七升八暑假衔接资料

暑

期

七

升

八

衔

接

班

讲

义

第一讲：相交线与平行线

一、知识框架

二、典型例题

1.下列说法正确的有(     )

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;

④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

 个 个 个 个

2.如图所示,下列说法不正确的是(毛

A.点B到AC的垂线段是线段A点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点D到BC的垂线段;线段BD是点B到AD的垂线段

3.下列说法正确的有(     )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

 ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

 ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

  A.1个 个 个 个

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，

这两次拐弯的角度可能是（     ）

 A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°     B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°

 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°    D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°

5．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_________.

6．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有(    )

A.6个 个 个 个

7．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？

8. 如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠AOE＝2∠AOC，∠COF＝3∠AOE，

求∠BOE的度数

9． 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你证明所得的四个关系.

             (1)              (2)                      (3)           (4)

10．如图，若AB//EF，∠C= 90°，求x+y-z 度数.

11．已知：如图， 

 求证： 

12.已知：如图,CD//EF,∠1+∠2=∠ABC,求证:AB//GF 

三、当堂练习：

1、如图，直线AB与CD交于O点，∠AOC＝25°，则∠BOD＝   °，∠BOC＝    °  

2题图

1题图

2、如图，直线AB与CD交于O点，∠2－∠1＝20°，则∠1=    °，∠2=     °

3、如图，直线AB与直线CD交于点O，OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，

则∠AOD的对顶角是          ；∠AOD的邻补角                      ；

∠BOD＝     °

4、如图，作出（1）点C到AB的垂线段CD；（2）点B到AC的垂线段BE；

5、如图，点O为直线CD上一点，OA ⊥OB，∠AOD＝55°，则∠BOC＝   °，∠AOC＝      °

6、如图，直线AB、CD、EF交于点O，AB⊥CD，∠AOG=∠EOG，∠FOD=20°，求∠AOG

7、如图，AB//CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F, ∠CFE＝∠E。求证：AD//BC。

第二讲：平面直角坐标系

一、知识要点：

1、特殊位置的点的特征

（1）各个象限的点的横、纵坐标符号

（2）坐标轴上的点的坐标： 轴上的点的坐标为      ,即      坐标为0;

轴上的点的坐标为     ，即     坐标为0;

根据点所在位置，用“+”“-”或“0”填表：

点的位置	横坐标符号	纵坐标符号
在第一象限	+	+
在第二象限
在第三象限
在第四象限
在x轴的正半轴上
在x轴的负半轴上
在y轴的正半轴上
在y轴的负半轴上
原     点

2、具有特殊位置的点的坐标特征

设、

（1）平行x轴， （2）平行于y轴

（3）位于一、三象限角平分线 （4）位于二、四象限角平分线

3、距离

（1）点A到轴的距离：点A到轴的距离为    ；点A到轴的距离为   ；

（2）同一坐标轴上两点之间的距离：

A、B，则AB=         ；A、B，则AB=          ；

二、典型例题

1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy<0 , 则点M的位置(         )

 A．第二、第三象限 ．第三、第四象限 

 C．第二、第四象限 ．第一、第四象限

2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（    ）

 A．x轴正半轴上      B．x轴负半轴上     C．y轴正半轴上     D．y轴负半轴上

3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（    ）

 A．第一象限          B．第二象限        C．第三象限         D．第四象限

4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（     ）

 A．（-1，-2）         B．（1，2）         C．（-1，2）         D．（-2，1）

5．如果点M（1-x，1-y） 在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第_____象限，点Q（x-1，1-y）在第_____象限．

6．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置，用(3，9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为（ ）

 A．(8，7．(7，8．(8，9．(8，8)    

7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），

（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（ ）

A．（3，7） ．（5，3） ．（7，3） ．（8，2）

8．已知点P（x,），则点P一定 （ ）

 A．在第一象限 ．在第一或第四象限 C．在x轴上方 ．不在x轴下方

9．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（    ）

    A．（2，2），（3，4），（1，7）    B．（-2，2），（4，3），（1，7）

    C．（-2，2），（3，4），（1，7）   D．（2，-2），（3，3），（1，7）

10．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面积．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2=0．

（1）求a，b的值；

（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；

（3）在（2）条件下，当m=﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

三、当堂练习

1. 点在第       象限，点在第      象限点.在第      象限，点在第         象限.点在      ，点在         

2.按照下列条件确定点位置：

⑴ 若x=0,y≥0，则点P在                     ⑵ 若xy=0，则点P在                     

⑶ 若，则点P在                  ⑷ 若，则点P 在                       

    ⑸ 若，则P在                             

3.到轴距离为2，到轴距离为3的坐标为        ，M在坐标轴上，则点M坐标为           

4. 如图，在方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C的个数有        个

5．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为  

（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）．

（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?

（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，

横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

6. 已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2-x1|或|y2-y1|．

（1）已知A（2，4）、B（-3，-8），试求A、B两点间的距离；

（2）已知直线AB平行于y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，试求A、B两点间的距离．

（3）已知A（0，6）、B（-3，2）、C（3，2），你能判断线段AB、BC、AC中哪两条是相等的？并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】

7.如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD，AB∥y轴，点A（1，1），点C（a，b），满足+|b﹣3|=0．

（1）求长方形ABCD的面积．

（2）如图2，长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点E从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．

①当t=4时，直接写出三角形OAC的面积为　 　；

②若AC∥ED，求t的值；

（3）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．

①若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为　 　  ，点A2014的坐标为     　；

②若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为　          　．

8.射线AD、BE和线段BC、AC交于点A、B、C。

　　（1）如图1，BC∥AD，∠CBE＝∠CAD，求证：AC∥BE

　　（2）在（1）的条件下，如图2，AM、BN分别平分∠CBE、∠CAD，求证：AM∥BN

　　（3）当（1）中的条件不成立，AM、BN分别平分∠CBE、∠CAD，探究当∠CBE、∠CAD与∠ACB满足什么关系时，结论AM∥BN仍然成立，并说明理由。21cnjy.com

第三讲：二元一次方程组

一、相关知识点

1、二元一次方程的定义：

2、二元一次方程的标准式： 

3、二元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对和的值，叫做这个方程的一个解．

4、二元一次方程组的定义：

5、二元一次方程组的解：

二、典型例题

1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（　 　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 

2．有这样一道题目：判断是否是方程组的解？

小明的解答过程是：将，代入方程，等式成立．所以是方程组的解．小颖的解答过程是：将，分别代入方程和中，得，．所以不是方程组的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？

3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（  ） 

A．k=-4             B．k=4            C．k=-3              D．k=3

4．解方程组(用三种方法：代入法，加减法，整体消元法)

5．字母系数的二元一次方程组．

已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝－10，求式子m2－2m＋1的值．

6. 如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，求一块巧克力的质量是多少g.

7．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。

⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：

第1排的座位数	第2排的座位数	第3排的座位数	第4排的座位数	……
a	a＋b	a＋2b		……

⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？



8.某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．

    （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；

    （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？

    （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．

9.张老师请朋友去新开张的一火锅店吃饭，该火锅店开业酬宾加啤酒促销，推行两种消费方式：一种不收火锅锅底费，荤菜每份10元，素菜每份3元，啤酒免费；另一种收取28元火锅锅底费，荤菜每份12元，素菜免费，啤酒免费且每喝一瓶啤酒倒抵本次消费现金4元．张老师和朋友荤、素、啤酒都点了，吃完后结账时发现：用这两种方式计算均需付100元，则张老师与他朋友共喝了          瓶啤酒．

三、当堂练习：

1、若关于x的二元一次方程kx+3y=5有一组解是，则k的值是(    )

A.  1      B.  -1      C.  0     D.  2

2、已知x,y的值：①②③④其中是二元一次方程2x-y=4的解的是(  )

A、①     B、②     C、③     D、④

3、二元一次方程x+2y=12在正整数解有(   )组.

A. 3     B.  4     C.  5     D.  无数

4、在二元一次方程3x - 2y =4中，当x =6时，y =_______

5、已知方程8x-7y=10，用含x的式子表示y，则y=_______.

6、已知方程是二元一次方程，则m+n=_______.

7、如右图，设∠1=x°,∠2=y°,且∠1的度数比∠2的度数的2倍多10°，则可列方程组为_________________。

8、已知是关于x,y的二元一次方程组的解，则a=_____,b=_______.

9、下列二元一次方程组以为解的是

A.   B.  C.   D. 

10、解方程组：

                                         

11、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③

把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=-1 

把y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为．

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组

（2）已知x，y满足方程组

求的值

第四讲：一元一次不等式

一、知识链接：

1．不等式的基本性质

性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向         。

若a>b，则a+c     b+c（a-c      b-c）。

性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向       。

若a>b且c>0，则ac         bc。

性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向         。

若a>b且c<0，则ac      bc。

2.不等式的解与不等式的解集：

3．一元一次不等式的定义：

4．一元一次不等式的标准形式 

一元一次方程的标准形式：（）或（）。

5．一元一次不等式组的解集：

二、典型例题：

1．下列关系不正确的是（ ）

A．若，则 ．若，则

C．若，则 ．若，则

2．已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ）

A． ．  ． ． 

3．下列判断不正确的是（ ）

A．若，则 ．若，则

C．若，则 ．若，则

4．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（    ）

A、a≥0     B、a≤0     C、a＞0     D、a＜0

5．下列不等式中，是一元一次不等式的是(     )

A.     B.     C.     D. 

6.关于x的方程的解是非负数，那么a满足的条件是       

7．解不等式组

8．若不等式组的解是x>3，则m的取值范围是                

9． 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是                

10．已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围.

11．国庆节期间，电器市场火爆．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：                                                       

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）

（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

类　别	电视机	洗衣机
为进价（元/台）	1800	1500
售价（元/台）	2000	1600

三、当堂练习：                    姓名：           

1.平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，x的取值范围是              

2.用a＞b，用“＜”或“＞”填空：

⑴ a＋2   b＋2  ⑵ 3a   3b ⑶ －2a   －2b⑷ a－b   0 ⑸ －a－4   －b－4 

3. 用“＜”或“＞”填空：

⑴若a－b＜c－b，则a  c  ⑵若3a＞3b，则a  b⑶若－a＜－b，则a  b ⑷若2a＋1＜2b＋1，则a  b

4.已知＞b，若＜0则   b，若＞0则   b；

5. 不等式10(x－4）＋x≥－84的非正整数解是_____________

6. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

 

7.  m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.

8.有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗?

9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？

             原料名称

饮料名称	甲	乙
A	20克	40克
B	30克	20克

10.阅读下列材料：

解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：

解∵x﹣y=2，∴x=y+2

又∵x＞1，∴y+2＞1．

∴y＞﹣1．

又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0． …①

同理得：1＜x＜2．  …②

由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2

∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2

请按照上述方法，完成下列问题：

（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　     　．

（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．

第五讲：与三角形有关的线段

一、相关知识点

1．三角形的概念

☑不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

☑三角形的表示方法

三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”

三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

2.三角形的边

三角形三边定理：                                  

即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）

由上式可变形得到： a>c－b，b>a－c，c>b－a

即有：                       

例：有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

 (1)3，5，8；     (2)5，6，10；         (3)5，6，7.       (4)5,6,12

2．高

由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

3．中线：

连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线

4．角平分线

三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线

二、典型例题：

例1：三边关系

已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是(       )

    A.1用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

例：三角形的三条重要线段

三角形的高

(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）

(2)几何语言：

[练习]

画出、、三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.

                                                                

                                                  

AB边上的高是线段____    AB边上的高是线段____         AB边上的高是线段____

BC边上的高是_________   BC边上的高是_________        BC边上的高是_________

AC边上的高是_________   AC边上的高是_________        AC边上的高是_________

[辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________

[探究] 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画

【结论】________________________________________

三角形的中线

（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线

[练习]

画出、、三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.

                                                                

                                                  

AB边上的中线是线段____   AB边上的中线是线段____    AB边上的中线是线段____

BC边上的中线是_________  BC边上的中线是_________   BC边上的中线是_________

AC边上的中线是________   AC边上的中线是_________   AC边上的中线是_________

图中有相等关系的线段：___________________________________________________

几何语言：

[探究1]观察△ABC的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 

【结论】_________________________________

[探究2]如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？

【结论】__________________________________________

【例】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。

三角形的角平分线

（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.

[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________

几何语言：

[自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：

(1)BD=______=________；  (2)BC=2_______=2_______；

(3)∠BAE=_______=_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90

三、当堂练习：

1、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三角形的有                     

2、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（　　）

A．△ABC中，AC是BC边上的高          B．△BCD中，DE是BC边上的高

C．△ABE中，DE是BE边上的高           D．△ACD中，AD是CD边上的高

3、如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，填空：

（1）BD＝________＝________;

（2）∠BAE＝________＝________；

（3）∠AFB＝________＝90°；

（4）∠B的余角是________，∠C与________互余；

（5）S△ABC＝________，S△ABD________S△ADC＝________．

4、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______

5、如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，   

DF⊥CE，求∠CDF的度数。

6、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（　　）

7、如图，AD是△ABC的中线，DE=2AE，若△ABC的面积是18cm2，则△ABE的面积=__________

8、如图，, , ,求

第六讲：与三角形有关的角

知识点1、三角形的内角和定理：                              

证明：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30°方向，B岛在A岛的北偏东100°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

知识点2、三角形的外角

☑定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

[自我探究] 画出图中三角形ABC的外角

1、判断图中∠1是不是△ABC的外角：_______________

                                              

                                                                 

2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC的外角吗？________________

(2)△ABC共有多少个外角？___________________

请在图中标出△ABC的其它外角.

3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB， ∴∠A=_____，_____=∠2

又∠ACD=_______+________

∴∠ACD=_______+________

结论1______________________________________________

结论2_____________________________________(外角两性质)

【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。

例2.如图，∠BAE，∠CBF，

∠ACD是△ABC的三个外角，

它们的和是多少？

  解：因为∠BAE=∠__+∠____，

          ∠CBF=∠__+∠___，

∠ACD=__________，

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD

=（∠__+∠___）+（________）+（___________）

    =2（∠1+_________）=2×180°=360°.

从例2.我们可以得到一个数学结论: 三角形________________________________.

知识点3、多边形的内角和与外角和

如何证明n边形的内角和？

  

多边形内角和定理：                                          

多边形外角和定理：                                         

例：多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。

n边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______．

三、当堂练习：

1. 已知：如图，∠1=30°，∠2=50°，∠3=45°，

则(1)∠4=______°；(2)∠5=______°.

2.在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=___    ___．

3.如图，AB∥CD，∠B=55°，∠C=40°，则

  (1)∠D=______°；(2)∠1=______°.

4.填空：求出下列各图中∠1的度数.

(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；

                                                             

 (4)如图，∠1=______；(5)如图，∠1=______；(6)如图，∠1=______.

                                                             

5.一个多边形每一个内角等于144°,则其边数是________..一个多边形的每一个外角为18°,则它是一个______边形.

6.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAC=80°，∠C=40°，则∠BAD=________°.

7.已知：如图，BD是△ABC的角平分线, ∠A=100°，∠C=30°，则∠ADB=________°.

8.如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=100°，∠C=30°，则∠1=________°.

9.△ABC中，∠B=∠A+100，∠C=∠B+200，

求△ABC各内角的度数

10.求下列图中x值

         

答案:

(1)X=

(2)X= 

11.如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠B＝36°，则∠1＝_____，∠A＝________．

12.如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．

13.如图所示，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是_________

         

14.将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为________

15.如图所示，AC⊥DE，垂足为O，∠B＝35°，∠E＝30°，则∠A＝________．

16.把一把直尺与一个三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为       

        

 17.（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+∠A（2）如图所示，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°－∠A；

（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D． 

第七讲 全等三角形

[观察与探案]

1、观察下列图形，都有什么共同特征？你还能举出其他例子吗？

            

☑定义：                          做全等形。

2、右图中的二个图形是全等形吗？

[思考]二个图形满足什么条件时就能完全重合呢？

结论：                               

3、判断下列说法是否正确：

①五角星都是全等形；（  ）          ⑤周长相等的长方形是全等形；（   ）

②面积相等的三角形是全等形； （  ）⑥周长相等的正方形是全等形；（   ）

③全等的两个图形面积相等（    ）     ⑦全等的两个三角形的大小和形状完全相同；（   ）

4、拿出纸片，对折以后用剪刀剪出两个三角形，观察发现：这两个三角形_____、_____相同,能够            ,因此，我们把              的两个三角形叫做全等三角形。

☑定义：                           叫做全等三角形

“全等”用“≌”表示，读作“全等于” ，如图中的两个三角形全等，记作：                         

5、按要求填空

△ABC中，AB边的对角是________，AC边的对角是_______，∠B的对边是________；______是∠A的对边；AB与BC的夹角是_________，AC与BC的夹角是___________，∠B是_____和_____的夹角。

[发现]：两个全等三角形能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。

☑表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。

[思考]两个三角形全等，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

[发现]全等三角形的性质：全等三角形的对应边________，对应角_____________

☑用几何语言表示全等三角形的性质

 [练一练]

图形	记作	对应边	对应角
图形	记作	对应边	对应角

☑根据位置元素来推理

 a.                                                          ；

b.                                                           ；

c.                                                           ；

d.                                                           ；

e.                                                            ；

【例1】如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于以下结论， AC=AF∠FAB=∠EABEF=BC∠EAB=∠FAC,其中正确的个数是（     ）

A、 1           B、2             C、3               D、4   

【例2】如图，△ACE≌△DBF，AE＝DF，CE＝BF，AD＝10，BC＝2。

（1）求证：AB＝CD

（2）求AC的长度

（3）若∠A＝40°，∠E＝80°，求∠DBF的度数。

【例3】如图RT△ABE≌RT△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论： AE=EDAE⊥DEBC=AB+CD, AB∥DC中成立的是（     ）

A        B          C           D 

当堂练习：

1、 全等三角形是（　　）

A． 三个角对应相等的两个三角形	B． 周长相等的两个三角形
C． 面积相等的两个三角形	D． 能够完全重合的两个三角形

2、如图，若△ABC≌△EBD，且BD＝4 cm，∠D＝60°，则∠ACB＝________，BC＝______

3、如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°∠C＝25°则∠DAO＝________度

4、如图，△ACB≌△A＇CB＇，∠BCB＇＝30°，∠ACA＇的度数为（　　）

A． 20°	B． 30°	C． 35°	D． 40°

                        

（第2题）                 （第3题）                 （第4题）      （第7题）

5、在△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的一个三角形中有一个角是92°，那么92°角在△ABC中的对应角是（　　）

A． ∠C

B． ∠B

C． ∠A

D． ∠B或∠C

6、已知：等腰三角形ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，△ABC≌△A＇B＇C＇，则△A＇B＇C＇中一定有一条边等于（　　）

A． 7cm

B．2 cm或7 cm

C．5 cm

D．2 cm或5 cm

7、如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（　　）

A． 5

B． 4

C． 3

D． 2

8、如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于（　　）

A．585°

B．540°

C．270°

D．315°

9、如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=_______

10、如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于________

11、如图，点F、A、D、C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=3，CF=10，则AC等于_________

          

（第8题）             （第9题）              （第10题）            （第11题）

二、解答题

12、如图, △ABD ≌ △EBC 

1、请找出对应边和对应角。                 2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.

13、如图，已知△ABC≌△CDA，则下列结论：

AB＝CD，BC＝DA　∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD　AB∥CD，BC∥DA，其中正确的是（　　　）

A．　　　B．　　C． 　　D． 

14、如图所示，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，

若∠BAC＝150°，则θ的度数是________．

15、如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AB上，△ACD≌△AED，

（1）求证：AB＝BC＋BE

（2）若AB＝6㎝，求△DEB的周长。

第八讲 全等三角形的判定（一）

☑ [思考与探究]

1、问题：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃？

              

                      (1)                         (2)

2、是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？

A．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

B．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．

    ①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

    ②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

[发现] 给出一个或二个条件时，两个三角形不能保证全等

[思考] 如果给出三个条件时，两个三角形会全等吗？这些条件可以怎样分类？

条件分类：三条边相等，                   ，_______________,__________________

☑[操作] 1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

 [尺规作图]

先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）

    画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：

    1．画线段取B′C′=BC；

    2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；

    3．连接线段A′B′、A′C′．

    上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？

（1）判定方法：                                                         

几何语言：

（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．

【例1】如图所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD

证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中；摆出三个条件用大括号括起来；写出全等结论。

【例2】如图,已知AC=AD,BC=BD, 求证AB是∠DAC的平分线.  

【例3】已知如图AB=AD，DC=CB，则∠B与∠D是什么关系？

【例4】已知如图AC=FE，BC=DE，AD=FB，点A，D，B，F在一条直线上

求证：(1)△ABC≌FDE             (2)判断AC与EF的关系

【例5】如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。

【例6】如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？

当堂练习

1、如图所示，AB＝AC，BE＝CD，要使△ABE≌△ACD，依据SSS，则还需添加条件________．

2、如图所示，已知AB＝CD，AD＝CB，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________．

3、如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，则①∠C＝∠B，②∠D＝∠E，③∠EAD＝∠BAC，④∠B＝∠E，其中错误的结论是（　　）

A．①

B． ②

C． ③

D． ④

4、如图，只要________，则有△ABD≌△ACE（　　）

A． AD＝AE，BE＝CD	B． AD＝AE，BD＝CE
C． AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD	D． AB＝AE，AC＝AD

            

(第1题)              （第2题）            （第3题）          （第4题）

5.如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件             

6.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C. 

7.如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF  ②∠A=∠C

全等三角形的判定2

 [探究] 通过前面的操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？

[操作1]

1、画∠AOB=30度。

2、在射线OA上取OD=6厘米

3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线OB于E，连结DE

和同伴画的三角形比较，两个三角形全等吗？

[思考]在以上的操作中，满足了哪些条件呢？

[操作2]

1、画∠AOB=30度。

2、在射线OA上取OD=6厘米

3、在身线OB上取OE=4厘米，连结DE

和同伴画的三角形比较，两个三角形现在全等吗？

[思考]在以上的操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么条件时，就全等呢？

知识点2、“边角边”定理

                                               （可以简写为“边角边”或“SAS”）．

几何语言：

思：如果是两边与其中一边对角对应相等的两个三角形是否全等？

【例1】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？

【例2】(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)

【例3】已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

【例4】.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．

   

【例5】

【例6】如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

【例7】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

当堂练习：

1、如图，D为AE延长线上一点，且AB＝AC，EB＝EC，则图有全等三角形（　　）

A． 1对

B． 2对

C． 3对

D． 4对

2、如图所示，AC＝AD，BC＝BD，∠1＝32°，∠2＝28°，则∠CBE＝________．

3、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，若要证明∠A＝∠D，则要添加的辅助线是________．

                 

     （第1题）                 （第2题）                 （第3题）

4、如图所示，F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是________．

5、如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________

6、如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________；又知AD＝BC，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是________，则∠BAC＝∠DCA，理由是________，则AB∥DC，理由是________

7、如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是________．

                 

(第4题)                 (第5题)                 (第6题)               （第7题）

8、已知：AC=BC，AD=BD，点M和N分别是AC和BC的中点，说明：DM=DN．

9、如图所示，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，求∠C的度数

10、如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DF＝BE，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：AE∥CF

11、如图，在中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。求证：MB=MC

11、如图，已知AB＝CD，AC＝BD，求证：∠A＝∠D

15、综合训练

如图，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE。

（1）求证：∠C＝∠E

（2）求证：∠CDE＝∠BAD

12、如图所示，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE，垂足分别为F、E.求证：BE＝CF

第十一讲 全等三角形的判定（三）

知识点3、“角边角定理（ASA）”

[回顾] 三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？___________________

到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？_____________

三角形中已知两角一边有几种可能？______________________

[问题] 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？

[做一做] 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

☑                                       （可以简写成“角边角”或“ASA”）．

几何语言：

[思考] 在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

【例1】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：    

☑                                                   （可以简写成“角角边”或“AAS”）．

几何语言：

【例2】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．

【例3】如图，，AC，BD相交于O，求证：①AB=CD  ②OA=OD

【例4】如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点F，

DE=FE,FC∥AB,求证：AE=CE 

【例5】已知，如图，，求证：AB=DE

【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB＝FC

【例7】如图，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

【课后作业】

1、下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A． AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D

B． ∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF

C． AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长

D． ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F

2、分别根据下列已知条件，再补充一个条件使得如图所示的△ABD和△ACE全等：

（1）AB＝AC，________；

（2）∠B＝∠C，________；

（3）AD＝AE，________，DB＝CE 

3、如图，给出下列四组条件：

①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；

②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；

③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；

④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）

A． 1组

B． 2组

C． 3组

D． 4组

4、如图，AB＝AC，AD＝AE，BD交CE于点O，则下列结论：①△ABD≌ACE；②△BOE≌△COD；③OA平分BAC；④S△AOB＝S△AOC．其中正确的是（　　  ）

A．①②

B．①③

C．①②④

D．①②③④

5、如图，点C是BD的中点，∠1＝∠2．请补充一个条件使△ABC≌△EDC．若用“ASA”证，补充的条件是________；若用“AAS”证，补充的条件是________．

6、如图，点B、F、C、E在同一直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE．请添加一个适当的条件________，使得AC＝DF

           

    （第4题）                  （第5题）                     （第6题）

7、如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，求证：AB＝AD

8、已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△EDC

9、已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BE＝CF．

第十二讲 直角三角形全等的条件

 [问题] 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）

（1）你能帮他想个办法吗？

（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

 

只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，此时能判定两个三角形全等吗？

[操作]

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;

1．画∠MC′N=90°。

2．在射线C′M上取B′C′=BC。

3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。连接A′B′。

归纳：                                                       

几何语言：

直角三角形全等的判定方法：                                                 

【例1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

【例2】如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.  求证：AB=AC

【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．

【例4】如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，求CH的长。

【例5】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE

【例6】如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．

【例7】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长．

【课后作业】

1、下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（　　）

A．两条直角边分别对应相等	B．斜边和一个锐角分别对应相等
C．两个锐角对应相等	D．斜边和一直角边分别对应相等

2、如图，AD⊥BD于D，若根据“HL”判定△ABD≌△ACD，还需要________条件，若所加条件为∠B＝∠C，则可用________判定．

3、如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则△CED≌_____，AC＝_____，∠B＝_____．

4、如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形共有________对

5、如图，△ABC中，AB＝AC，BE，CF是两腰上的高，则△ABE≌△ACF的理由是________，则BE＝CF，这样可证Rt△BCE≌Rt△CBF，理由是________．

                        

   （第2题）            （第3题）                  （第4题）             （第5题）

6、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列结论：①Rt△ABD≌Rt△BAC，②AD＝BC，③∠ABC＝∠BAD，④∠DAC＝∠CBD．其中正确的是（       ）

A．①②③④

B． ①②③

C． ①②

D． ②③

7、如图所示，已知AE＝CE，∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，AB＝8 cm，CD＝3 cm，则BD＝______

8、如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（　　）

A．DE＝DB

B．DE＝AE

C．AE＝BE

D．AE＝BD

                            

（第6题）                      （第7题）                         （第8题）

9、如图，点E、F在AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，BF＝AE，CF＝DE．求证：CF∥ED

10、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．

第十三讲   角平分线的性质

[问题] 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

 [探索]

按以下步骤折纸

将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

[证明]

已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E

求证：PD=PE

证明： 

                         

 

角平分线的性质：                                          

[几何语言描述]：

【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？

【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

【例3】如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。

求证：。

【例4】已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C．

    

【例5】如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：AB=AC+CD．

【例6】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论

【课后作业】

1、如图所示，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空：

（1）若∠1＝∠2，则________＝________；

（2）若∠3＝∠4，则________＝________．

2、如图所示，下列推理中正确的个数是（　　）

①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；

②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；

③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE= 

1.5cm，则BC=（　　  ）

A．3cm

B．7.5cm

C．6cm

D．4.5cm

 4、如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．下列结论中错误的是 （　　）

A．PC＝PD	B．OC＝OD
C．∠CPO＝∠DPO	D．OC＝PC

（第2题）                       （第3题）                           （第4题）

5、如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为（     ）

A．5 cm

B．3 cm

C．2 cm

D．不能确定

6、如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（        ）

A．OD＞OE

B．OD＝OE

C．OD＜OE

D．不能确定

7、如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于________

8、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（　　）

A． ①②

B． ①②③

C． ①②④

D． 只有①

（第5题）              （第6题）                （第7题）               （第8题）

9、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）DC＝DE；（2）CF＝EB．

    

10、如图，四边形ABCD中，AB=AD,CD=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E,PF⊥CD于F，求证：PE=PF

第十四讲   全等三角形小结

复习旧知：

如图，给出五个等量关系：①AD=BC ②AC=BD ③CE=DE ④ ∠D= ∠C ⑤ ∠DAB= ∠CBA ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论,并说明理由

【例1】如图，已知AC=AB、AE=AD，∠EAB=∠DAC，求证：BD=CE．

【例2】如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．

【例3】如图所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点．求证：CP=DP．

【例4】，OP∠AOC∠BOD，OA=OC，OB=OD求证AB=CD

【例5】已知：BC＝EF，BC∥EF，∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC。求证：AF＝DC。

【例6】已知：如图为的高，为上一点，交于，且有，。求证：。

【例7】如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上任意一点，且BD=CE，连接DE交BC于F．

求证：FD=FE．

【例8】如图.以知AD∥BC。点E为CD上的一点，AE.BE分别平分∠DAB、∠CBA.BE交AD的延长线于点F。

(1)求证AE⊥BE

（2）求证AB=AF

（3）求证AD+BC=AB

【课后作业】

1、如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．

2、如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．

3、已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．

4、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．

5、如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O．

求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB=OE．

第十五讲   角平分线的判定

[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是_________；结论是__________

如果将条件和结论互换，则可以得到命题________________________________________，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？

【例1】证明如下：

已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．

求证：点P在∠AOB的平分线上．

归纳：角平分线的判定方法：

1、                                

2、                                                         

几何语言：

【思考】若OC为∠AOB的角平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？

【例2】如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．

【例3】如图，∠CAB的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：BP平分∠CBN

【例4】如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．

【例5】如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G，求证：BF=CG。

【例6】如图，AE，BD是△ABM的高，AE,BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM，求证

（1）BC=2AD

（2）AB=AE+CE

（3）ED平分∠BDM

  

【课后作业】

1、如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．

2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB、BC两边的距离相等，则∠AOC的度数为_______

      

     （第1题）                                     （第2题）

3、如图所示，AB∥CD，点P是线段MN的中点，且MN⊥CD，点P到BC的距离等于，则点P应是________的平分线与________平分线的交点

4、如图，已知点P在△ABC的外部，∠DAE的内部，若点P到BC、BD、CE的距离都相等，则下列关于P的位置说法最准确的是（　　）

5、如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，AD＝3，则点D到BC的距离是__________

           

（第3题）                      （第4题）                （第5题）   

6、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA＝90°

7、如图，已知∠CAD＝∠CDA，AC＝BD，E在BC上，DE＝EC，求证：AD平分∠BAE.

8、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．

9、如图，点C,E分别为△ABD的边BD、AB上两点，且AE=AD,CE=CD,∠D=70°，∠ECD=150°求∠B的度数。

10、已知：如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．求证：

（1）△ABC≌△DEF； （2）∠CBF=∠FEC．

11、（2002•南昌）如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD；

13、已知：如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连AD、AG．求证：AG=AD．

11、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．

求证：CE=CF．

12、已知，（如图）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BF上，PM⊥AD于M，

PN⊥CD于N，求证：PM=PN

13、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长。

14、如图1，在△ABC中，∠A，∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB与R，AB=7，BC=8,AC=9（1.）求BP、CQ、AR的长。（2）.如图2若CD⊥BO于D 求证∠OCD=∠A（3）.如图3若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线叫AB于F，若∠A=60°，求证：OE=OF.

     

（图1）                            （图2）                              （图3）

三角形全等的条件三、四（ASA,AAS）

定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。

      如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“角角边”或简记为（A.A.S）

问题：一块三角形玻璃碎成如图形状4块，配一块与原来一样的三角形玻璃

（1）要不要4块都带去？

（2）带哪一块呢？

（3）带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？

例1.如图，∠BDA=∠CEA， AE=AD．求证:AB=AC．

例2.如图，∠ACB=900，AC=BC，D为AB上一点,AE⊥CD，BF⊥CD，交CD延长线于F点.求证：BF=CE.

例3.如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D。（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长。

例4.如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥GD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE=EF+BF。

例5.如图，已知在中，AD是角平分线，CF⊥AD交AB于F，垂足为M，CE∥AD交BA的延长线于E，求证：AC=AE=AF。

例6.

课堂练习

1.已知：如图 , AC=CD , ∠B=∠E=90° , AC⊥CD , 则不正确的结论是(    ) 

   A.∠A与∠D互为余角       B.∠A=∠2        C.△ABC≌△CED        D.∠1=∠2

     

2.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是(    )

  A.13.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF，且BF=DE，若BD=10，BF=2，则EF=_______

4.已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB.

5.如图，，，试说明△ABC≌△DCB.

6.如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.

7.如图：在△ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它们相交于点H，且AH=2BD.求证：AE=BE.

8.已知:如图,四边形 ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E , CE=CD.求证：∠ADE=∠EDC．

9.如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．

     ⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．

     ⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．

                                                                                                 

10.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,求证AB=AC+AD.

课后练习：

1.如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,求∠DBC的度数为(    ) 

   A.50°            B.30°             C.45°         D.25°

            

2.如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O。

（1）由AD∥BC，可得   =    ，由AB∥CD，可得    =   ，又由    ，于是△ABD≌△CDB；

（2）由                ，可得AD=CB，由          ，可得△AOD≌△COB；

（3）图中全等三角形共有      对。 

3.如图在 ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是     

4.已知：如图,∠1=∠2,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D.求证：AB=AD．

5.如图，∠1＝∠2,∠B＝∠D，求证: △ABC≌△ADC．

6.如图,∠C＝∠D, CE＝DE．求证:∠BAD＝∠ABC．

7.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．

 求证：（1）；（2）BO=DO．

8.如图，已知点B、C、E在一条直线上，AB=CD，AC=BD，DE∥AC，试说明∠E=∠DBC。

9.如图，，，AC、BD交于点，图有几对长度相等的线段，你是通过什么办法找到的？

10.已知:如图,AB∥CD,∠1=∠2,O是AD的中点,EF、AD交于O．求证：O也是EF的中点．

                       

11.如图，AD=BE,AC∥DF,BC∥EF，求证:△ABC≌△DEF．

8.已知：如图,FB=CE,AB∥ED , AC∥FD, F、C在直线BE上．求证：AB=DE,AC=DF．

9.已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF。

10.已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F．

求证：AC=BF．

11.已知：如图,E、D、B、F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求证：AE∥CF.

12.已知：如图,AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点．求证：OE=OF．