例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少 种？
解：4×3=12
例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？
①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。
②掷一颗骰子出现8点。
③如果，则。
④某人买某一期的体育彩票中奖。
解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。
例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A表示“至少有1名女生代表”，求。
解： =15×14×13/20×19×18=273/584
例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。以下四对事件哪些是互斥事件？哪些是对立 事件？哪些不是互斥事件？
①恰有1件次品和恰有2件次品 互斥事件
②至少有1件次品和至少有1件正品 不是互斥事件
③最多有1件次品和至少有1件正品 不是互斥事件
④至少有1件次品和全是正品 对立事件
例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。
解：P(A)=3×2/6×5=1/5
例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。
解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36.
(1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9
(2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6
例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：
①两人都未击中目标的概率；
②两人都击中目标的概率；
③其中恰有1人击中目标的概率；
④至少有1人击中目标的概率。
解：A={甲射击一次，击中目标}，B={乙射击一次，击中目标}
（1）
（2）
（3）
(4)
例8.种植某种树苗成活率为0.9，现种植5棵。试求：
①全部成活的概率；
②全部死亡的概率；
③恰好成活4棵的概率；
④至少成活3棵的概率。
解：（1）0.9×0.9×0.9×0.9×0.9=0.59049
（2）0.1×0.1×0.1×0.1×0.1=0.00001
（3）0.9×0.9×0.9×0.9×0.1×5=0.32805
（4）成活0棵：概率0.1^5=0.001% ；成活1棵：概率5*0.1^4*0.9=0.045% 成活2棵： 概率10*0.9^2*0.1^3=0.81%。所以至少成活3颗的概率是1- 0.00001-0.00045-0.0081=0.99144
例9、为考察某市初中毕业生数学考试情况，从中抽取200名学生的成绩，该问题的样本是（D）
A 这200名学生的成绩 这200名学生
C 这200名学生的平均成绩 这200名学生的数学成绩
例10、一次普通话比赛，七位评委为一名参赛者打分为： 9.6 9.7 9.4 9.9 9.5 9.3 9.1 ，按规则去掉一个最高分和一个最低分，将其余分数的平均分作为参赛者的最后得分，则这位参赛者最后得分为（ ）
A 9.5 B 9.6 C 9.7 D 9.8
【过关训练】
一、选择题
1、事件A与事件B的和“”意味A、B中（ ）
A、至多有一个发生 B、至少有一个发生
C、只有一个发生 D、没有一个发生
2、在一次招聘程序纠错员的考试中，程序设置了依照先后顺序按下h,u,a,n,g五个键的密码，键盘共有104个键，则破译密码的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、抛掷两枚硬币的试验中，设事件M表示“两个都是反面”，则事件表示（ ）
A、两个都是正面 B、至少出现一个正面
C、一个是正面一个是反面 D、以上答案都不对
4、已知事件A、B发生的概率都大于0，则（ ）
A、如果A、B是互斥事件，那么A与也是互斥事件
B、如果A、B不是相互事件，那么它们一定是互斥事件
C、如果A、B是相互事件，那么它们一定不是互斥事件
D、如果A、B是互斥且是必然事件，那么它们一定是对立事件
5、有5件新产品，其中A型产品3件，B型产品2件，现从中任取2件，它们都是A型产品的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、设甲、乙两人地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为，现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、一个电路板上装有甲、乙两个保险丝，若甲熔断的概率为0.2，乙熔断的概率为0.3，至少有一根熔断的概率为0.4，则两根同时熔断的概率为（ ）
A、0.5 B、0.1 C、0.8 D、以上答案都不对
8、某机械零件加工有2道工序组成，第1道工序的废品率为，第2道工序的废品率为，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1﹪，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含1件次品的概率是（ ）
A、 B、0.01 C、 D、
10、某气象站天气预报的准确率为0.8，计算5次预报中至少4次准确的概率是（ ）
A、 B、
C、+
D、以上答案都不对
11、同时抛掷两颗骰子，总数出现9点的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题准确率为0.4，则他能及格的概率约是（ ）
A、0.18 B、0.28 C、0.37 D、0.48
二、填空题
1、若事件A、B互斥，且, ,则
2、设A、B、C是三个事件，“A、B、C至多有一个发生”这一事件用A、B、C的运算式可表示为
3、1个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，事件A：“从袋中摸出1个是黑球，放回后再摸1个是白球”的概率是
4、在4次重复试验中，事件A至少出现1次的概率是，则事件A在每次试验中发生的概率是
5、甲、乙两射手彼此地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.9，则恰好有一人击中目标的概率为
三、解答题
1、甲、乙两人射击，甲击中靶的概率为0.8，乙击中靶的概率为0.7，现在，两人同时射击，并假定中靶与否是相互的，求：
（1）两人都中靶的概率；
（2）甲中靶乙不中靶的概率；
（3）甲不中靶乙中靶的概率。
2、将4封不同的信随机地投到3个信箱中，试求3个信箱都不空的概率。
3、加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2﹪、3﹪、5﹪，假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？
4、已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为20﹪。
（1）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有90﹪以上的可能被击中，需至少布置几门这类高射炮？
5、设事件A、B、C分别表示图中元件A、B、C不损坏，且A、B、C相互，, ,。
(1)试用事件间的运算关系表示“灯D亮”及“灯D不亮”这两个事件。
(2)试求“灯D亮”的概率。
过关训练参：
一、选择题：1、B 2、A 3、B 4、D 5、C 6、D 7、B 8、A 9、C 10、C 11、D 12、A
二、填空题：1、 2、
3、（提示：设“从口袋中摸出1个黑球”为事件B，“从口袋中摸出1个白球”为事件C，则B、C相互，且,∴）
4、（提示：设事件A在每次试验中发生的概率为P，则） 即 ∴ 5、0.26 （提示：）
三、解答题：
1、解：事件A为“甲中靶”， 事件B为“乙中靶” 则，
（1）
（2）
（3）
2、解：设事件“3个信箱都为空”为A，将4封不同的信随机地投到3个信箱中的投法共有种；事件A所包含的基本事件数为∴
3、解：设事件“第一道工序出现次品” 、“第二道工序出现次品” 、“第三道工序出现次品”分别为A、B、C，则2﹪， 3﹪， 5﹪，事件“某一零件为次品”表示为： ∴
4、解：（1）设敌机被各炮击中的事件分别为, , ,，,那么5门炮都未击中敌机的事件 因各炮射击的结果是相互的，所以
因此敌机被击中的概率
（2）设至少需要布置n门这类高射炮才能有90﹪以上的可能击中敌机，由（1）可得
即
两边取常用对数，并整理得
∴n≥11 即至少需要布置这类高射炮11门才能有90﹪以上的可能击中敌机
5、解：（1）事件“灯D亮”表示为
事件“灯D不亮”表示为
（2）
【典型试题】
一、选择题
1、下列式子中，表示“A、B、C中至少有一个发生”的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、某射击员击中目标的概率是0.84，则目标没有被击中的概率是（ ）
A、0.16 B、0.36 C、0.06 D、0.42
3、某射击手击中9环的概率是0.48，击中10环的概率是0.32，那么他击中超过8环的概率是（ ）
A、0.4 B、0.52 C、0.8 D、0.68
4、生产一种零件，甲车间的合格率是96％，乙车间的合格率是97％，从它们生产的零件中各抽取一件，都抽到合格品的概率是（ ）
A、96.5％ B、93.12％ C、98％ D、93.22％
5、从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，取到两个偶数的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、在12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取2件，2件都是次品的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、甲、乙两人在同样条件下射击，击中目标的概率分别为0.6、0.7，则甲、乙两人中至少有一人击中目标的概率是（ ）
A、0.65 B、0.42 C、1.3 D、0.88
8、有一问题，在1小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，则在1小时内两人都未解决的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、样本数据：42,43,44,45,46的均值为（ ）
A、43 B、44 C、44.5 D、44.2
10、样本数据：95,96,97,98,99的标准差S=（ ）
A、10 B、 C、 D、1
11、已知某种奖券的中奖概率是50％，现买5张奖券，恰有2张中奖的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1、将一枚硬币连抛掷3次，这一试验的结果共有 个。
2、一口袋内装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任取两个，得到“1个白球和1个黑球”的概率是
3、已知互斥事件A、B的概率,，则
4、已知M、N是相互事件，，，则
5、在7张卡片中，有4张正数卡片和3张负数卡片，从中任取2张作乘法练习，其积为正数的概率是
6、样本数据：14,10,22,18,16的均值是 ，标准差是 .
三、解答题
1、若A、B是相互事件，且，，求下列事件的概率：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2、甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，求：
①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率。
②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率。
3、计算样本数据：8,7,6，5,7,9,7,8,8,5的均值及标准差。
4、12件产品中，有8件正品，4件次品，从中任取3件，求：
①3件都是正品的概率；
②3件都是次品的概率；
③1件次品、2件正品的概率；
④2件次品、1件正品的概率。
5、某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学分别就某一问题咨询该服务中心，且每天只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的概率分布。
6、将4个不同的球随机放入3个盒子中，求每个盒子中至少有一个球的概率。
典型试题参：
一、选择题：BACBA CDDBB C
二、填空题：1、8 2、 3、 4、0.818 5、 6、16，
三、解答题
1、① ② ③ ④ ⑤ ⑥
2、①
②甲、乙都未抽到选择题的概率：
所以甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率
3、解：
4、解：①
②
③
④
5、解：
ξ的概率分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
每个盒子中至少有一个球共有种
∴概率
第十一章 概率与统计初步单元检测题
（总分150分）
班级 姓名 学号 得分
一、选择题（每小题4分，共60分）
1、如果事件“”是不可能事件，那么A、B一定是（ ）
、对立事件 、互斥事件 、事件 、以上说法不只一个正确
2、一枚伍分硬币连抛3次，只有一次出现正面的概率为（ ）
、 、 、 、
3、在100个产品中有4件次品，从中抽取2个，则2个都是次品的概率是（ ）
、 、 、 、
4、一人在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
、至多有一次中靶 、两次都中靶 、两次都不中靶 、只有一次中靶
5、甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为、、，现在3人同时射击一个目标，目标被击中的概率是（ ）
、 、 、 、
6、某产品的次品率为P，进行重复抽样检查，选取4个样品，其中至少有两件次品的概率是（ ）
、 、+
C、 、
7、A、B、C、D、E站成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率为（ ）
、 、 、 、以上都不对
8、从1、2、3、4、5、6这六个数中任取两个数，它们都是偶数的概率是（ ）
、 、 、 、
9、某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（ ）
、 、 、 、
10、一人在某条件下射击命中目标的概率是，他连续射击两次，那么其中恰有一次击中目标的概率是（ ）
、 、 、 、
11、盒子中有1个黑球，9个白球，它们只是颜色不同外，现由10个人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为，依次推，第10个人摸出黑球的概率为，则（ ）
、 、 、 、
12、某型号的高射炮，每门发射1次击中飞机的概率为0.6，现有若干门同时地对来犯敌机各射击1次，要求击中敌机的概率为0.99，那么至少配置这样的高射炮（ ）门
、5、6、7、8
13、样本：13、13、14、12、13、12、15、18、14、16的均值是（ ）
、1、1、1、15
14、样本：22、23、24、25、26的标准差是（ ）
、 、 、2、2
15、某职中有短跑运动员12人，从中选出3人调查学习情况，调查应采用的抽样方法是（ ）
、分层抽样 、系统抽样 、随机抽样 、无法确定
二、填空题（每小题4分，共20分）
1、必然事件的概率是
2、抛掷两颗骰子，“总数出现6点”的概率是
3、若A、B为相互事件，且，，则
4、生产某种零件，出现次品的概率是0.04，现生产4件，恰好出现一件次品的概率是
5、从一副扑克（52张）中，任取一张得到K或Q的概率是
三、解答题（共70分）
1、某企业一班组有男工7人，女工4人，现要从中选出4个职工代表，求4个代表中至少有一个女工的概率。（10分）
解：设事件A表示“至少有一个女工代表”，则
2、根据下列数据，分成5组，以41.5～？为第1组，列出频率分别表，画频率分别直方图。（10分）
69 65 44 59 57 76 48 72 54 56
60 50 65 60 60 62 61 66 51 70
67 51 52 42 58 57 70 63 61 53
60 58 61 61 55 62 68 59 59 74
45 62 46 58 54 52 57 63 55 67
（极差=76-42=34，组距应定为7，列频率分布表）
| 分组 | 频数 | 频率 |
| 41.5～48.5 | 5 | 0.10 |
| 48.5～55.5 | 10 | 0.20 |
| 55.5～62.5 | 21 | 0.42 |
| 62.5～69.5 | 9 | 0.18 |
| 69.5～76.5 | 5 | 0.10 |
| 合计 | 50 | 1.00 |
3、盒中装有4支白色粉笔和2支红色粉笔，从中任意取出3支，求其中白色粉笔支数ξ的概率分布，并求其中至少有两支白色粉笔的概率。（12分）
解：随机变量ξ的所有取值为1，2,3，取这些值的概率依次为
故ξ的概率分布表为
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
4、某气象站天气预报的准确率为0.8，计算（结果保留2位有效数字）：（12分）
（1）5次预报中恰好有4次准确的概率；（0.41）
（2）5次预报中至少有4次不准确的概率。（0.0067）
5、甲、乙二人各进行一次射击，如果甲击中目标的概率是0.7，乙击中目标的概率是0.8，求：（1）甲、乙二人都击中目标的概率。
（2）只有一人击中目标的概率。
（3）至少有1人击中目标的概率。 （13分）
解：设事件A表示“甲射击1次，击中目标”；事件B表示“乙射击1次，击中目标”
（1）
（2）
（3）
6、在甲、乙两个车间抽取的产品样本数据如下：（13分）
甲车间：102，101,99,103,98,99,98
乙车间：110,105,90,85,85,115,110
计算样本的均值与标准差，并说明哪个车间的产品较稳定。
（均值都是100， = 2， 12.9，因为＜，所以甲车间的产品较稳定）
第十一章 概率与统计初步单元检测题参
一、选择题：BACCC DCDCC DBCAC
二、填空题：1、1； 2、； 3、0.5； 4、0.1416； 5、
三、解答题：
1、解：设事件A表示“至少有一个女工代表”，则
2、极差=76-42=34，组距应定为7，列频率分布表：
| 分组 | 频数 | 频率 |
| 41.5～48.5 | 5 | 0.10 |
| 48.5～55.5 | 10 | 0.20 |
| 55.5～62.5 | 21 | 0.42 |
| 62.5～69.5 | 9 | 0.18 |
| 69.5～76.5 | 5 | 0.10 |
| 合计 | 50 | 1.00 |
3、解：随机变量ξ的所有取值为1，2,3，取这些值的概率依次为
故ξ的概率分布表为
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
4、（1）5次预报中恰好有4次准确的概率是0.41
（2）5次预报中至少有4次不准确的概率是0.0067
5、解：设事件A表示“甲射击1次，击中目标”；事件B表示“乙射击1次，击中目标”
（1）
（2）
（3）
6、均值都是100， = 2， 12.9，因为＜，所以甲车间的产品较稳定。
例1.一个袋中有6个红球和4个白球，它们除了颜色外，其他地方没有差别，采用无放回的方式从袋中任取3个球，取到白球数目用ξ表示。
（1）求离散型随机变量ξ的概率分布； （2）求P(ξ≥2)；
（3）指出ξ的概率分布是什么样的概率分布？
例2.100件产品中，有3件次品，每次取1件，有放回地抽取3次。
（1）求次品数ξ的概率分布；（2）指出ξ的概率分布是什么样的概率分布。
例3.某班50名学生在一次数学考试中的成绩分数如下：
52 53 56 57 59 60 60 61 63
65 65 68 68 69 70 70 71 72 72
73 73 73 74 74 74 75 75 76 78
80 80 80 81 82 82 83 85 85 86
88 88 90 91 92 93 93 96 98 99
请对本次成绩分数按下表进行分组，完成频率分布表、绘出频率分布直方图。
例4.一个单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工为样本，应采用什么抽样方法进行抽取？
例5.甲、乙二人在相同条件下各射击5次，各次命中的环数如下：
甲：7,8,6,8,6
乙：9,5,7,6,8
则就二人射击的技术情况来看（ ）
A、甲比乙稳定 B、乙比甲稳定 C、甲、乙稳定相同 D、无法比较其稳定性
例6.计算下列10个学生的数学成绩分数的均值与标准差。
83 86 85 80 84 85 79 80
【过关训练】
一、选择题
1、下列变量中，不是随机变量的是（ ）
A、一射击手射击一次的环数
B、水在一个标准大气压下100℃时会沸腾
C、某城市夏季出现的暴雨次数
D、某操作系统在某时间段发生故障的次数
2、下列表中能为随机变量ξ的分布列的是（ ）
A、
| ξ | -1 | 0 | 1 |
| P | 0.3 | 0.4 | 0.4 |
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.4 | 0.7 | -0.1 |
| ξ | -1 | 0 | 1 |
| P | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.3 | 0.4 | 0.4 |
A、 B、 C、 D、
4、把以下20个数分成5组，则组距应确定为（ ）
35 60 52 67 50 75 80 62 75 70
45 40 55 82 63 38 72 53 48
A、9 B、10 C、9.4 D、11
5、为了对生产流水线上产品质量把关，质检人员每隔5分钟抽一件产品进行检验，这种抽样方法是（ ）
A、简单随机抽样 B、系统抽样 C、分层抽样 D、以上都不是
6、对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取到的概率为0.25，
则N=（ ）
A、150 B、100 C、120 D、200
7、某中学有学生500人，一年级200人，二年级160人，三年级140人，用分层抽样法从中抽取50人，则各年级分别抽取的人数为（ ）
A、20,16,14 B、18,16,16 C、20,14,16 D、20,15,15
8、样本：22,23,25,24,26,23,22,24,28,30的均值是（ ）
A、24 B24.4 C、24.5 D、24.7
9、样本：6,7,8，8，9,10的标准差是（ ）
A、2 B、 C、3 D、
10、有一样本的标准差为0，则（ ）
A、样本数据都是0 B、样本均值为0 C、样本数据都相等 D、以上都不是
二、填空题
1、重复试验的贝努利公式是
2、在对60个数据进行整理所得的频率分布表中，各组的频数之和是 ，
各组的频率之和是 。
3、如果一个样本的方差 ，
则这个样本的容量是 ，样本均值是 。
4、样本：2，4,6,8,10,12,14,16,18,20的均值是 ，标准差是
5、已知样本数据90,96，m，80,91,78，其中m恰好与样本均值相等，则m=
三、解答题
1、有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
12.5～16.5，12； 16.5～20.5,16； 20.5～24.5,18；
24.5～28.5，24； 28.5～32.5,22； 32.5～36.5，8.
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图.
2、红星中学共有学生800人，一年级300人，二年级260人，三年级240人。现要了解全校学生的健康状况，从中抽取200人参加体检，应采用什么抽样方法进行抽取？
3、为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击10次，所得环数如下：
甲：7,8,6,8,6,5,9,10,7,4
乙：9,5,7,8,7,8,6,6,7,7
应选谁参加比赛，为什么？
过关训练参：
一、选择题
B C A B B C A D B C
二、填空题
1、 2、60,1 3、10，8、11， 5、85
三、解答题
1、解答略
2、分层抽样，75人，65人，60人
3、计算过程略，均值都是7，甲的方差是，乙的方差是，所以应选乙去参加比赛
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