空间向量求二面角学案

【教学目标】运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小．

【教学重点】用向量法求解二面角的大小．

【教学难点】运用向量的数量积求二面角．

【学习时间】一课时

【教学过程】

一．问题与情境

情境1．两条异面直线所成的角：

（1）定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的________________叫做a与b所成的角．

（2）范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是________________．

（3）向量求法：设直线a、b的方向向量为，有cos θ＝_________．

情境2．直线与平面所成的角：

（1）定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的________所成的角．

（2）范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是_____________．

（3）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，则有

sin θ＝__________

（4）①三棱锥平面,  ,为中点 ,则与所成角的余弦值为               

② 直三棱柱中, , 则与截面所成角的余弦值为         

情境3．平面与平面所成的角

（1）二面角的平面角的定义：一般的一二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（2）二面角的范围：              

问题：如何用向量的方法求二面角的大小？

二．学生活动

活动1：如果已知二面角α—l—β棱l的垂线AB，CD（AB，CD分别在平面α、β内），试讨论AB，CD的方向向量的夹角与二面角的大小有何关系；             

活动2：如果已知平面α，β的法向量分别为，试讨论二面角的大小与平面的法向量的夹角有何关系。

三．建构数学

二面角的向量求法：

利用向量求二面角的平面角有两种方法：

①若AB，CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小θ是向量与的夹角(如图①所示)．即cos θ＝          .

②设是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量与的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．即二面角α—l—β的大小θ的余弦值为： cos θ＝          或  cos θ＝             ．

四．数用

1.例题分析

例1．在正方体中，求二面角的余弦值．

解法1：

C1

D1

A1

B1

C

D

A

B

解法2：

例2．已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：

（1）A1D与EF所成角的大小；   （2）A1F与平面B1EB所成角的余弦值；

（3）二面角的余弦值．            

C1

D1

B1

A1

F

D

C

E

B

A

2.反馈练习

    1、正方体的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点。 

    (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值；

    (2)求二面角F-AE-D的余弦值。

五．回顾反思

1．平面的法向量的夹角与二面角的大小关系；

2．能合理的建立空间直角坐标系，并能熟练的求出平面的法向量。

六．课后作业

完成《天天练》45练