基于表上作业法的产销不平衡运输问题应用

张孟飞;王铁旦;李建楠

【摘 要】所谓运输问题就是产品在运往销地的过程中所遇到的一系列问题,比如用哪条线路费用最低,路程最短,如何设置采用最优方案节省人力、物力、财力才能使总的效率最高,进而商家利益最大化.在总物流成本中运输成本占很大的比重.对于产销不平衡运输问题即总产量不等于总销量的运输问题的研究,本文以濮阳市立信化工有限公司的相关问题为例,运用产销平衡与产销不平衡的数学模型,对该案例进行分析和研究,从而确定最优方案.

【期刊名称】《价值工程》

【年(卷),期】2018(037)023

【总页数】4页(P24-27)

【关键词】运输问题;产销不平衡;表上作业法;最优方案

【作 者】张孟飞;王铁旦;李建楠

【作者单位】昆明理工大学质量发展研究院,昆明650093;昆明理工大学质量发展研究院,昆明650093;信阳师范学院土木工程学院,信阳4000

【正文语种】中 文

【中图分类】O224

0 引言

运输问题是运筹学中的一项重要的问题，运输成本在总物流成本中占很大比重。基于我国的现状，与其他国家相比，我国整体运输成本相对来说比较高、时间较长、运输效率较低。我们需要对物流进行合理化，在确保服务质量的同时，以最佳的运输线路、最低的运输费用使物资运至目的地。加快物流的运输速度，既可以及时运达供应市场，加快资金的周转。除此之外，运输过程中还会出现这样的问题，并不是生产多少都能完全销售出去，也不是所生产的数量正好就够销售。产量与销量有时相等，称为产销平衡；产量与销量不相等称之为产销不平衡。在认识到运输问题选择的重要性基础上，我们将产销不平衡的问题运用假设的方法，化为产销平衡的运输问题进行得出最佳方案。在此，我将着重研究产销不平衡的该怎样操作，来确定初始调运方案，并对其进行最优解检验。若不是最优方案，将进行调整，直至达到最优方案，使运输过程的费用达到最低。

1 产销平衡运输问题

1.1 产销平衡运输问题的简述

近年来，现代物流在我国得到较快发展。据统计，目前，我国已有20多个省市和50多个经济中心城市制定了物流发展规划，这些地区通过发展现代物流，促进了增长方式转变，增强了企业和区域经济竞争力。现代物流在结构调整，产业升级和经济社会发展中发挥着越来越重要的作用[1]。在社会经济生活中，大宗物资从产地调运到销地是经常碰到的事情，特殊企业生产的产成品的运出，需根据已有的交通网络图以及特定的车辆调价里程费来制定调运方案，将不同生产地的相同物资调运到各个销售地点，而使总的运输费用达到最小，效率最高。所谓的产销平衡就是指不同的生产地所生产的产品与各销售地所需的物资的总数量相同，再依据各产地到各销地的运价，从而确定总的运输方案使总费用达到最小，这就是产销平衡运输问题。

1.2 产销平衡运输问题的数学模型

假设有m个生产同一种物资的产地，用Ai（i=1，2，…，m）来表示，m个产地的供应量分别为ai（i=1，2，…，m）。有需求该物资的销地，用Bj（j=1，2，…，n）来表示，每个销地的需求量分别为bj（j=1，2，…，n）。该物资的产销平衡，即[2]：

令从Ai到Bj的该产品的运输量表示为xij，单位物资从Ai运到Bj的运价为cij。为使得总运费最小，在上述的产销平衡条件下，则可以求得以下数学模型[3]：

上述运输问题的线性规划数学模型，具有三个特征，即：①该问题的基变量有m+n-1个；②该问题一定有最优解；③如果ai，bj全是整数，则该问题一定有整数最优解[4]。

1.3 表上作业法求解平衡运输问题

所谓合理运输，就是按照货物的特点和合理流向以及运输条件，走最少的里程，经最少的环节，用最少的运力，花最少的费用，以最短的时间，把货物运到目的地[5]。在产销平衡的条件下，运输问题有m+n个约束方程，m×n个变量。综合运用公式（1）和（2）的条件，存在前m个约束条件之和与后n个约束条件之和相等，即[6]：

由于运输变量非常多，并且每个约束条件均为等式，求解过程很繁杂。我们可以用简化的单纯形法即表上作业法来求解运输问题。

表上作业法的具体计算步骤跟专业术语可以概括为以下几点：

①确定初始基变量可行解。按照一定的规则在运输表上确定基变量与非基变量。

②判别能否达到最优解。依据最优判定定理，计算非基变量的检验数，判断是否是最优方案。若不是，否则进入第三步。

③基变换。找出换入及换出变量，用闭回路调整法对解进行改进。

④重复②和③，直到找到最优解。

2 产销不平衡运输问题

2.1 供不应求运输问题

2.1.1 供不应求运输问题的表述

在产销平衡的基础上，若总产量低于总销量时，出现供不应求的运输问题，即

可以用以下数学模型来体现[7]：

在修正后得到平衡运输问题的前提下，用表上作业法进一步求解，进而得到供不应求运输问题的最优运输方案。

2.1.2 解决供不应求的具体方法

可以假想某个产地Am+1来供应原产地不能供应的产品，其产量，因为假想产地并没有生产该产品，也不能运到销地，所以从假想产地运到各个销地的运价为0。

修整后的运输问题的模型可以表示为[8]：

2.2 供过于求运输问题

2.2.1 供过于求运输问题的表述

基于前文提到供不应求的基本情况，不难得出供过于求即总产量大于总销量的运输问题，即：

供过于求运输问题的数学模型的表示[7]：

2.2.2 解决供过于求的具体方法

当出现供过于求的情况时，可以假想一存储地Bn+1来存储多余的物资，其存储量为：，因为各产地的产品实际并未运到该假想存储地，所以产品从各产地运到假想存储地的单位运价为0。

此时的运输问题模型为[8]：

在修正后得到平衡运输问题的前提下，用表上作业法进一步求解，从而得到供过于求运输问题的最优方案。

3 濮阳市立信化工有限公司产品运输的概述

濮阳市立信化工有限公司有三个生产地，用A1，A2，A3来表示这三个产地。其中A1的日产量为11吨，A2的日产量为5吨，A3的日产量为9吨。该化工厂有4个销售地，分别用 B1，B2，B3，B4来表示，其中 B1的日销售量为 3 吨，B2的日销售量为7吨，B3的日销售量为4吨，B4的日销售量为6吨。关于不平衡产销量的数据如表1所示。由于各产地到不同销售地的路程及行驶路线不同，所以各产地到各个销售地的单位产品的运价也不同，见表2。

表1 不平衡数据表 单位：t?

表2 单位产品运价表 单位：百元?

4 濮阳市立信化工有限公司产品运输所存在的问题

甲醛是有毒有害的物品。它容易在运输过程中引起泄露、燃烧、爆炸等。尽管有些人将有害物品运输风险定义为事故发生概率或者事故发生后的影响后果，但更普遍地被接受的是将风险定义为事故发生概率和事故影响后果的乘积[9]。甲醛的运输过程中需考虑多方面因素，由于甲醛为有害物品，在运输期间存在一定的风险，所以在路线选择中，要考虑行车成本以及风险等因素，使实现最小化行驶路程和在行驶过程中的最小化人口覆盖率。

除了考虑甲醛在运输过程中所存在的风险性。就上述案例而言，在多个产地和多个销地的情况下，首先要注意，总产量与总销量是否一致。濮阳市立信化工有限公司就此产销运输并未采取更为有效的运输方案，致使总的运输费用未能够得到减少。

5 提出相关存在问题的解决方案

5.1 产销不平衡转化为产销平衡

对于濮阳市立信化工有限公司的不平衡运输问题，应将产销不平衡建立在产销平衡上从而得出最优方案。该案例的日总产量为25吨，日总销量为20吨，可以明确得出此案例属于供过于求的运输问题。假想一个存储地B5来存储多余的产品，即存储量为5吨，产品从各产地运到假想存储地的单位产品运价为0。不难得出调整后的产销平衡表和各产地到各销售地及存储地的单位产品运价表。

5.2 确定初始基变量可行解

确定初始基可行解有很多方法，主要是最小元素法和伏格尔法。最小元素法即从运输表中的最小单位运价开始确定产销关系，尽量满足其供需量，并划去某一行或某一列。然后从剩余的单位运价中选择最小的，以此类推，直到给出初始可行解为止[8]。伏格尔法的基本思想就是求出最小运费与次小运费的差额，差额越大，表示该列或该行如果不按照最小运费调运时，运费会有所增加，所以最小运费调运方案在差额最大处取得。

与最小元素法比较，伏格尔法更靠近最优方案。在此，采用伏格尔法来求得初始基可行解更为有效。该案例运用伏格尔法的具体步骤及演示表如下：

步骤1：求出每行最小和次小价格差额和每列最小和次小价格差额，并列入表格。

步骤2：在求出的差额中行差额最大的值，选择最大差额所在的行或列中的最小元素，使其尽可能多的对应产量或销量的值。

步骤3：对已经满足销量的列或已经满足产量的行划掉，在其运量处分别用×来表示。其他的继续重复步骤1与步骤2，直至得出初始基可行解。

通过上述的伏格尔法的处理，得到的初始可行解，见表3。

表3 初始调运方案 单位：t?

得到总运费 Z=3×1000+4×300+4×1100+3×100+2×700+4×500+5×0=12300 元

5.3 最优解的判定

在得出初始基可行解后，需要判断其是否为最优解。因为运输问题是一种特殊的线性规划，因此可以用检验数来进行判断。当所有的检验数均大于等于0时，此时的解即为最优解。对最优解的判定方法主要有两种：闭回路法和位势法。闭回路法就是从某一非基变量的空格出发，沿水平方向或垂直方向进行划线，如遇到基变量所在的数字格可以朝任意方向转弯90°（也可以直接穿过数字格）直到初始格为止，此时初始空格和拐角的数字格共同构成了闭回路。

位势法相比于闭回路法更为实用，在此运用位势法来进行最优解判定。位势法的具体求解检验数的步骤如下所示：

步骤1：在产销平衡表的右端添加一列，为行位势，用来表示，在表的下端添加一行，为列位势，用来表达。

步骤 2：令 u1=0，利用基变量检验数为 0，即。由基变量的cij和u1=0可知，得出其他位势值：v4=11，v5=5。

步骤3：按照进行计算得到非基变量的检验数，即。

5.4 解的改进——闭回路调整法

对上述的非基变量检验数进行分析，可知。所以该方案不是最优解，应该继续计算，改进的方法为闭回路调整法，改进的步骤如下：

步骤1：选出进基变量。通常情况下，选择最小值所对应的x1k作为进基变量。，因此，选定x15为进基变量。

步骤2：对出基变量进行确认。以x15为起始点找出由原基变量所形成的闭回路。以x15为起点，沿着任意方向对于闭回路拐角处的变量按顺序标注“+”与“-”。关于标有“-”的基变量中，选用运量最小的变量作为出基变量，其运量标记为θ。

步骤3：基变换。在步骤2的基础上，对于标有“+”的格加上θ，对于标有“-”的格减去θ。由此得到了新的可行解。调整后结果见表4。

步骤4：判优。对得出的非基变量检验数进行正负性判断。（表 4）

由于计算过程类似，接下来的最优解判定及改进计算不做详细介绍。进一步通过上述的算法步骤再次对解进行改进，共进行了三次，得到最优方案。如表5所示。

总运费 W=3×100+2×1000+5×500+4×300+2×700+4×500+5×0=9400 元

与未调整前总运输费用节省Z-W=12300-9400=2900元。

表4 闭回路调整后运输表 单位：t?

表5 最优调运方案 单位：t?

6 结语

濮阳市立信化工有限公司对于产销不平衡运输总费用为12300元。我经过一系列的优化调配，得出的最优调配方案运输总费用为9400元。两者相比，优化后的方案相比此公司的方案节省费用2900元，节省23.6%。本文以产销平衡的具体运用为基础，进而来解决更加接近于实际的产销不平衡运输问题。通过对不平衡运输问题的探讨，解决了更加有效率的最优调运方案，对以后的运输调配的决策管理起到了很大的作用。在通过对濮阳市立信化工有限公司此次产销不平衡运输问题的调运方案分析，使我对运输问题的相关知识更加深入地学习以及加以运用。对于平衡问题，首先建立相关数学模型，再运用表上作业法进行解决。如果是产销不平衡运输问题，应该先将其转化为平衡问题，再运用产销平衡问题的相关解决方法进行分析。供过于求，为使其转化为产销平衡，则需虚拟一销地；若出现供不应求，则需要虚拟一产地，将其转化为产销平衡。

以运筹学中的表上作业法求初始基可行解，位势法对最优解进行判定，闭回路调整法对解进行改进为基础，该案例计算结果中的最优调配方案与实际的调配方案相比，更加表明此方法对实际工作的决策有着重要意义，对以后关于运输相关方案的解决起到借鉴作用。我们应加快对运筹学相关知识的研究，更好地发展我国的物流运输领域。

参考文献：

【相关文献】

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[6]《 运筹学》教材编写组编.运筹学[M].三版.北京：清华大学出版社，2005/06.

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