复变函数基本定义

邻域－定义1.1　点的邻域指： 

聚点、内点、孤立点－定义1.2　给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。 若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。

开集、闭集－定义1.3　若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。

有界性－定义1.4　点集称为有界集，若使有。

区域－定义1.5　非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。 

闭域－定义1.6　区域加上它的边界称为闭域，记为：。

约当曲线－定义1.7　设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程

所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点 。 

单连通区域－定义1.8　设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。 

复变函数－定义1.9　设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。 若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。

复变函数的极限－定义1.10　设，为的聚点。若存在一复数，使，， 只要，就有 

则称沿于有极限，并记为。 

连续函数－定义1.11　设子点集上有定义，为的聚点，且。若 

即对任给的，，只要，，就有 

则称沿于连续。

复球面　复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。

无穷远点　考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。 

主要定理

约当定理－定理1.1　任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足

　（1）彼此不交

　（2）是一个有界区域（称为的内部）

　（3）是一个无界区域（称为的外部）

　（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。

极限的计算定理－定理1.2　设函数于点集上有定义，，则 

的充要条件是 

连续函数定理－定理1.3　设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。

一致连续定理－定理1.4 设函数在有界闭集上连续，则 

　（1）在上有界，即，使。 

　（2）在上有最大值与最小值。 

　（3）在上一致连续。即 ，使对上满足的任意两点及，均有 

定义

复变函数的导数－定义2.1　设函数在点的某邻域内有定义，考虑比值 

若当（或）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的导数，记为。即 

　　　　　　　　　。 （2.1） 

此时称在点可导。

解析函数－定义2.2　如果函数在区域内可微，则称微区域内的解析函数，或称在区域内解析。

奇点－定义2.3　若在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析点，则称为的奇点。

复指数函数－定义2.4　对于任何复数规定复指数函数为 

　　　　　　　　　。 

易知，复指数函数有下列性质： 

　（1） 它是实指数函数的自然推广 

　（2） 。 

　（3） 在平面上处处解析，且。 

　（4） 加法定理成立，即。 

　（5） 是以为基本周期的周期函数。 

　（6） 极限不存在。

三角函数－定义2.5　称 

分别为复数的正弦函数和余弦函数。 

　　复正弦函数和余弦函数有以下性质： 

　（1） 它们是实函数情形的推广 

　（2） 均处处解析，且 

　　　　　　　　　。 

事实上， 

同理，可证另一个。 

　（3） 是奇函数，是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如 

　（4）均以为周期 

　（5）的零点为 

的零点为 

　（6）不再是有界函数。

正切、余切－定义2.6　称 

分别为的正切、余切、正割与余割函数。 

这四个函数在其分母不为零的点处解析且 

双曲函数－定义2.7　规定 

并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。 

根式函数－定义2.8　规定根式函数为幂函数的反函数。

对数函数－定义2.9　规定对数函数是指数函数的反函数。即若 

则复数称为复数的对数，记为。 

主要定理

可微的必要条件－定理2.1（可微的必要条件） 设是定义在区域上的函数；且在内一点可微，则必有：偏导数在点存在；且满足柯西-黎曼条件，即 

可微的充要条件－定理2.2（可微的充要条件）　设是定义在区域上的函数。则在内一点可微的充要条件是： 

　（1） 在点可微； 

　（2） 在点满足柯西-黎曼条件。 

此时，有： 

　　　　　　　　　　　（2.7）

定义

复积分－定义3.1　设有向曲线： 

以为起点，为终点，沿有定义，顺着从到的方向在上取分点： 

把曲线分成若干个弧段（图3.1*9）。在从到的每一弧段上任意取一点。作成和数 

其中当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿（从到）的可积，而称为沿（从到）的积分，并以记号表示 

称为积分路径。表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分。 

不定积分－定义3.2　在区域内，如果连续，则称合条件 

的函数的一个不定积分或原函数。

复围线－定义3.3　考虑条围线其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部。在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的多连通区域，以为它的边界。在这种情况下，我们称区域的边界是一条复围线，它包括取正方向的，以及取负方向的换句话说，假如观察者沿复围线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边（图3.10是的情形）。

调和函数－定义3.5　如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。

共轭调和函数－定义3.6　在区域内满足条件 

　　　　　　　　　， 

的两个调和函数中，称为在区域内的共轭调和函数。（虚部是实部）

主要定理　 

积分估值定理－定理3.2（积分估值）　若沿曲线，连续，且有正数使,为之长，则 

　　证　由不等式 

　　　　　　　　　， 

取极限即得证。 

柯西积分定理－定理3.3　设在平面上的单连通区域内解析，为内任一条围线，则 

要证明这个定理是比较困难的。

牛顿－莱布尼兹公式－定理3.8　在定理3.6或定理3.7的条件下，如果是在单连通区域内的任意一个原函数，则 

　　　　　　　　　。

复围线的柯西积分定理－定理3.10　设是由复围线所围成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则 

或写成（等号是加号）　　　　　　， 

或写成　　　　　　。 

柯西积分公式－定理3.11　设区域的边界是围线（或复围线），在内解析，在上连续，

则有

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(3.2) 

这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 

平均值定理－定理3.12　如果函数内解析，在闭圆上连续，则 

即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。 

证　设表圆周，则 

或　　　　　　　　 

由此　　　　　　　， 

根据柯西积分公式 

　　　　　　　　　　　　。

无穷可微性定理－定理3.13　在定理3.11的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有 

　　　　　　　　　 (3.5) 

解析函数的第二判据－定理3.15　函数 在区域内解析的充分必要条件是 

　　（1）在内连续； 

　　（2）在内满足条件。

刘维尔定理－定理3.16　刘维尔定理　有界整函数必为常数。

摩勒拉定理－定理3.17　若函数在单连通区域内连续，且对内的任一围线，有 

　　　　　　　　　　 ， 

则在内解析，

解析函数的第三判据－定理3.18　在区域内解析的充要条件是： 

　（1）在内连续； 

　（2）对任一围线，只要及其内部全含于内，就有 

　　　　　　　　　。

 定义 

复数及级数－定义4.1 对于复数项的无穷级数 

　　　　　　　　　， 　　　　　　　（4.1） 

命 （部分和）。若复数列 以有限复数为极限，即若 

　　　　　　　　　， 

则称复数项无穷级数（4.1）收敛于 ，且称为级数（4.1）的和，写成 

　　　　　　　　　； 

若复数列无有限极限，则称级数（4.1）为发散。 

绝对收敛、条件收敛－定义4.2　若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。

复函数项级数－定义4.3　设复变函数项级数 

　　　　　　　　　　　　　　（4.2） 

的各项均在点集上有定义，且在上存在一个函数，对于上的每一个点 ，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为 

　　　　　　　　　。

一致收敛－定义4.4　对于级数（4.2），如果在点集上有一个函数，使对任意给定的，存在正整数，当时，对一切的均有 

　　　　　　　　　， 

则称级数（4.2）在上一致收敛于。

内闭一致收敛－定义4.5　设函数定义于区域内，若级数（4.2）在内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在内内闭一致收敛。 

泰勒级数－定义4.6　定理中的级数称为在点的泰勒展式，（4.4）称为其泰勒系数。

零点－定义4.7　设在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。 

主要定理

复级数收敛的判据－定理4.1　设，及为实数，则复数级（4.1）收敛于的充要条件为：实级数及分别收敛于及。 

柯西收敛准则－定理4.2 （柯西收敛准则）　复数级（4.1）收敛的充要条件为：对任给，存在正整数，当且为任何正整数时 

　　　　　　　　　。 

收敛的充分条件－定理4.3　复数级（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛。 

柯西一致收敛准则－定理 4.4 （柯西一致收敛准则）　级数（4.2）在点集上一致收敛于某函数的充要条件是：任给，存在正整数，使当时，对一切，均有 

　　　　　　　　　。

优级数准则－定理4.5 （优级数准则）　若存在正数列，使对一切，有 

　　　　　　　　　， 

而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。 

级数连续定理－定理4.6　设级数的各项在点集上连续，且一致收敛于，则和函数 

也在上连续。 

逐项积分定理－定理4.7　设级数的各项在曲线上连续，并且在上一致收敛于，则沿可以逐项积分： 

内闭一致收敛判据－定理4.8　级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件为：对任意正数，只要,级数（4.2）在闭圆上一致收敛。 

维尔斯特拉斯定理－定理4.9　设（1）在区域内解析， 

　　　　　　　　（2）在内内闭一致收敛于函数： 

　　　　　　　　　， 

则（1）在区域内解析。 

　（2）　。 

阿贝尔（Abel)定理－定理4.10　如果幂级数（4.3）在某点收敛，则它必在圆（即以为心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。 

收敛半径的计算公式－定理4.12　如果幂级数的系数合于 

　　　　　　　　　，（达朗贝尔（D’Alembert） 

或　　　　　　　　，（柯西） 

或　　　　　　　　，（柯西－阿达玛） 

则幂级数的收敛半径 

幂级数和的解析性－定理4.13　（1）幂级数 

的和函数在起收敛圆内解析。 

（2）在内，幂级数（4.4）可以逐项求导至任意阶，即 

。 

(3)　　　　　　　 

泰勒公式－定理4.14（泰勒定理） 设在区域内解析，，只要 含于,则在内能展成幂级数 

　　　　　　　　　， 

其中系数 

　　　　　　　　　。 （4.4） 

且展式是唯一的。 

解析函数的第四判据－定理4.15　在区域内解析的充要条件为： 在内任一点的邻域内可展成的幂级数，即泰勒级数。 

收敛圆周上的性质－定理4.16　如果幂级数的收敛半径,且 

则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。

m级零点的判据－定理4.17　不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为： 

　　　　　　　　　， 

其中在点的邻域内解析，且。 

零点的孤立性－定理4.18　如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。） 

唯一性定理－定理4.20（唯一性定理）　设（1）函数和在区域内解析； 

（2）内有一个收敛于的点列，在其上和等值，则 和在内恒等。 

最大模原理－定理4.23（最大模原理）　设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。

定义

罗朗级数－定义5.1 （5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。

孤立奇点－定义5.2　若在奇点的某一去心邻域内解析，则称为的一个孤立奇点。 

　　若为的一个孤立奇点，则必存在函数，使在的去心邻域内可展成罗朗级数。 

可去奇点、极点、本性奇点－定义5.3　设是的孤立奇点， 

　（1） 若主要部分为0，则称是的可去奇点。 

　（2） 若主要部分为有限多项，则称是的极点，此时主要部分的系数必满足，，此处称为极点的级，亦称为级极点。 

　（3） 若主要部分有无限多项，则称是的本性奇点。 

无穷远点的孤立奇点性－定义5.4　设函数在无穷远点（去心）邻域 内解析，则称为的一个孤立奇点。 

主要定理

双边幂级数的解析性－定理5.1　设双边幂级数 

的收敛圆环为 

则　　（1）（5.1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于 

　　　（2）在内解析 

　　　（3） 级数在内可逐项求导任意次。 

罗朗定理－定理5.2（罗朗定理） 在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数 

　　　　　　　　　(5.2) 

其中　　　　　　　 　（5.3） 

且展式唯一。

可去奇点判据－定理5.3　设为的孤立奇点，则下述等价： 

　（1） 在的主要部分为0； 

　（2） 

　（3）在点的某去心邻域内有界。 

极点判据－定理5.4　若以点为孤立奇点，则下述等价 

　（1）是级极点，即主要部分为 

　（2）在点的去心邻域内有 

且解析且

　（3） 以为级零点。 

本性奇点判据－定理5.6　的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是 

即不存在。 

毕卡定理－定理5.8　若为的本性奇点，则对任意数（可以是），都有一个收敛于 的点列，使 

定义

残数－定义6.1　设以为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分　　　 

为在点的残数（residue），记作 

为罗朗展式中那项的系数 

无穷远点的残数－定义6.2　设为的一个孤立奇点，则称 

为在残数。若在内的罗朗展式为 

则

主要定理

柯西残数定理－定理6.1 （柯西残数定理）　在围线或复围线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则 

极点的残数计算－定理6.2　若为级极点，则，，则 

极点的残数计算－定理6.3　若为一级极点，

则　　　　　　　　 

极点的残数计算－定理6.4　若为二级极点 

极点的残数计算－定理6.5　若为的一级极点，则 

残数总和为零定理－定理6.6　若在扩充平面上只有有限个孤立奇点，设为，则残数总和为0 

有理分式的广义积分定理－定理6.7　设为有理积分式，其中 

为互质多项式，且满足： 

　（1） 

　（2）在实轴上（即无实根） 

则有　　　　　　　

上式中为的在上半平面的根。 

广义积分计算定理－定理6.8　设，其中及是互质多项式，且满足 

　（1）的次数比高； 

　（2） 在实轴上

　（3） 是

则有　　　　　　 

辐角原理－定理6.9　设是一条围线，满足： 

（1）在的内部除可能有极点外是解析的。 

（2）在上解析且不为零。 

则有 

其中与分别表示在内部的零点与极点的个数（一个级零点，而一个级极点算作个极点）。 

儒歇定理－定理6.10（儒歇定理） 设是一条围线，函数及满足条件： 

　（1） 它们在的内部均解析，且连续到； 

　（2） 在上， 

则函数与在的内部有同样多（几级算作几个）的零点，即