=⋅-- ()()2,2y x y x y x y y

--=⋅-- 1,x y

=--

sin60tan30x y =︒=

=︒=

∴原式===- 【题目点拨】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

20、（1）150；45，36， （2）娱乐 （3）1

【解题分析】

（1）由“体育”的人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其它节目的人数即可得求得动画的人数m ，用娱乐的人数除以总人数即可得n 的值；

（3）用总人数乘以样本中喜爱新闻节目的人数所占比例．【题目详解】

解：（1）被调查的学生总数为30÷20%＝150（人），

m＝150−（12＋30＋54＋9）＝45，

n%＝

54

150

×100%＝36%，即n＝36，

故答案为150，45，36；

（2）由题意知，最喜爱电视节目为“娱乐”的人数最多，∴被调查学生中，最喜爱电视节目的“众数”为娱乐，

故答案为娱乐；

（3）估计该校最喜爱新闻节目的学生人数为2000×12

150

＝1．

【题目点拨】

本题考查了统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21、（1）文学书的单价为10元，则科普书的单价为15元；（2）27本

【解题分析】

（1）根据等量关系：文学书数量﹣科普书数量＝4本可以列出方程，解方程即可．

（2）根据题意列出不等式解答即可．

【题目详解】

（1）设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元，根据题意得：

200240

1.5

x x

=4，

解得：x＝10，

经检验：x＝10是原方程的解，

∴1.5x＝15，

答：文学书的单价为10元，则科普书的单价为15元．

（2）设最多买科普书m本，可得：15m+10（56﹣m）≤696，

解得：m≤27.2，

∴最多买科普书27本．

【题目点拨】

此题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，正确理解题意列出方程或是不等式是解题的关键.22、（1）出现“和为8”的概率是0.33；（2）x的值不能为7. 【解题分析】

（1）利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；

（2）假设x=7，根据题意先列出树状图，得出和为9的概率，再与1

3

进行比较，即可得出答案.

【题目详解】

解：(1)随着试验次数不断增加，出现“和为8”的频率逐渐稳定在0.33，故出现“和为8”的概率是0.33.

(2)x的值不能为7.理由：假设x＝7，

则P(和为9)＝1

6

≠

1

3

，所以x的值不能为7.

【题目点拨】

此题主要考查了利用频率估计概率以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键.

23、（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为183

【解题分析】

试题分析：

（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.

试题解析：

（1）所作图形如下图所示：

（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，

∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，

∴BE=OB·cos30°=33，OE=3，

∴AB=63，

∴CD=23，

∴S△OCD=1

233=33

2

⨯⨯，

∴S阴影=6S△OC D=183.

24、（1）10；（2）5

【解题分析】

（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP

与△PDA的面积比为1：4，得出CP=1

2

AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，求出x，

最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=1

2

PQ，根据

∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=1

2

QB，再求出EF=

1

2

PB，由（1）中的结论求出22

8445

+=

最后代入EF=1

2

PB即可得出线段EF的长度不变

【题目详解】

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴，∴CP=1

2

AD=4

设OP=x，则CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=FB，∴EF=EQ+QF=1

2

（PQ+QB）=

1

2

PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB =EF =12

PB ，

∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形