...统一考试新高考仿真模拟卷数学(一)Word版含解析

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． ． ． ．

2．已知复数z满足，则复数z的实部与虚部的和为（    ）

A．1 ． ． ．

3．的展开式中，的系数为（    ）

A． ． ． ．

4．已知，则（    ）

A． ． ． ．

5．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，，）（    ）

A． ．

C． ．

6．已知是定义域为R的奇函数，满足，则（    ）

A．2 ．1 ． ．0

7．在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（    ）

A．4π ．8π ． ．

8．已知抛物线C：，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为，，且，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（    ）

A． ． ． ．

二、多选题

9．已知函数的图像关于直线对称，则ω的取值可以为（    ）

A．2 ．4 ．6 ．8

10．在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（    ）

A． ．

C． ．

11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（    ）

A．事件A发生的概率为 ．事件B发生的概率为

C．事件C发生的概率为 ．

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．若，则函数为奇函数

B．函数有极值的充要条件是

C．若函数f（x）有两个极值点，，则

D．若，则过点作曲线的切线有且仅有3条

三、填空题

13．已知样本数据，，2，2，3，若该样本的方差为，极差为t，则______．

14．已知圆：与直线：，写出一个半径为，且与圆及直线都相切的圆的方程：______．

15．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，过F作x轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B，若直线AB的斜率为，则该椭圆的离心率为______．

16．已知f（x）是偶函数，当时，，则满足的实数x的取值范围是______．

四、解答题

17．已知数列是等差数列，成等比数列，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求证：．

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)判断的形状；

(2)若，D在BC边上，，求的值．

19．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)若，求四棱锥的体积；

(3)求直线与平面所成角的正弦值．

20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．

(1)求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；

(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．

21．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．

(1)求此双曲线的方程；

(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．

22．已知函数，．

(1)当时，求f（x）的单调区间；

(2)当时，求证：函数f（x）有3个零点．

参：

1．B

【分析】化简集合和，即可得出的取值范围.

【详解】解：由题意

在，中，

，

∴

故选：B.

2．D

【分析】根据复数的运算法则求出复数，则得到答案.

【详解】

，，

故实部与虚部的和为，

故选：D.

3．C

【分析】根据二项式定理可求得展开式通项，由此可确定，结合多项式乘法运算进行整理即可确定的系数.

【详解】展开式的通项公式为：；

当时，；当时，；

的系数为.

故选：C.

4．A

【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除，代入可得答案.

【详解】

,

故选：A.

5．C

【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.

【详解】下端圆柱的体积为：，

上端圆台的体积为：，

所以该何尊的体积估计为.

因为最接近，

所以估计该何尊可以装酒.

故选：C

6．D

【分析】根据函数是定义域为R的奇函数，且得出函数是周期为的周期函数，进而求解.

【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，且，

所以，所以，

即函数是周期为的周期函数，

因为函数是定义域为R的奇函数，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

故选：.

7．C

【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.

【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，

如图①所示：

取的中点，连接，连接交于，

由，

则在等腰中有：，

又平面平面，且平面平面ABCD=，

则平面，

又，

所以在中，

，

由底面为正方形，

所以它的外接圆的圆心为对角线的交点，

连接，则，

外接圆的圆心为，且在上，

过点，分别作平面与平面的垂线，

则两垂线必交于点，点即为四棱锥外接球的球心，

且平面，

又平面，即平面，

所以，

所以四边形为矩形.

如图②连接，则，

在中，，

所以，

解得，

所以，

所以，

在图①中连接，

由，

所以在中，

，

即四棱锥外接球的半径为，

所以四棱锥外接球的表面积为：

，

故选：C.

8．D

【分析】设出A、B的坐标，由解得的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得的式子，研究恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.

【详解】设，，则，，

∴

∴，

∴设： ，令得：，∴，

同理：

∴，

设：，

，，，

又∵，

∴，解得：，

∴：恒过点，

∴与x轴交点P的坐标为，即：，

∴点P到准线的距离为8+1=9.

方法1：，当且仅当时取等号.

∴ ，

∴△PMN的面积的最小值为.

方法2：

∵ ∴，当且仅当m=0时取得最小值.

∴ ，

∴△PMN的面积的最小值为.

故选：D.

9．AD

【分析】首先将函数化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得的表达式，对整数赋值求得结果.

【详解】，

因为函数的图象关于直线对称，

所以，Z，解得， 

因为，所以当时，；所以当时，.

故选：AD.

10．ABD

【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.

【详解】四边形为菱形，，

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

，，，，

，，，，，

对于A，，，A正确；

对于B，，，，B正确；

对于C，，，，C错误；

对于D，，，，D正确.

故选：ABD.

11．ABC

【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.

【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：

这3个球都是红球的基本事件数为：，

所以事件A发生的概率为：，故A错误，

这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：

，

所以事件B发生的概率为：，故B错误，

这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：

，

事件C发生的概率为,故C错误，

因为，

所以由条件概率公式得：，

故D正确，

故选：ABC.

12．BCD

【分析】对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；对于C：先求出，表示出，即可求出；对于D：设切点，由导数的几何意义得到.设，利用导数判断出函数有三个零点，即可求解.

【详解】对于A：当时，定义域为.

因为，

所以函数不是奇函数.故A错误；

对于B：函数有极值 在上不单调.

由求导得：.

在上不单调在上有正有负.

故B正确.

对于C：若函数f（x）有两个极值点，，必满足，即.

此时，为的两根，所以.

所以.

所以

对称轴，所以当时，.

即.故C正确；

对于D：若时，.

所以.

设切点，则有：， 

消去，整理得：

不妨设，则.

令，解得：或；令，解得： .

所以在，上单调递增，在上单调递减.

所以，

.

所以作出的图像如图所示：

因为函数有三个零点，所以方程有三个根，所以过点作曲线的切线有且仅有3条.故D正确.

故选：BCD.

13．##0.7

【分析】根据极差的定义可得，先求出平均数，再从方差，从而可求.

【详解】极差，平均数为，

故方差.

所以.

故答案为:.

14．(答案不唯一)

【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.

【详解】设圆心为,由已知圆与直线：相切, 圆与圆：相切,

可得,即得或或,

且已知半径为,

所以圆的方程可以为: 或或

故答案为: (答案不唯一)

15．##0.5

【分析】由题意设，，再由结合，即可得出答案.

【详解】由题意可得，，，

令椭圆中，解得：，

所以，而，则，

解得：.

故答案为：.

16．

【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.

【详解】当时，，函数在上单调递增，∴，又是偶函数，所以的值域为.

当时，，不等式为，即，

设，由函数，，在上都是增函数， 得在上是增函数，由，则解得；

当时，由函数值域可知，此时，所以恒成立；

综上可知，满足的实数x的取值范围是.

故答案为：

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得，进而确定；

（2）利用裂项相消法可求得，整理即可证得结论.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

成等比数列，，即，

又，则由得：或，

当，时，，不满足成等比数列，舍去；

，，.

（2）由（1）得：，

，

.

18．(1)直角三角形

(2)

【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；

（2）由（1）中结论即可得到，从而得到的值，然后在中结合余弦定理即可得到结果.

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

即

所以

且，所以

即是直角三角形.

（2）在直角中，有，即，所以，

又因为，所以

且，

在中，由余弦定理可得，

解得，

在中由余弦定理可得，

19．(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，计算出的长以及四边形的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积；

（3）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：连接交于点，连接，则为的中点，

因为、分别为、的中点，则，

因为平面，平面，平面.

（2）解：因为，则，，

，即，

过点在平面内作，垂足为点，

因为平面，平面，，

又因为，，、平面，平面，

由等面积法可得，

因为平面，平面，，

又因为且，故四边形为矩形，

所以，，

.

（3）解：不妨设，因为，平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

因为，则，

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)

(2)分布列见解析；期望

【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；

（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.

【详解】（1）名学生的平均成绩为.

（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，

抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

21．(1)

(2)或

【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程；

（2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程.

【详解】（1）设，，则，，

，解得：，；

又在双曲线上，则，，，

双曲线的方程为：.

（2）由（1）得：，，

，三点共线，

直线斜率显然存在，可设，，，

由得：，

，即且，

，，

，，又，，

，

解得：，满足且，

直线方程为：或.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.

22．(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

(2)证明过程见详解

【分析】(1) 因为，所以函数，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；

(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数在和上单调递增，在上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.

【详解】（1）因为，所以函数，

所以，

当或时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减；

综上：函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为.

（2）因为函数，

所以，

令可得：或，因为，所以，

当或时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减；

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取极大值，

因为当时，；

所以，使得；

当时，函数取极小值，

，（因为，所以，因为，所以，也即）

所以，使得；

又当时，，所以，使得；

故当时，函数有3个零点.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．